Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 20
Текст из файла (страница 20)
íà ïîäïðîñòðàíñòâå âèäà Nm ⊂Tm σm , ãäåNm ⊕ Tm (Λ ∩ σm ) = Tm σm .(52)Ýòî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî îïåðàòîð dA(m) + I íåâûðîæäåí.Êàê è â ñëó÷àå îòîáðàæåíèé, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàâåíñòâà (51) íàìäîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü äâà ïîäïðîñòðàíñòâà:◦1. ïîäïðîñòðàíñòâî Nm⊂ Tm σm â òî÷êå m, îáëàäàþùåå ñâîéñòâîì (52),◦⊂ Tm̃ σ̃m â òî÷êå m̃, îðòîãîíàëü2. áëèçêîå ê íåìó ïîäïðîñòðàíñòâî Ñm̃íîå êàñàòåëüíîìó ïðîñòðàíñòâó Tm̃ (σ̃m ∩ Λ̃) ê σ̃m ∩ Λ̃ îòíîñèòåëüíîêâàäðàòè÷íîé ôîðìû Q̃, ãäå Λ̃ = i(Λ).Ðàññìîòðèì ïîäïðîñòðàíñòâî θ̃m̃ èç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäñòâèÿ ëåììû 8.Íàïîìíèì, ÷òî ýòî ïîäïðîñòðàíñòâî áëèçêî ê íåêîòîðîìó ïîäïðîñòðàíñòâóâ òî÷êå m, òðàíñâåðñàëüíîìó ê Im(dA(m)−I), è îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî êàñàòåëüíîãî âåêòîðà η̃ ∈ Tm̃ (σ̃m ∩ Λ̃) âåêòîð dÃ(m̃)η̃ − η̃ïðèíàäëåæèò ïîäïðîñòðàíñòâó θ̃m̃ .Ïîñëåäíåå â òî÷íîñòè îçíà÷àåò, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâî Tm̃ (σ̃m ∩ Λ̃) îáëàäàåò ïî îòíîøåíèþ ê ïîäïðîñòðàíñòâó θ̃m̃ ñâîéñòâîì (39).
Äðóãèìè ñëîâàìè,êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê ïîäìíîãîîáðàçèþ σ̃m ∩ Λ̃ â òî÷êå m̃ èìååò â òî÷íîñòè òàêîé âèä, êàê åñëè áû ìû ñòðîèëè ýòî ïîäìíîãîîáðàçèå ïî ñåìåéñòâóïîäïðîñòðàíñòâ θ̃m̃ (ñì. ñëó÷àé îòîáðàæåíèé, ï. 1.5.2).Îòñþäà, èñïîëüçóÿ ïîñòðîåíèÿ èç ï. 1.5.2, ëåãêî ïîñòðîèòü ïîäïðîñòðàí◦◦◦ñòâà Ñm̃è Nm. À èìåííî, íóæíî ïîëîæèòü Ñm̃:= (dÃ(m̃) + I)−1 Ñm̃ , ãäå⊥Ñm̃ := θ̃m̃, I òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð â Tm̃ σ̃m .◦Ñ ó÷¼òîì ôîðìóëû (37), ïîäïðîñòðàíñòâà Ñm̃è Tm̃ (σ̃m ∩ Λ̃) äåéñòâèòåëüíî îðòîãîíàëüíû îòíîñèòåëüíî êâàäðàòè÷íîé ôîðìû Q̃.2. Çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 1 ïðîâîäèòñÿ ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ îòîáðàæåíèé.
