Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ï. 2).þùåå âåêòîðó δξ = δξ(η) = ∂ξ∂mÍàéä¼ì ðàçíîñòü âåêòîðîâ η̃0 = dgṼT̃ ◦ di(m0 )η è η̃T̃ = di(m0 )ηT̃ . Ñ îäíîéñòîðîíû, ðàçíîñòü âåêòîðîâ ηT̃ è η0 ïðîïîðöèîíàëüíà âåêòîðó Vm0 . Ïîýòîìóðàçíîñòü η̃0 − η̃T̃ ðàâíàdÃ(i(m0 ))η̃ − η̃ñ òî÷íîñòüþ äî âåêòîðà, ïðîïîðöèîíàëüíîãî âåêòîðó Ṽi(m0 ) . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç óðàâíåíèÿ (48) íàõîäèì, ÷òî ïðîåêöèÿ ýòîé ðàçíîñòè íà ïîäïðîñòðàíñòâî Ti(m0 ) σ âäîëü âåêòîðà Ṽi(m0 ) ðàâíàL̃m0 δξ(η) = L̃m0 ◦∂ξm(m0 ) ◦ (di(m0 ))−1 η̃.∂mÝòî äîêàçûâàåò ðàâåíñòâî (47) äëÿ ëþáîãî âåêòîðà η̃ ∈ Ti(m0 ) (Λ̃ ∩ σ).4. Òàêèì îáðàçîì, â ñèëó (47) îáðàç ïðè îòîáðàæåíèè di(m0 ) ÿäðà îïå∂ðàòîðà ∂mξm |σm0 ∩Λ (m0 ) â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ÿäðîì îïåðàòîðàB : Ti(m0 ) (Λ̃ ∩ σ) → θ̃i(m0 ) ,B η̃ = dÃ(i(m0 ))η̃ − η̃. ÷àñòíîñòè, äëÿ ëþáîé îñîáîé òî÷êè m0 âåêòîðíîãî ïîëÿ ξ|σm0 ∩Λ íåâûðîæäåííîñòü ýòîé òî÷êè îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàòîð B ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì.Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî ÿäðî îïåðàòîðà B ñîâïàäàåò ñ ÿäðîì îïåðàòîðàdÃ(i(m0 )) − I .
Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî â ñèëó (47) îïåðàòîð(dÃ(i(m0 )) − I) : Ti(m0 ) σ = (Ti(m0 ) (Λ̃ ∩ σ)) ⊕ Ni(m0 ) → Ti(m0 ) σ = θ̃i(m0 ) ⊕ Di(m0 )!ÃB ∗çàäà¼òñÿ áëî÷íîé ìàòðèöåé âèäà, ãäå ìàòðèöà C íåâûðîæäåíà â0 Cñèëó óñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòè Λ. Çäåñü Ni(m0 ) òðàíñâåðñàëü ê Ti(m0 ) (σ ∩Λ̃) â Ti(m0 ) σ , áëèçêàÿ ê òðàíñâåðñàëè ê Tm0 (σm0 ∩ Λ) â Tm0 σm0 .Òàêèì îáðàçîì, â îñîáîé òî÷êå m0 ïîëÿ ξ îáðàç ïðè êàñàòåëüíîì îòîáðàæåíèè di(m0 ) ÿäðà îïåðàòîðà ëèíåàðèçàöèè ïîëÿ ξ|σm0 ∩Λ â òî÷êå m0 âòî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ÿäðîì îïåðàòîðà dÃ(i(m0 )) − I .85 ÷àñòíîñòè, îñîáàÿ òî÷êà m0 ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé äëÿ ïîëÿ ξ|σm0 ∩Λâ òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà îáðàç çàìêíóòîé òðàåêòîðèè γm0 ïðè îòîáðàæåíèè i ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé çàìêíóòîé òðàåêòîðèåé âîçìóù¼ííîéñèñòåìû.Ýòî äîêàçûâàåò ñâîéñòâî 6◦ , à òåì ñàìûì, è âñ¼ ñëåäñòâèå èç ëåììû 8.Âåðí¼ìñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó óòâåðæäåíèÿ 3 î çàìêíóòûõ òðàåêòîðèÿõãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì.Øàã 6.
