Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Òîãäà ñóùåñòâóåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé γε ⊂ H̃ −1 (h) âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, ãëàäêî çàâèñÿùåå îò ìàëîãîïàðàìåòðà ε è ñîâïàäàþùåå ñ òðàåêòîðèåé γ0 ïðè ε = 0.Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáîáùåíèå ìåòîäà óñðåäíåíèÿíà ìíîãîîáðàçèè, ïîëó÷åííîãî ðàíåå â ðàáîòå Þ. Ìîçåðà [24], ãäå ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèøü ñëó÷àé, êîãäà íåâîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé, ò.å. âñå å¼ òðàåêòîðèè çàìêíóòû. äåéñòâèòåëüíîñòè, òåîðåìà 2 (à òàêæå ÷àñòíûé ñëó÷àé òåîðåìû 1)áûëà äîêàçàíà ðàíåå â ðàáîòå Âåéíñòåéíà [34], ãäå äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ â ñëåäóþùèå äâà ýòàïà. Ñíà÷àëà ðåçóëüòàò äîêàçûâàåòñÿ â ÷àñòíîìñëó÷àå, êîãäà ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî çàäà÷è M ÿâëÿåòñÿ êîêàñàòåëüíûì ðàññëîåíèåì ê íåêîòîðîìó ìíîãîîáðàçèþ, ïðè÷¼ì ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ëåæèò âíóëåâîì ñå÷åíèè ýòîãî ðàññëîåíèÿ.
À çàòåì îáùèé ñëó÷àé ñâîäèòñÿ ê ýòîìó÷àñòíîìó ñëó÷àþ ïóò¼ì óâåëè÷åíèÿ ðàçìåðíîñòè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà.Äîêàçàòåëüñòâî, ïðåäëàãàåìîå â äàííîé äèññåðòàöèè, îñíîâàíî íà áîëåååñòåñòâåííîì, ïî ìíåíèþ àâòîðà, ãåîìåòðè÷åñêîì ïîäõîäå. 1.3 ïðèâîäÿòñÿ óñëîâèÿ îðáèòàëüíîé óñòîé÷èâîñòè â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè äëÿ íåêîòîðûõ çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû. Èçáîëåå îáùèõ óòâåðæäåíèé ýòîãî ïàðàãðàôà âûòåêàåò, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 3. Ïóñòü, â óñëîâèÿõ òåîðåìû 2, σ ⊂ H −1 (h) ìàëåíüêàÿ ïëî-ùàäêà â H −1 (h), òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþùàÿ çàìêíóòóþ òðàåêòîðèþγ0 .
Ïóñòü dA(m) : Tm σ → Tm σ îïåðàòîð ìîíîäðîìèè â òî÷êå m = γ0 ∩σ ,îïðåäåëÿåìûé ïîòîêîì íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû. Ïóñòü âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ñîãëàñîâàííîé çíàêîîïðåäåë¼ííîñòè:1. êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà Q(ξ) = ω 2 (dA(m)ξ, ξ) ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíàíà ïîäïðîñòðàíñòâå, òðàíñâåðñàëüíîì ê Tm (Λ ∩ σ) â Tm σ ;72. òðàåêòîðèÿ γ0 ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì ëîêàëüíîãîìàêñèìóìà ôóíêöèè H̄.Òîãäà çàìêíóòàÿ òðàåêòîðèÿ γε âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, ñóùåñòâóþùàÿñîãëàñíî òåîðåìå 2, îðáèòàëüíî óñòîé÷èâà â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè. 1.4 ïðèâîäÿòñÿ òåîðåìû, àíàëîãè÷íûå òåîðåìàì 1, 2 è 3, äëÿ íåïîäâèæíûõ òî÷åê ñèìïëåêòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé.Äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ ðåçóëüòàòîâ ïðèâåäåíû â 1.5.Ãëàâà 2 ïîñâÿùåíà ðàçâèòèþ òåîðåì 1, 2, 3 è èõ âèäîèçìåíåíèÿì â ñëåäóþùèõ ñèòóàöèÿõ. 2.1 äîêàçûâàþòñÿ àíàëîãè òåîðåì 1, 2 è 3 äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà íà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ, çàïîëíåííîì çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè, ïîñòîÿííà ôóíêöèÿ ïåðèîäà T , à ãàìèëüòîíèàí H , âîîáùå ãîâîðÿ, íå ïîñòîÿíåí.