Ïðîâåä¼ì ýòî ðàññóæäåíèå åù¼ ðàç.◦, îòêóäà ôîðìà Q̃ íåâûðîæäåíàßñíî, ÷òî ôîðìà Q íåâûðîæäåíà íà Nm◦íà Ñm̃ è èìååò òàêîé æå èíäåêñ:ind Q̃|Ñ ◦ = ind Q|Nm◦ ≡ ind Q.m̃90Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî èíäåêñ ôîðìû Q̃|Tm̃ (σ̃m ∩Λ̃) ðàâåí èíäåêñó ãåññèàíà d2 ψ(m̃) ôóíêöèè ψ (à çíà÷èò, è ôóíêöèè S ) â òî÷êå m̃.  ñèëó (50), (47)è (46) ãåññèàí ôóíêöèè ψ|σ̃m ∩Λ̃ â òî÷êå m̃ èìååò âèäd2 ψ(m̃)η1 η = ω̃0 (dÃ(m̃)η1 − η1 , η),η1 , η ∈ Tm̃ (σ̃m ∩ Λ̃),(53)ãäå ω̃0 íåêîòîðàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìà íà ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè ïîäïðîñòðàíñòâ θ̃m̃ è Tm̃ (σ̃m ∩ Λ̃), áëèçêàÿ ê ôîðìå ω 2 |θ̃m̃ ×(Tm̃ (σ̃m ∩Λ̃)) .
 ÷àñòíîñòè,áèëèíåéíàÿ ôîðìà ω̃0 íåâûðîæäåíà.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, áèëèíåéíàÿ ôîðìà ω̃1 âèäà1ω̃1 (ξ, η) = ω 2 (ξ, dÃ(m̃)η + η),2ξ ∈ θ̃m̃ , η ∈ Tm̃ (σ̃m ∩ Λ̃),à òàêæå áèëèíåéíûå ôîðìû ω̃t = (1 − t)ω̃0 + tω̃1 , òîæå ÿâëÿþòñÿ íåâûðîæäåííûìè, 0 ≤ t ≤ 1. Îòñþäà, â ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè áèëèíåéíûõ ôîðì Qtâèäà Qt η1 η = ω̃t (Bη1 , η) íà ïîäïðîñòðàíñòâå Tm̃ (σ̃m ∩ Λ̃), èõ èíäåêñû ñîâïàäàþò, 0 ≤ t ≤ 1. Ñëåäîâàòåëüíî, èíäåêñ êâàäðàòè÷íîé ôîðìû âèäà (53) íåèçìåíèòñÿ, åñëè â å¼ îïðåäåëåíèè çàìåíèòü áèëèíåéíóþ ôîðìó ω̃0 íà ôîðìó ω̃1 .
Ýòî è çíà÷èò, ÷òî èíäåêñû êâàäðàòè÷íûõ ôîðì d2 ψ(m̃) è Q̃|Tm̃ (σ̃m ∩Λ̃)ñîâïàäàþò, ò.å. âåðíà ôîðìóëà (51).Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 1.3. Èòàê, ìû äîêàçàëè ñâîéñòâî 6◦ ëåììû 1 î ñâÿçè èíäåêñîâ ãåññèàíàôóíêöèè ψ è êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ω 2 (dÃ(i(m))∗, ∗). Îòñþäà, äîñëîâíûìïîâòîðåíèåì ðàññóæäåíèé â ñëó÷àå îòîáðàæåíèé, âûâîäèòñÿ ñâîéñòâî 7◦óòâåðæäåíèÿ 4 îá îðáèòàëüíîé óñòîé÷èâîñòè çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû.1.7 Íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àèÔîðìóëèðîâêà îñíîâíîé ëåììû 8 îáëàäàåò ñëåäóþùèìè (íåèçáåæíûìè)íåäîñòàòêàìè.1.