Çäåñü ìû ïîñòðîèì ôóíêöèþ ψ íà Λ, ïîñòîÿííóþ íà çàìêíóòûõòðàåêòîðèÿõ íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H , ò.å. èíâàðèàíòíóþ îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ îêðóæíîñòè íà Λ.Ïóñòü i : Λ → H̃ −1 (h) âëîæåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì ëåììû8.Ôóíêöèÿ ψ áóäåò îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû, è ðàçíîñòü å¼çíà÷åíèé â ëþáûõ äâóõ òî÷êàõ m0 , m1 ∈ Λ îïðåäåëèì ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ñîåäèíèì òî÷êè m0 è m1 êàêîé-íèáóäü êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé mv ∈ Λ, 0 ≤v ≤ 1, è ðàññìîòðèì 2öåïü C(m∗ ) â Λ ñ êîîðäèíàòàìè v , s, îáðàçîâàííóþv)òðàåêòîðèÿìè γmv ( T (ms), 0 ≤ s ≤ 2π , âûïóùåííûìè èç òî÷åê ýòîé êðèâîé2π(0 ≤ v ≤ 1). (Ýòà öåïü íå ÿâëÿåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, âëîæåííîé â Λ, ò.å.ðàçíûì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ v , s íà C(m∗ ) ìîæåò îòâå÷àòü îäíà è òà æåòî÷êà íà Λ.) ÏîëîæèìZZψ(m1 ) − ψ(m0 ) =i(C(m∗ ))ω2.Äîêàæåì êîððåêòíîñòü ýòîãî îïðåäåëåíèÿ, ò.å.
÷òî ðàçíîñòü ψ(m1 ) −ψ(m0 ) íå çàâèñèò îò âûáîðà ïóòè, ñîåäèíÿþùåãî òî÷êè m0 è m1 . Ýòî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî ïóòè mv , 0 ≤ v ≤ 1, èíòåãðàëôîðìû ω 2 ïî îáðàçó ñîîòâåòñòâóþùåãî 2öèêëà C(m∗ ) ïðè âëîæåíèè i ðàâåí íóëþ. Íî îòîáðàæåíèå i íå ìåíÿåò êëàññ êîãîìîëîãèé öèêëîâ íà Λ,òàê êàê îíî áëèçêî ê òîæäåñòâåííîìó. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó çàìêíóòîñòèôîðìû ω 2 ,ZZZZ2ω =ω2.i(C(m∗ ))C(m∗ )Òàê êàê öèêë C(m∗ ) öåëèêîì ëåæèò íà èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòèH −1 (h) è îáðàçîâàí òðàåêòîðèÿìè ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H , òî, â ñèëó ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ Ãàìèëüòîíà, ïîñëåäíèé èíòåãðàë ðàâåííóëþ.
Ýòî äîêàçûâàåò êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ψ íà Λ.Ïî ïîñòðîåíèþ, ôóíêöèÿ ψ èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ îêðóæíîñòè íà Λ.Äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ îáðàùàåòñÿ â íîëüâ íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êå m0 ∈ Λ. Òàê êàê ïðè ε = 0 ôóíêöèÿ86ψ òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ, ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ïîñòðîåííóþ ôóíêöèþ÷åðåç ψ = εS .Øàã 7. Íàéä¼ì ÿâíûé âèä äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè ψ .Ïóñòü Q = Qm (ξ, η), ξ ∈ θm , η ∈ Tm Λ, m ∈ Λ, ëþáîå ïîëå áèëèíåéíûõôîðì íà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ. Îïðåäåëèì óñðåäíåíèå Q̄ = Q̄m (ξ, η) ýòîãî ïîëÿ. Ýòî èíâàðèàíòíàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìà òàêîãî æå âèäà, îïðåäåëÿåìàÿïî ôîðìóëå1 Z 2πQ̄m (ξ, η) =Qas (m) (âs ξ, (as )∗ η)ds,2π 0m ∈ Λ.(m)Çäåñü as : Λ → Λ, as (m) = γm ( T 2πs), åñòåñòâåííîå äåéñòâèå îêðóæíîñòèíà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ, âs : θm → θas (m) åñòåñòâåííîå äåéñòâèå îêðóæíîñòè íà ïîëå ïîäïðîñòðàíñòâ θm , m ∈ Λ. ßñíî, ÷òî ôîðìà Q èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî åñòåñòâåííîãî äåéñòâèÿ îêðóæíîñòè íà ïîëÿõ θm è Tm Λ,m ∈ Λ.Ðàññìîòðèì íà Λ ïîëå áèëèíåéíûõ ôîðì Q̃ = Q̃m (ξ, η), ξ ∈ θm , η ∈ Tm Λ,m ∈ Λ, ïîëàãàÿQ̃m (ξ, η) = ω 2 (Pm0 ,i(m) ξm0 , di(m)η),ãäå m0 = ργm ◦ i(m), ξm0 ∈ θm0 âåêòîð, ïîëó÷àþùèéñÿ èç âåêòîðà ξ ∈ θmïåðåíåñåíèåì â òî÷êó m0 ∈ γm , áëèçêóþ ê òî÷êå m, ïðè ïîìîùè åñòåñòâåí¯ íîãî äåéñòâèÿ îêðóæíîñòè íà ïîëå ïîäïðîñòðàíñòâ θm , m ∈ Λ.