Ïðè ýòîìäëÿ âîçìóù¼ííîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû îöåíèâàåòñÿ ÷èñëî è âûÿñíÿåòñÿðàñïîëîæåíèå çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé, èìåþùèõ ôèêñèðîâàííûé ïåðèîä (àíå ôèêñèðîâàííîå çíà÷åíèå ãàìèëüòîíèàíà). Êðîìå òîãî, ïðèâîäèòñÿ îáîáùåíèå ýòèõ òåîðåì â ñëó÷àå, êîãäà íå òîëüêî íà ãàìèëüòîíèàí, íî è íàñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó íàêëàäûâàåòñÿ ìàëîå âîçìóùåíèå. 2.2 ïðèâîäèòñÿ ñëåäóþùåå îáîáùåíèå òåîðåìû 1. Ðàññìàòðèâàåòñÿñèòóàöèÿ, êîãäà ïîäìíîæåñòâî Λ ⊂ H −1 (h), çàïîëíåííîå ïåðèîäè÷åñêèìèòðàåêòîðèÿìè, ñîäåðæèò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû.  ýòîé ñèòóàöèèìíîæåñòâî Λ, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì, îäíàêî äëÿ íåãî ìîæíî îïðåäåëèòü åñòåñòâåííîå ïîíÿòèå íåâûðîæäåííîñòè.Äîêàçàíî, ÷òî ëþáàÿ îñîáåííîñòü êîìïàêòíîãî íåâûðîæäåííîãî ìíîæåñòâà Λ ÿâëÿåòñÿ êîíè÷åñêîé, ò.å.
ãîìåîìîðôíà îñîáåííîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî ìíîæåñòâà äëÿ ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû. Ôèêñèðóåòñÿ òèï âîçìóùåíèé ãàìèëüòîíèàíà, ïðè êîòîðûõ ïîâåðõíîñòü H̃ −1 (h) ñòàíîâèòñÿ íåîñîáîé. Ïî ìíîæåñòâó Λ ñ êîíè÷åñêèìè îñîáåííîñòÿìè è òèïó âîçìóùåíèÿîäíîçíà÷íî ñòðîèòñÿ, ñ ïîìîùüþ àíàëîãà ìîðñîâñêèõ ïåðåñòðîåê, ãëàäêîåìíîãîîáðàçèå Λ∗ , íàçûâàåìîå ìîðñîâñêèì ðàçðåøåíèåì ìíîæåñòâà Λ. Íàìíîãîîáðàçèè Λ∗ îïðåäåëÿåòñÿ åñòåñòâåííîå äåéñòâèå îêðóæíîñòè.Äîêàçàíà ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 4 (Òåîðåìà 8). Ïóñòü Λ ⊂ H −1 (h) êîìïàêòíîå íåâûðîæ-äåííîå ïîäìíîæåñòâî, ñïëîøü çàïîëíåííîå çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìèñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H è ñîäåðæàùåå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ýòîéñèñòåìû.
Ðàññìîòðèì ëþáóþ ôóíêöèþ H̃ , C 4 áëèçêóþ ê H , äëÿ êîòîðîé÷èñëî h íå ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì çíà÷åíèåì. Òîãäà âñå îñîáåííîñòè ìíîæåñòâà Λ ÿâëÿþòñÿ êîíè÷åñêèìè è ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1,â êîòîðîì âìåñòî ìíîæåñòâà Λ âìåñòå ñ åãî ðàññëîåíèåì íà çàìêíóòûåòðàåêòîðèè íóæíî ðàññìîòðåòü ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå Λ∗ ñ ðàññëîåíèåì8íà í¼ì, ãäå Λ∗ ìîðñîâñêîå ðàçðåøåíèå ìíîæåñòâà Λ, îòâå÷àþùåå ðàññìàòðèâàåìîìó òèïó âîçìóùåíèÿ ãàìèëüòîíèàíà.Ýòà ñèòóàöèÿ îáîáùàåò ñèòóàöèþ, êîòîðóþ èññëåäîâàëè Âåéíñòåéí [34,35] è Ìîçåð [25].  ýòèõ ðàáîòàõ ðàññìàòðèâàåìîå íàìè ïîäìíîæåñòâî Λñîâïàäàåò ñ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ, à ìíîãîîáðàçèå Λ∗ ÿâëÿåòñÿ íå÷¼òíîìåðíîé ñôåðîé.
Äëÿ ýòîé ñèòóàöèè â óêàçàííûõ ðàáîòàõ äîêàçûâàåòñÿñïåöèàëüíàÿ îöåíêà ÷èñëà ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé âáëèçè ïîëîæåíèÿðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû, âûòåêàþùàÿ èç ñèìïëåêòè÷íîñòè ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèÿ B ∗ = Λ∗ /S 1 . 2.3 ïðèâîäÿòñÿ ôîðìóëèðîâêè òåîðåì 1 è 2 äëÿ ñëó÷àÿ ïðîèçâîëüíûõ(âîîáùå ãîâîðÿ, íå ãàìèëüòîíîâûõ) äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû èìåþòñÿ â ðàáîòàõ Ô. Á.
