Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Ñïðîåêòèðóåì ïîäìíîãîîáðàçèåΛ̃γ íà Λ ïðè ïîìîùè ðåòðàêöèè ρ : U → Λ.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èìòðàåêòîðèè íà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ âèäàρ(γ̃γ,m (t)),0 ≤ t ≤ T̃γ (m),ïðè ýòîì ρ(γ̃γ,m (0)) = m, m ∈ Λm0 .(m)s)) C r−1 áëèçêà ê ñîßñíî, ÷òî êàæäàÿ òðàåêòîðèÿ γ̃m := ρ(γ̃γ,m ( T̃γ2π(m)s), s ∈ S 1 . Ðàñîòâåòñòâóþùåé íåâîçìóù¼ííîé òðàåêòîðèè γm := γm ( T 2π1ñìîòðèì îòíîñèòåëüíûé öåíòð ìàññ η̄ = η̄m0 ,m,s , s ∈ S (ò.å. îòíîñèòåëüíîåóñðåäíåíèå) òðàåêòîðèè γ̃m ïî îòíîøåíèþ ê òðàåêòîðèè γm0 , ñì.
îïðåäåëåíèå 15. Íàïîìíèì, ÷òî îòíîñèòåëüíîå óñðåäíåíèå η̄ ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûìâåêòîðíûì ïîëåì âäîëü òðàåêòîðèè γm0 . Ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà òî÷êà m ∈ Λm0 , äëÿ êîòîðîé ýòî îòíîñèòåëüíîå óñðåäíåíèå ðàâíîíóëþ. (Îáðàç ýòîé òî÷êè ïðè îòîáðàæåíèè jγ ìû è îáîçíà÷èì ÷åðåç i(m0 ).) ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå Λm0 → Tm0 Λ, ïåðåâîäÿùåå òî÷êó m ∈ Λm0 â îòíîñèòåëüíîå óñðåäíåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé êðèâîé, ò.å.81â âåêòîð η̄m0 ,m,0 ∈ Tm0 Λ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè íåâîçìóù¼ííîì îòîáðàæåíèè (ò.å. îòâå÷àþùåì íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìå V ) òî÷êà m0 ïåðåõîäèòâ 0, è äèôôåðåíöèàë íåâîçìóù¼ííîãî îòîáðàæåíèÿ â òî÷êå m0 ÿâëÿåòñÿòîæäåñòâåííûì îïåðàòîðîì â Tm0 Λ. ßñíî, ÷òî âîçìóù¼ííîå îòîáðàæåíèåC r−1 áëèçêî ê íåâîçìóù¼ííîìó (òàê êàê âîçìóù¼ííàÿ íàäñòðîåííàÿ ñèñòåìà C r−1 áëèçêà ê íåâîçìóù¼ííîé íàäñòðîåííîé ñèñòåìå, òî æå âåðíî äëÿâëîæåíèÿ jγ , à çíà÷èò, è äëÿ òðàåêòîðèé γ̃m ).
Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå îíåÿâíîé ôóíêöèè, ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíà òî÷êà m = m(m0 ) ∈ Λm0 , êîòîðàÿ ïðè âîçìóù¼ííîì îòîáðàæåíèè ïåðåõîäèò â 0. Ïîëîæèì i(m0 ) = jγ (m),T̃ (m0 ) = τm0 (jγ (m)).Àíàëîãè÷íîå ïîñòðîåíèå ïðîâåä¼ì äëÿ âñåõ òî÷åê m00 òðàåêòîðèè γ , àçàòåì è äëÿ âñåõ òðàåêòîðèé γ 0 ⊂ Λ.  èòîãå ìû ïîëó÷èì íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå i : Λ → U è ôóíêöèþ T̃ : Λ → IR.0) 0Ïîêàæåì, ÷òî ëþáàÿ òî÷êà m00 = γm0 ( T (ms ) ∈ γ ïðè îòîáðàæåíèè i2π0) 0ïåðåõîäèò â ñîîòâåòñòâóþùóþ òî÷êó m0 = γ̃γ,m ( T̃ (ms ) òðàåêòîðèè íàä2πñòðîåííîé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, âûõîäÿùåé èç òî÷êè m = i(m0 ). Äðóãèìè ñëîâàìè, íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà s0 ∈ S 1 òðàåêòî0)0)ðèÿ γm0 ( T (m(s + s0 )) ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ìàññ òðàåêòîðèè γ̃γ,m ( T̃ (m(s + s0 )),2π2πs ∈ S 1 .