Ïóñòü Q̃ïîëå áèëèíåéíûõ ôîðì, ÿâëÿþùååñÿ óñðåäíåíèåì (ñì. âûøå) ïîëÿ Q̃.Ïîêàæåì, ÷òî äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè ψ â ëþáîé òî÷êå m ∈ Λ èìååòâèä¯ (ξ , η), m ∈ Λ, η ∈ T Λ,dψ(m)η = T̃ (m)Q̃(49)mm mãäå T̃ è ξm ∈ θm , m ∈ Λ, ôóíêöèÿ íà Λ è âåêòîðíîå ïîëå èç ëåììû 8.Îòìåòèì, ÷òî îòñþäà áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî â ëþáîé îñîáîé òî÷êå m ∈ Λïîëÿ ξ êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü ôóíêöèè ψ ðàâí௠( ∂ξm η , η),d2 ψ(m)η1 η = T̃ (m)Q̃1m∂m(50)η ∈ Tm Λ. ñàìîì äåëå, äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè ψ â òî÷êå m ∈ Λ èìååò âèädψ(m)η =Z 2π0(di(m)∗ ω 2 )((as )∗ η,T (m)Vas (m) )ds.2πÏî ñâîéñòâó 2◦ âëîæåíèÿ i (ñì.
ëåììó 8) èìååì di(m)Vm =T̃ (m)(Ṽi(m)T (m)−Pm0 ,i(m) ξm0 ). Íî âåêòîðíîå ïîëå Ṽ êîñîîðòîãîíàëüíî âñåì âåêòîðàì, êàñàòåëüíûì ê ïîâåðõíîñòè H̃ −1 (h) è, â ÷àñòíîñòè, âåêòîðó di(m)(as )∗ η . Êðîìå87òîãî, ξas (m) = âs ξm ïî ñâîéñòâó èíâàðèàíòíîñòè 1◦ âåêòîðíîãî ïîëÿ ξ (ñì.ëåììó 8). Îòñþäà ñëåäóåò ôîðìóëà (49) äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè ψ .Çàìå÷àíèå. Äëÿ íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, ò.å.
â ñëó÷àå i = IdΛ , áèëèíåéíàÿ ôîðìà Q, îïðåäåë¼ííàÿ âûøå, èìååò âèäQm (ξ, η) = ω 2 (ξ, η),m ∈ Λ, ξ ∈ θm , η ∈ Tm Λ,ò.å. ñîâïàäàåò ñî ñïàðèâàíèåì ïðè ïîìîùè ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû.Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 8, ñì. øàã 2, ñïàðèâàíèå Q èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíîåñòåñòâåííîãî äåéñòâèÿ îêðóæíîñòè íà ïîëÿõ ïîäïðîñòðàíñòâ θm è Tm Λ,m ∈ Λ.
Ïîýòîìó óñðåäíåíèå Q̄ ôîðìû Q ñîâïàäàåò ñ ôîðìîé Q. Çíà÷èò,íåâîçìóù¼ííàÿ ôîðìà Q̄ çàäà¼ò íåâûðîæäåííîå áèëèíåéíîå ñïàðèâàíèå íàïîäïðîñòðàíñòâàõ θm è βm , m ∈ Λ, ãäå βm = Tm (σm ∩ Λ).Øàã 8. Òåïåðü âîçüì¼ì ëþáóþ êðèòè÷åñêóþ òî÷êó m ∈ Λ ôóíêöèè ψ èïîêàæåì, ÷òî å¼ îáðàç i(m) ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé ïðè îòîáðàæåíèèÏóàíêàðå Ãm , ò.å.