Ýòà ôîðìóëèðîâêà ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî ãðîìîçäêîé, ïîñêîëüêó òðåáóåò äîïîëíèòåëüíûõ ïîñòðîåíèé: íóæíî îïðåäåëèòü ñåìåéñòâî ïîäïðîñòðàíñòâ θm , m ∈ Λ, ñ äåéñòâèåì íà í¼ì îêðóæíîñòè è ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ ïåðåíîñà Pm,m0 ýòèõ ïîäïðîñòðàíñòâ â öåëóþ îêðåñòíîñòüïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ.2. Óñëîâèÿ ýòîé ëåììû íå ãàðàíòèðóþò åäèíñòâåííîñòè èñêîìîãî âëîæåíèÿ i, åñëè íå íàëîæèòü äîïîëíèòåëüíîãî òðåáîâàíèÿ ñîõðàíåíèÿöåíòðà ìàññ. Ïðè ýòîì ïîíÿòèå öåíòðà ìàññ òîæå íóæíî ñïåöèàëüíîîïðåäåëÿòü, è ïðè ýòîì îïðåäåëåíèè âñ¼ ðàâíî îñòàåòñÿ ïðîèçâîë ïðèâûáîðå ðèìàíîâîé ìåòðèêè íà Λ è ïîñòðîåíèè ïðîåêòèðîâàíèÿ íà Λ.91Ýòè íåäîñòàòêè óäà¼òñÿ óñòðàíèòü â íåêîòîðûõ ñïåöèàëüíûõ (íî âàæíûõ äëÿ ïðèëîæåíèé) ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ.1.7.1 Ñëó÷àé ñòðîãîé íåâûðîæäåííîñòè×òîáû ñôîðìóëèðîâàòü îñíîâíóþ ëåììó 8, íàì ïîíàäîáèëîñü îïðåäåëèòüäîâîëüíî ñëîæíûé (è, ïî ñóòè, äîïîëíèòåëüíûé, ò.å.
òåõíè÷åñêèé) îáúåêò ñåìåéñòâî ïîäïðîñòðàíñòâ θm ∈ Tm M , m ∈ Λ, âìåñòå ñ äåéñòâèåì îêðóæíîñòè íà ýòîì ïîëå ïîäïðîñòðàíñòâ. ýòîì ïóíêòå ìû îïèøåì ÷àñòíûé ñëó÷àé, â êîòîðîì ôîðìóëèðîâêàëåììû óïðîùàåòñÿ, òàê êàê íåò íåîáõîäèìîñòè ââîäèòü ýòîò îáúåêò. ðàáîòå Áîòòêîëà [14] äîêàçàí ÷àñòíûé ñëó÷àé òåîðåìû 1 (òî÷íåå, ñîîáùàåòñÿ èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà). À èìåííî, â îòëè÷èå îò òåîðåìû 1, â ðàáîòåÁîòòêîëà ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ïðåäïîëàãàåòñÿ ñòðîãî íåâûðîæäåííûì (ñì.îïðåäåëåíèå 3), ò.å. â ëþáîé òî÷êå m ∈ Λ êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî îïåðàòîðà dAm (m), îòâå÷àþùåå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1, ñîâïàäàåò ñ Tm Λ ∩ σ .( äåéñòâèòåëüíîñòè, â ýòîé ðàáîòå Áîòòêîë ïðåäïîëàãàåò òàêæå (â ãàìèëüòîíîâîì ñëó÷àå), ÷òî ëèáî ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé âîêðåñòíîñòè Λ, ëèáî H 1 (Λ) = 0.
Îäíàêî ýòî îãðàíè÷åíèå îäèíàêîâî íåñóùåñòâåííî êàê â íàøåé êîíñòðóêöèè, òàê è â êîíñòðóêöèè Áîòòêîëà, ïîýòîìóìû åãî çäåñü íå ðàññìàòðèâàåì.)Íàïîìíèì, ÷òî â äîêàçàííîé âûøå òåîðåìå 1 ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ïðåäïîëàãàåòñÿ ëèøü íåâûðîæäåííûì (ñì. îïðåäåëåíèå 1), è íå íàêëàäûâàþòñÿíèêàêèå îãðàíè÷åíèÿ íà ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó èëè òîïîëîãèþ ðàññëîåíèÿ S 1 → Λ → B .Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ñëó÷àå ñòðîãî íåâûðîæäåííîãî Λ ñåìåéñòâî ïîäïðîñòðàíñòâ θm ∈ Tm M , m ∈ Λ, è äåéñòâèå îêðóæíîñòè íà ðàññëîåíèè ∪m∈Λ θmíå íóæíî ñòðîèòü ñïåöèàëüíî, òàê êàê îíè óæå åñòü:1.