Ýòî ñëåäóåò èç ñëåäóþùåé ëåììû.Ëåììà 10. Ïóñòü íà ìíîãîîáðàçèè Λ çàäàíî ãëàäêîå äåéñòâèå îêðóæíî-ñòè, è êðèâàÿ γm (s), s ∈ S 1 , îðáèòà òî÷êè m ∈ Λ ïðè ýòîì äåéñòâèè.Ïóñòü êðèâàÿ γm (s) ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ìàññ íåêîòîðîé êðèâîé γ̃(s) íà Λ,s ∈ S 1 . Òîãäà äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà s0 ∈ S 1 êðèâàÿ γm (s + s0 ) ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ìàññ êðèâîé γ̃(s + s0 ), s ∈ S 1 . Äðóãèìè ñëîâàìè, âçÿòèå öåíòðà ìàññêîììóòèðóåò ñ åñòåñòâåííûì äåéñòâèåì îêðóæíîñòè íà ïðîñòðàíñòâåïàðàìåòðèçîâàííûõ çàìêíóòûõ êðèâûõ.Äîêàçàòåëüñòâî. Íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî öåíòð ìàññ êðèâîé γ̃(s + s0 ), s ∈S 1 , îòíîñèòåëüíî êðèâîé γm (s + s0 ), s ∈ S 1 , ðàâåí íóëþ.
Îáîçíà÷èì ÷åðåças : Λ → Λ äåéñòâèå ýëåìåíòà s ∈ S 1 íà ìíîãîîáðàçèè Λ. Òîãäà êàñàòåëüíûéâåêòîð â òî÷êå γm (s0 ), àíàëîãè÷íûé âåêòîðó η̄0 â òî÷êå γm (0), èìååò âèä0η̄0 (s ) =Z 2π0(a−1s )∗ ηs+s0 ds=Z 2π0(as0 )∗ (a−1s+s0 )∗ ηs+s0 ds = (as0 )∗ η̄0 .Ïî îïðåäåëåíèþ 15 öåíòðà ìàññ âåêòîð η̄0 ðàâåí íóëþ, ïîýòîìó âåêòîð η̄0 (s0 ),òîæå ðàâåí íóëþ. Ýòî äîêàçûâàåò ëåììó 10.Òàêèì îáðàçîì, ïîñòðîåííîå îòîáðàæåíèå i : Λ → U óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1◦ , 2◦ , 3◦ , à òàêæå óñëîâèþ 5◦ ëåììû 8.Äîêàæåì ñâîéñòâî 4◦ .
Ïóñòü γ̃m çàìêíóòàÿ òðàåêòîðèÿ âîçìóù¼ííîéñèñòåìû, γ = γm0 öåíòð ìàññ òðàåêòîðèè ρ(γ̃m ) íà Λ. ßñíî, ÷òî γ̃m ⊂ Λγ .Ëåãêî âèäåòü, ÷òî i(m0 ) = m è i(γm0 ) = γ̃m . Ýòî äîêàçûâàåò ñâîéñòâî 4◦ .82Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî îòîáðàæåíèå i : Λ → U ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì èC áëèçêî ê òîæäåñòâåííîìó (îòñþäà àâòîìàòè÷åñêè áóäåò ñëåäîâàòü,÷òî îíî ÿâëÿåòñÿ âëîæåíèåì). Ýòî ñëåäóåò èç òåîðåìû î íåÿâíûõ ôóíêöèÿõ ñ ó÷¼òîì ñëåäóþùèõ ôàêòîâ:r−11. íàäñòðîåííàÿ ñèñòåìà íà Uγm0 ãëàäêî çàâèñèò îò ïàðàìåòðà m0 ∈ Λ;2. äëÿ íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû âëîæåíèå i òîæäåñòâåííî;3.