÷òî âåêòîð ñìåùåíèÿ ξm ðàâåí íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî,ïî íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ, ñ ó÷¼òîì (49), ýòîò âåêòîð îðòîãîíàëåí âñåì¯ , ñì. ïðåäûäóùèé øàã.êàñàòåëüíûì ê Λ âåêòîðàì îòíîñèòåëüíî ôîðìû Q̃¯Íî çàìå÷àíèå, ñäåëàííîå íà ïðåäûäóùåì øàãå, ïîêàçûâàåò, ÷òî ôîðìà Q̃çàäà¼ò íåâûðîæäåííîå ñïàðèâàíèå íà ïîäïðîñòðàíñòâàõ θm è βm , m ∈ Λ.¯ (ξ , η) ïðè ëþáîìÎòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî èç ðàâåíñòâà íóëþ çíà÷åíèÿ Q̃m mη ∈ Tm Λ ñëåäóåò, ÷òî ξm = 0.Íàêîíåö, èç ôîðìóëû (50) ñ ó÷¼òîì ñâîéñòâà 6◦ (ñëåäñòâèå îñíîâíîéëåììû 8) ïîëó÷àåì, ÷òî îáðàç ïðè îòîáðàæåíèè di(m) íóëåâîãî ïðîñòðàíñòâà ãåññèàíà ôóíêöèè ψ â êðèòè÷åñêîé òî÷êå m ∈ Λ ñîâïàäàåò ñ ÿäðîìîïåðàòîðà dÃm0 (i(m))−I .
 ÷àñòíîñòè, áîòòîâîñòü êðèòè÷åñêîé òðàåêòîðèèγ ⊂ Λ äëÿ ôóíêöèè ψ : Λ → IR ýêâèâàëåíòíà íåâûðîæäåííîñòè çàìêíóòîéòðàåêòîðèè i(γ) âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû.Îòñþäà íåìåäëåííî ñëåäóþò ñâîéñòâà 1◦ 3◦ , 5◦ èç óòâåðæäåíèÿ 3. Ñâîéñòâî 4◦ èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ, à òàêæå ñâîéñòâà 6◦ è 7◦ (èç ëåììû 1 èóòâåðæäåíèÿ 4) áóäóò äîêàçàíû íèæå.Èòàê, òåîðåìà 1 äîêàçàíà.1.6.2 Ðàñïîëîæåíèå çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé ýòîì ïóíêòå ìû äîêàæåì ìåòîä óñðåäíåíèÿ íà ïîäìíîãîîáðàçèè. Òî÷íåå,ìû äîêàæåì áîëåå ñèëüíóþ ôîðìóëèðîâêó ìåòîäà óñðåäíåíèÿ, ò.å.
ïóíêò4◦ óòâåðæäåíèÿ 3.Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ S = 1ε ψ íà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ, ïîñòðîåííóþ âûøå(øàã 6). Ìû äîëæíû ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ −S áëèçêà ê ôóíêöèè H̄,88ïîëó÷åííîé óñðåäíåíèåì (6) âîçìóùåíèÿ H = 1ε (H̃ − H) ïî çàìêíóòûìòðàåêòîðèÿì íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íà Λ.Çàìåòèì, ÷òî ýòî ëîêàëüíîå óòâåðæäåíèå, ò.å. åãî äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü íà êîíå÷íîì ÷èñëå êàêèõ-ëèáî ôèêñèðîâàííûõ îáëàñòåé â Λ, ïîêðûâàþùèõ âñ¼ Λ. Ìû äîêàæåì ýòî óòâåðæäåíèå â øàðîâîé îêðåñòíîñòè ëþáîéòî÷êè m ∈ Λ è, òåì ñàìûì, â òðóá÷àòîé îêðåñòíîñòè ñîîòâåòñòâóþùåéòðàåêòîðèè γm ⊂ Λ (â ñèëó êîìïàêòíîñòè, ìíîãîîáðàçèå Λ ïîêðûâàåòñÿêîíå÷íûì ÷èñëîì òàêèõ îêðåñòíîñòåé).Ïðîâåä¼ì ÷åðåç òî÷êó m ∈ Λ ñå÷åíèå Ïóàíêàðå σm â H −1 (h), òðàíñâåðñàëüíîå ê òðàåêòîðèè γm .