Ðîëü ïîäïðîñòðàíñòâà θm (m ∈ Λ) â ýòîì ñëó÷àå èãðàåò îðòîãîíàëüíîåäîïîëíåíèå â Tm Λ ê êàñàòåëüíîìó âåêòîðó V (m) ê òðàåêòîðèè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó m. Çäåñü îðòîãîíàëüíîñòü ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëåêàêîé-ëèáî S 1 èíâàðèàíòíîé ðèìàíîâîé ìåòðèêè íà Λ.2. Äåéñòâèå îêðóæíîñòè íà óêàçàííîì ïîëå ïîäïðîñòðàíñòâ èíäóöèðóåòñÿ åñòåñòâåííûì äåéñòâèåì îêðóæíîñòè íà Λ.Ñ ó÷¼òîì òàêîãî îïðåäåëåíèÿ ïîäïðîñòðàíñòâ θm , m ∈ Λ, ôîðìóëèðîâêà Áîòòêîëà ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íà ôîðìóëèðîâêå ëåììû 8.
(Ïðè ýòîìÁîòòêîë íå ââîäèë, êîíå÷íî, ñïåöèàëüíîãî îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ýòèõ ïîäïðîñòðàíñòâ.)92Ñôîðìóëèðóåì ðåçóëüòàò Áîòòêîëà [14] áîëåå òî÷íî. Ôèêñèðóåì ëþáóþðèìàíîâó ñâÿçíîñòü íà H −1 (h) â îêðåñòíîñòè Λ è ïåðåíåñ¼ì êàæäîå ïîäïðîñòðàíñòâî θm , m ∈ Λ, â áëèçêèå ê m òî÷êè m0 ∈ H −1 (h) ïðè ïîìîùèýêñïîíåíöèàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ, îòâå÷àþùåãî ñâÿçíîñòè. Áîëåå òî÷íî, îïåðàòîð Pm,m0 ïåðåíîñà èç òî÷êè m â òî÷êó m0 = expm (ξ0 ) îïðåäåëÿåòñÿ êàêPm,m0 (ξ) = exp(ξ0 + ξ).Òåîðåìà Áîòòêîëà [14] óòâåðæäàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò âëîæåíèå i : Λ →−1H̃ (h), S 1 èíâàðèàíòíîå âåêòîðíîå ïîëå ξ íà Λ, êàñàòåëüíîå ê Λ è îðòîãîíàëüíîå îãðàíè÷åíèþ íåâîçìóù¼ííîãî ïîëÿ V íà Λ, è S 1 èíâàðèàíòíàÿôóíêöèÿ T̃ íà Λ, áëèçêàÿ ê T , òàêèå, ÷òî â ëþáîé òî÷êå m ∈ Λdi(m)Vm =T̃ (m)Ṽ (m) + Pm,i(m) ξm .T (m)Êðîìå òîãî, òàêèå âëîæåíèå i è âåêòîðíîå ïîëå ξ îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî, åñëè ïîòðåáîâàòü äîïîëíèòåëüíî, ÷òîáû êàæäàÿ òðàåêòîðèÿ γ(t) ⊂ Λñîâïàäàëà ñ öåíòðîì ìàññ å¼ îáðàçà ïðè îòîáðàæåíèè ρ ◦ i : Λ → Λ, ãäåρ : U → Λ îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ íà ïîäìíîãîîáðàçèå Λ.Ïðè ïîìîùè ýòîãî óòâåðæäåíèÿ Áîòòêîë ñòðîèò èíâàðèàíòíóþ ôóíêöèþ S íà Λ ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî íàøåìó ïîñòðîåíèþ (ñì.