Ôóëëåðà [18] è Ìîçåðà [24].Ãëàâà 3 ïîñâÿùåíà ïðèëîæåíèþ óêàçàííûõ ìåòîäîâ ê çàäà÷å íåáåñíîéìåõàíèêè î äâèæåíèè ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû. 3.13.4 äîêàçàíà ýôôåêòèâíàÿ îöåíêà äëÿ ÷èñëà ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû âî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå êîîðäèíàò,ïðèâåäåíû óñëîâèÿ îðáèòàëüíîé óñòîé÷èâîñòè â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèèäëÿ îäíîãî èç ýòèõ äâèæåíèé, äàíî îïèñàíèå ïîðîæäàþùèõ äâèæåíèé.Ñôîðìóëèðóåì ðåçóëüòàò áîëåå òî÷íî.
Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à, ÿâëÿþùàÿñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïëîñêîé çàäà÷è N + 1 òåë. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òîìàññà îäíîãî òåëà Ñîëíöà ìíîãî áîëüøå ñóììû ìàññ îñòàëüíûõ òåë ïëàíåò è ñïóòíèêîâ, ïðè÷¼ì ìàññà êàæäîé ïëàíåòû èìååò âèä µmi , ãäåmi = const. Êàæäîé ïëàíåòå ñîïîñòàâëÿåòñÿ íàáîð å¼ ñïóòíèêîâ, íàõîäÿùèõñÿ âáëèçè ýòîé ïëàíåòû, íà ðàññòîÿíèè ïîðÿäêà ρ ¿ 1. Ïðè ýòîì äëÿêàæäîé ïëàíåòû ñóììà ìàññ å¼ ñïóòíèêîâ èìååò ïîðÿäîê ν ¿ 1 ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàññîé ýòîé ïëàíåòû, à óãëîâûå ñêîðîñòè âðàùåíèé ñïóòíèêîâ âîêðóãïëàíåòû èìåþò ïîðÿäîê 1/ω À 1 ïî ñðàâíåíèþ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ âðàùåíèÿ ýòîé ïëàíåòû âîêðóã Ñîëíöà.Äîêàçàíî, ÷òî ïðè åñòåñòâåííîì ñîîòíîøåíèè ìàëûõ ïàðàìåòðîâ îïèñàííîé çàäà÷è: ρ3 ∼ µω 2 , îòâå÷àþùåì âòîðîìó çàêîíó Êåïëåðà, íåâîçìóù¼ííàÿ çàäà÷à ðàñïàäàåòñÿ íà íåçàâèñèìûå çàäà÷è Êåïëåðà äëÿ êàæäîéïëàíåòû è ïðåäåëüíûå çàäà÷è Õèëëà äëÿ êàæäîãî ñïóòíèêà.
Ñ ïîìîùüþðåçóëüòàòîâ 2.1 îòñþäà âûâîäèòñÿ ñëåäóþùàÿ îöåíêà äëÿ ÷èñëà ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû âî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìåêîîðäèíàò.Òåîðåìà 5 (Òåîðåìà 11).  ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å N +1 òåë ôèêñèðóåìíàáîð ÷àñòîò ω1 , . . . , ωN äëÿ êðóãîâûõ äâèæåíèé ïëàíåò âîêðóã Ñîëíöà èñïóòíèêîâ âîêðóã ïëàíåò, ãäå ÷àñòîòû âñåõ ñïóòíèêîâ èìåþò ïîðÿäîê 1,à ÷àñòîòû âñåõ ïëàíåò èìåþò ïîðÿäîê ω , 0 < ω ¿ 1. Ïóñòü ýòîò íàáîðÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî ðåçîíàíñíûì: ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ T = O(1/ω)9ïîëîæåíèÿ âñåõ òåë ñèñòåìû îòëè÷àþòñÿ îò èñõîäíûõ ïîëîæåíèé ïîâîðîòîì ïëîñêîñòè íà îäèí è òîò æå óãîë α mod 2π âîêðóã Ñîëíöà.
Ïóñòüçíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ µ è ν äîñòàòî÷íî ìàëû: µ ≤ µ0 , ν ≤ ν0 , ãäå µ0è ν0 íåêîòîðûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, çàâèñÿùèå òîëüêî îò ω . Òîãäàâûïîëíåíî ñëåäóþùåå:À) Åñëè α mod 2π îòäåëåíî îò íóëÿ, òî ñóùåñòâóåò íå ìåíåå 2N −2 ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû âî âðàùàþùåéñÿñèñòåìå êîîðäèíàò, áëèçêèõ ê êðóãîâûì äâèæåíèÿì ñ äàííûìè ñðåäíèìè÷àñòîòàìè.Á) Ïóñòü èñõîäíûé íàáîð ñðåäíèõ ÷àñòîò óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèìóñëîâèÿì: çíà÷åíèå α mod π îòäåëåíî îò íóëÿ è êðóãîâûå äâèæåíèÿ âñåõïëàíåò è ñïóòíèêîâ ñîíàïðàâëåíû, ò.å.