Ïóñòü A : σm → σm îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå,à : σ̃m → σ̃m âîçìóù¼ííîå îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå, Ψ̃ ïðîèçâîäÿùàÿôóíêöèÿ îòîáðàæåíèÿ Ã.Ïóñòü ξm ∈ θm , m ∈ Λ, âåêòîðíîå ïîëå èç ëåììû 8. Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ ýòîé ëåììû (ñâîéñòâî 7◦ ), âåêòîðíîå ïîëå 1ε T (m)ξm , m ∈ Λ, C r−2 áëèçêî ê âîçìóùåíèþ A îòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå, ò.å.
ê âåêòîðíîìó ïîëþAm ∈ θm , ãäå Am ïðîåêöèÿ íà θm âåêòîðà ñìåùåíèÿ òî÷êè m. Ïîýòîìóôîðìóëà (49) äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè S ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íà ôîðìóëå (34) äèôôåðåíöèàëà îãðàíè÷åíèÿ íà Λ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè 1ε Ψ̃. Íîñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 8 î ìåòîäå óñðåäíåíèÿ (ñì. ï. 1.4.6) ïîñëåäíÿÿ ôóíêöèÿ áëèçêà ê ôóíêöèè −H̄.Ýòî äîêàçûâàåò ïóíêò 4◦ óòâåðæäåíèÿ 3.
Òåì ñàìûì, ìåòîä óñðåäíåíèÿïîëíîñòüþ äîêàçàí.1.6.3 Óñòîé÷èâîñòü çàìêíóòûõ òðàåêòîðèéÇäåñü ìû äîêàæåì ñâîéñòâî 7◦ èç óòâåðæäåíèÿ 4 îá óñòîé÷èâîñòè çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû.Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåä¼ì ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó â ñëó÷àå íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèé.Êàê â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì, ò.å. íåòíåîáõîäèìîñòè ðàññìàòðèâàòü öåëóþ îêðåñòíîñòü ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ, à äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü øàðîâóþ îêðåñòíîñòü êàêîé-ëèáî òî÷êè m ∈ Λ. Ïðîâåä¼ì ÷åðåç òî÷êó m ñå÷åíèå Ïóàíêàðå σm â H −1 (h), òðàíñâåðñàëüíîå êòðàåêòîðèè γm . Ïóñòü A : σm → σm îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå, à : σ̃m → σ̃m âîçìóù¼ííîå îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå.Ïóñòü S : Λ → IR ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ èç óòâåðæäåíèÿ 3, è ïóñòü m ∈ Λ å¼ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà: dS(m) = 0.  ÷àñòíîñòè, i(γm ) çàìêíóòàÿ òðàåêòîðèÿ âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû. Îáîçíà÷èì ÷åðåç m̃ = σ̃m ∩ i(γm ) òî÷êóïåðåñå÷åíèÿ ýòîé çàìêíóòîé òðàåêòîðèè ñ ñå÷åíèåì Ïóàíêàðå σ̃m , ò.å. m̃ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ Ã.
Ðàññìîòðèì â òî÷êàõ m è m̃ êâàäðàòè÷íûå ôîðìû Q = ω 2 (dA(m)∗, ∗) è Q̃ = ω 2 (dÃ(m̃)∗, ∗). Ýòè ôîðìû 89ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè îïåðàòîðîâ ìîíîäðîìèè dA(m) â òî÷êå m è dÃ(m̃)â òî÷êå m̃.1. Äîêàæåì ñíà÷àëà ñâîéñòâî 6◦ èç ëåììû 1 îá èíäåêñàõ ãåññèàíà ôóíêöèè S è êâàäðàòè÷íîé ôîðìû Q̃:ind Q̃ = ind Q + ind d2 S(m).(51)Íàïîìíèì: â ëåììå 1 ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â òî÷êå m (êàê è â ëþáîé òî÷êåíà Λ) ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ Q = Q(m) íåâûðîæäåíà íà íîðìàëüíîìïîäïðîñòðàíñòâå ê Tm (Λ ∩ σm ) â Tm σm , ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