ï. 1.6.1).Îòìåòèì, ÷òî Áîòòêîë íå ïðèâîäèò ïîäðîáíîãî äîêàçàòåëüñòâà ñâîåéòåîðåìû, à ëèøü ñîîáùàåò åãî èäåþ â ñæàòîì âèäå: Äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîèò â ðåøåíèè ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû è çàòåì ðåøåíèè ñèñòåìû ïóò¼ìèòåðàöèè. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ íóæåí íå òîëüêî äëÿ ïðèäàíèÿ ñìûñëàóðàâíåíèþ, íî è åãî íåçàâèñèìîñòü îò äèôôåðåíöèàëà âëîæåíèÿ i íåîáõîäèìà ÷òîáû èçáåæàòü ïîòåðþ ïðîèçâîäíûõ ïðè èòåðàöèè [14] (ïåðåâîäìîé Å. Ê.). Ýòà èäåÿ ñîâïàäàåò ñ èäååé ïðèâåä¼ííîãî äîêàçàòåëüñòâà (ñì.ï. 1.6.1), åñëè ïîä èòåðàöèåé ïîíèìàòü ðåøåíèå íàäñòðîåííîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (ïîñòðîåííîé íàìè â õîäå äîêàçàòåëüñòâà), à ïîä ïîòåðåéïðîèçâîäíûõ íåñîâïàäåíèå êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ â òî÷êå ñàìîïåðåñå÷åíèÿ òðàåêòîðèè.1.7.2 Ñëó÷àé ïëîñêîé áàçûÐàññìîòðèì åù¼ îäèí ÷àñòíûé ñëó÷àé ñèòóàöèè òåîðåìû 1.
Ïóñòü áàçà Bðàññëîåíèÿ ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ íà çàìêíóòûå òðàåêòîðèè ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîé,ò.å. îáëàäàåò ïëîñêîé àôôèííîé ñâÿçíîñòüþ. ýòîì ñëó÷àå ïîñòðîåíèÿ, íåîáõîäèìûå äëÿ ôîðìóëèðîâêè è äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 8 (à çíà÷èò, è äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1) ìîæíî çíà÷èòåëüíî óïðîñòèòü. Ïðè ýòîì îäíîçíà÷íîñòü ïîñòðîåíèÿ áóäåò â åñòåñòâåííîì ñìûñëå âûïîëíåíà, è íå ïîíàäîáèòñÿ ïîíÿòèå öåíòðà ìàññ.93Çàìå÷àíèå 13. Åñëè ïðè ýòîì ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ñòðîãî íåâûðîæäåíî(ñì. ïðåäûäóùèé ïóíêò), òî ôîðìóëèðîâêà ëåììû 8 åù¼ áîëåå óïðîñòèòñÿ. Èìåííî òàêàÿ ñèòóàöèÿ (òî÷íåå, ñïåöèàëüíûé ñëó÷àé å¼ îáîáùåíèÿ, ñì.ñëåäóþùèé ïóíêò) èçó÷àëàñü â ðàáîòå Ìîçåðà [25].
Áîëåå òî÷íî, â ýòîéðàáîòå äîêàçûâàåòñÿ îöåíêà ÷èñëà çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé ãàìèëüòîíîâîéñèñòåìû íà èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè âáëèçè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿm ∈ H −1 (h). Ðàññìàòðèâàåòñÿ ìàñøòàáíàÿ çàìåíà, â ðåçóëüòàòå êîòîðîéíåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìîé ñòàíîâèòñÿ ëèíåàðèçîâàííàÿ ñèñòåìà, çàäàâàåìàÿêâàäðàòè÷íîé ÷àñòüþ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà, à ïîäìíîãîîáðàçèå Λ (â íàøèõîáîçíà÷åíèÿõ) ÿâëÿåòñÿ ñòàíäàðòíîé ñôåðîé â ÷¼òíîìåðíîì ñèìïëåêòè÷åñêîì ïîäïðîñòðàíñòâå E ⊂ Tm M . Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ðàáîòû Ìîçåðà[25] (îòíîñÿùèìñÿ ê ãàìèëüòîíîâó ñëó÷àþ) ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà 4 [25], ñîãëàñíî êîòîðîé ïðè ëþáîì äîñòàòî÷íî ìàëîì ε ÷èñëî çàìêíóòûõ òðàåêòîðèéñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H íà ïîâåðõíîñòè H −1 (h+ε2 ) íå ìåíüøå 21 dim E .Ðàññìîòðèì âåêòîðíîå ðàññëîåíèå íàä Λ ñî ñëîåì (Tm Λ)/(Tm γm ) â ëþáîé òî÷êå m ∈ Λ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