ñåìåéñòâî âîçìóù¼ííûõ íàäñòðîåííûõ ñèñòåì C r−1 áëèçêî ê ñåìåéñòâó íåâîçìóù¼ííûõ íàäñòðîåííûõ ñèñòåì (ïî ïåðåìåííûì m0 ∈ Λ èm ∈ Uγm0 ).Äåéñòâèòåëüíî, îòîáðàæåíèå ρ◦i : Λ → Λ, m0 7→ m(m0 ), çàäà¼òñÿ ñîîòíîøå(m)s)) ïî îòíîøåíèþíèåì îòíîñèòåëüíûé öåíòð ìàññ òðàåêòîðèè ρ(γ̃γ,m ( T̃ 2πT (m0 )1ê òðàåêòîðèè γm0 ( 2π s) ðàâåí íóëþ (s ∈ S ). Äëÿ âîçìóù¼ííîé ñèñòåìûýòî ñîîòíîøåíèå C r−1 áëèçêî ê àíàëîãè÷íîìó ñîîòíîøåíèþ äëÿ íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû. Äëÿ íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû ýòî ñîîòíîøåíèå çàäà¼ò òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå, ïðè÷¼ì ÿêîáèàí èç òåîðåìû î íåÿâíûõ ôóíêöèÿõâñþäó îòëè÷åí îò íóëÿ.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå î íåÿâíûõ ôóíêöèÿõ, ñó÷¼òîì êîìïàêòíîñòè Λ, îòîáðàæåíèå ρ ◦ i C r−1 áëèçêî ê òîæäåñòâåííîìó.Òàê êàê îòîáðàæåíèå j : Λ → Λ̃ òîæå C r−1 áëèçêî ê òîæäåñòâåííîìó, òî èîòîáðàæåíèå i = j ◦ (ρ ◦ i) : Λ → Λ̃ C r−1 áëèçêî ê òîæäåñòâåííîìó.Ëåììà 8 ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäñòâèÿ ëåììû 8. ßñíî, ÷òî âåêòîðíîå ïîëå V̄m ∈θm , m ∈ Λ (óñðåäí¼ííîå âîçìóùåíèå) áëèçêî ê ïîëþ Am ∈ θm (âîçìóùåíèå îòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâà 7◦ çàìåòèì, ÷òîâîçìóùåíèå A îòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå ìàëî ìåíÿåòñÿ ïðè C r−1 áëèçêèõ êòîæäåñòâåííûì äåôîðìàöèÿõ ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ â U , ïîñêîëüêó ýòî âåðíîäëÿ íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû.
Ñëåäîâàòåëüíî, óñðåäí¼ííîå âîçìóùåíèå íàïîäìíîãîîáðàçèè Λ áëèçêî ê óñðåäí¼ííîìó âîçìóùåíèþ íà åãî äåôîðìàöèèΛ̃ = i(Λ). Íî ïîñëåäíåå â òî÷íîñòè ðàâíî âåêòîðíîìó ïîëþ 1ε T̃ ξ â ñèëó åãîèíâàðèàíòíîñòè (ñâîéñòâî 2◦ ).Äîêàæåì ñâîéñòâî 6◦ î íåâûðîæäåííûõ çàìêíóòûõ òðàåêòîðèÿõ. Ðàññìîòðèì ëþáóþ òî÷êó m0 ∈ Λ, â êîòîðîé ξm0 = 0.  ñèëó èíâàðèàíòíîñòèïîëÿ ξ èìååì ξ|γ = 0, ãäå γ = γm0 ⊂ Λ (íåâîçìóù¼ííàÿ) òðàåêòîðèÿ,âûïóùåííàÿ èç òî÷êè m0 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî γ̃ = i(γ) çàìêíóòàÿ òðàåêòîðèÿ âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû. Ïóñòü T̃ = T̃ (m0 ) ïåðèîä ýòîé òðàåêòîðèè.Íàì íóæíî íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèé îïåðàòîð ìîíîäðîìèè â òî÷êå i(m0 ).1.