óãëîâûå ñêîðîñòè ωj èìåþò îäèíçíàê. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ îòîáðàæåíèÿ çàïåðèîä ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêîé ôóíêöèåé âáëèçè N ìåðíîãî òîðà, îòâå÷àþùåãî êðóãîâûì äâèæåíèÿì, è âñå å¼ êðèòè÷åñêèå ïîäìíîãîîáðàçèÿ ÿâëÿþòñÿ äâóìåðíûìè òîðàìè. Òîãäà ýòè äâóìåðíûå òîðû èíâàðèàíòíû, è ïîìåíüøåé ìåðå îäèí èç íèõ îðáèòàëüíî óñòîé÷èâ â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèèíà îáùåé ïîâåðõíîñòè èíòåãðàëîâ ýíåðãèè è êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà.Êðîìå òîãî, ñëåäóÿ èäåÿì Ïóàíêàðå îá îáðàòèìîñòè çàäà÷è N + 1 òåë,äà¼òñÿ îòâåò íà âîïðîñ î ëîêàëèçàöèè óêàçàííûõ â òåîðåìå 5 ïåðèîäè÷åñêèõäâèæåíèé: äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå 2N −2 ñèììåòðè÷íûõ, èëè îáðàòèìûõ,ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû âî âðàùàþùåéñÿñèñòåìå êîîðäèíàò.
À èìåííî, ýòè äâèæåíèÿ õàðàêòåðèçóþòñÿ òåì, ÷òî âíåêîòîðûå ìîìåíòû âðåìåíè, êðàòíûå ïîëóïåðèîäó, âñå òåëà ñèñòåìû ðàñïîëàãàþòñÿ íà îäíîé ïðÿìîé, ò.å. íàáëþäàþòñÿ ïàðàäû ïëàíåò è ñïóòíèêîâ. 3.5 ðàññìàòðèâàåòñÿ, â ÷àñòíîñòè, ñëó÷àé ïëàíåòíîé ñèñòåìû ñ äâîéíûìè ïëàíåòàìè (ò.å. ïëàíåòàìè, èìåþùèìè íå áîëåå îäíîãî ñïóòíèêà), èäëÿ ñèñòåì ñ òàêèìè ïëàíåòàìè äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå,áåç ïðåäïîëîæåíèÿ î ìàëîñòè îòíîøåíèÿ ìàññû ñïóòíèêà ê ìàññå ïëàíåòû.Ýòîò ðåçóëüòàò îáîáùàåò àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò Ã. À.
Êðàñèíñêîãî [8] îäâèæåíèè ïëàíåòíîé ñèñòåìû, à òàêæå Â. Í. Òõàÿ [12].  ýòèõ ðàáîòàõ ðàññìàòðèâàëàñü ïëàíåòíàÿ ñèñòåìà, â êîòîðîé ïëàíåòû íå èìåþò ñïóòíèêîâ,è äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé ïåðâîãî ðîäà òàêîé ñèñòåìû áûëà äîêàçàíà òåîðåìà 5. Êðîìå òîãî, ýòà òåîðåìà îáîáùàåò ðåçóëüòàò Ìóëüòîíà [26](îáîáùàþùèé â ñâîþ î÷åðåäü ðåçóëüòàò Õèëëà), â êîòîðîì îíà áûëà ïîëó÷åíà äëÿ ñèñòåìû òèïà Ñîëíöå-Çåìëÿ-Ëóíà, ò.å. äëÿ ñëó÷àÿ îäíîé ïëàíåòûè îäíîãî ñïóòíèêà.
Òåîðåìà 5 â ñëó÷àå Ñîëíöå-ïëàíåòà-ñïóòíèêè áûëà ïîëó÷åíà ðàíåå â ðàáîòå [12] Òõàÿ.Ðåçóëüòàòû äàííîé äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü íà äåâÿòíàäöàòîé ñåñ10ñèè ñîâìåñòíûõ çàñåäàíèé ñåìèíàðà èì. È. Ã. Ïåòðîâñêîãî è Ìîñêîâñêîãîìàòåìàòè÷åñêîãî îáùåñòâà â ÿíâàðå 1998 ã., íà ñåìèíàðå ïî âåêòîðíîìó èòåíçîðíîìó àíàëèçó èì. Â. Ê. Ðàøåâñêîãî ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ, íà íàó÷íîì ñåìèíàðå êàôåäðû íåáåñíîé ìåõàíèêè ÃÀÈØ(Ãîñóäàðñòâåííîãî àñòðîíîìè÷åñêîãî èíñòèòóòà èì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