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç gṼt ïîòîê âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû. Îáîçíà÷èì ÷åðåçdgṼt ñîîòâåòñòâóþùèé êàñàòåëüíûé ïîòîê âäîëü òðàåêòîðèè γ̃ .83Ïðîâåä¼ì ÷åðåç òî÷êó i(m0 ) ìàëåíüêóþ òðàíñâåðñàëü σ ê òðàåêòîðèè γ̃â U . Óäîáíî ïðè ýòîì ñ÷èòàòü, ÷òî σ ∩ i(Λ) = i(σm0 ∩ Λ). Îáîçíà÷èì ÷åðåçdÃ(i(m0 )) îïåðàòîð ìîíîäðîìèè â òî÷êå i(m0 ), äåéñòâóþùèé â ïðîñòðàíñòâå Ti(m0 ) σ . Ýòîò îïåðàòîð ðàâåí êîìïîçèöèè îïåðàòîðà dgṼT̃ è ïðîåêöèèíà ïðîñòðàíñòâî Ti(m0 ) σ âäîëü âåêòîðà Ṽ .2. Ôèêñèðóåì ëþáîé âåêòîð δξ ∈ θm0 è ïåðåíåñ¼ì åãî â îñòàëüíûå òî÷êèm òðàåêòîðèè γ ïðè ïîìîùè åñòåñòâåííîãî äåéñòâèÿ îêðóæíîñòè íà ïîëåïîäïðîñòðàíñòâ θm , m ∈ Λ. Ïåðåíåñ¼ì ïîëó÷åííûå âåêòîðû â òî÷êè êðèâîé γ̃ = i(γ) ïðè ïîìîùè îïåðàòîðîâ Pm0 ,i(m) : θm0 → θm0 ,i(m) , m ∈ γ , ãäåm0 = m0 (m) = ργ ◦ i(m).  èòîãå ìû ïîëó÷èì â êàæäîé òî÷êå γ̃(t) = i(m)òðàåêòîðèè γ̃ íåêîòîðûé âåêòîð δξt ∈ θm0 ,i(m) , 0 ≤ t ≤ T̃ = T̃ (m), ãäåδξ0 = δξT̃ .Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíûé ëèíåéíûé îïåðàòîðL̃m0 : θm0 → Ti(m0 ) σ,ïåðåâîäÿùèé âåêòîð δξ â ïðîåêöèþ âåêòîðà0δξ =Z T̃0dgṼT̃ −t δξt dtíà ïðîñòðàíñòâî Ti(m0 ) σ âäîëü âåêòîðà Ṽi(m) .
Îáðàç îïåðàòîðà L̃m0 â Ti(m0 ) σìû îáîçíà÷èì ÷åðåç θ̃i(m0 ) .Îáîçíà÷èì ÷åðåç Di(m0 ) êàêîå-íèáóäü ïîäïðîñòðàíñòâî â Ti(m0 ) σ , áëèçêîåê ïîäïðîñòðàíñòâó Dm0 = Im(dAm0 (m0 ) − I).Ïîêàæåì, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâî θ̃i(m0 ) èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî èïîäïðîñòðàíñòâî θm,i(m0 ) , è òîæå òðàíñâåðñàëüíî ê ïîäïðîñòðàíñòâó Di(m0 ) .Äðóãèìè ñëîâàìè, îïåðàòîð L̃m0 ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì ïîäïðîñòðàíñòâθm0 è θ̃i(m0 ) , ïðè÷¼ì èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå Ti(m0 ) σ = θ̃i(m0 ) ⊕ Di(m0 ) .
Âñàìîì äåëå, äëÿ íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû èìååì:Lm0 ξ = T ξ + d(ξ),ãäå d(ξ) ∈ Im(dAm0 (m0 ) − I).(46)Çíà÷èò, ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì âîçìóùåíèè òðàíñâåðñàëüíîñòü îáðàçà îïåðàòîðà L̃m0 ê ïîäïðîñòðàíñòâó Di(m0 ) ñîõðàíÿåòñÿ.3. Ìû óòâåðæäàåì, ÷òî íà ëþáîì âåêòîðå η̃ ∈ Ti(m0 ) (Λ̃ ∩ σ) îïåðàòîðìîíîäðîìèè äåéñòâóåò ïî ôîðìóëådÃ(i(m0 ))η̃ = η̃ + L̃m0 ◦∂ξm(m0 ) ◦ (di(m0 ))−1 η̃.∂m(47) ñàìîì äåëå, ïóñòü η̃ = di(m0 )η , ãäå η ∈ Tm0 Λ. Îáîçíà÷èì mt =Ttγm0 ( T̃T t) ∈ Λ, ηt = dgVT̃ (m0 )η âåêòîð èç ïðîñòðàíñòâà Tmt Λ, 0 ≤ t ≤ T̃ .84Äèôôåðåíöèðóÿ ðàâåíñòâî èç ñâîéñòâà 2◦ íà îñîáîé êðèâîé γ̃ = i(γ), ïîëó÷àåì, ÷òî ñåìåéñòâî âåêòîðîâη̃t = dgṼT̃ −t ◦ di(mt )ηt ,0 ≤ t ≤ T̃ ,â òî÷êå i(m0 ) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ:dη̃t = −dgṼT̃ −t δξt ,dt0 ≤ t ≤ T̃ .(48)Çäåñü δξt = δξt (η) èíâàðèàíòíîå âåêòîðíîå ïîëå âäîëü êðèâîé γ̃ , îòâå÷àm(m0 )η ∈ θm0 (ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
