Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ïóñòü òåïåðü âåêòîðíîå ïîëåW â U áëèçêî ê âåêòîðíîìó ïîëþ V íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, è Fm : σm →σm åãî îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå, àíàëîãè÷íîå îòîáðàæåíèþ Ïóàíêàðå Am ,m ∈ Λ.Ôèêñèðóåì òî÷êó m0 ∈ γ ⊂ Λ, îáîçíà÷èì σ := σm0 . Íàäñòðîåííûìñå÷åíèåì Ïóàíêàðå â òî÷êå m0 íàçîâ¼ì ãèïåðïîâåðõíîñòü σ = σm0 â Θ,ñîñòîÿùóþ èç òî÷åê (m, ξ) âèäà m ∈ σ , ξ ∈ θm .Èç êàæäîé òî÷êè (m, ξ) ñå÷åíèÿ σ âûïóñòèì èíòåãðàëüíóþ òðàåêòîðèþm(t), ξ(t) íàäñòðîåííîé ñèñòåìû, m(0) = m, ξ(0) = ξ .
Îáîçíà÷èì ÷åðåçτ (m, ξ) = τm0 (m, ξ) ìîìåíò âðåìåíè, áëèçêèé ê ïåðèîäó T = T |γ , â êîòîðûéýòà òðàåêòîðèÿ ïåðåñå÷¼ò ñå÷åíèå σ , ò.å. ïðîåêöèÿ m(t) ýòîé òðàåêòîðèèíà U ïåðåñå÷¼òñÿ ñ ñåêóùåé ïîâåðõíîñòüþ σ . Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå Fïîâåðõíîñòè σ â ñåáÿ, ïåðåâîäÿùåå òî÷êó (m, ξ) â çíà÷åíèå âûïóùåííîéèç íå¼ òðàåêòîðèè (m(t), ξ(t)) â ìîìåíò âðåìåíè t = τ (m, ξ). Ïîëó÷åííîåîòîáðàæåíèå F = Fm0 íàçîâ¼ì íàäñòðîåííûì îòîáðàæåíèåì Ïóàíêàðå âòî÷êå m0 ∈ Λ. ßñíî, ÷òî íóëåâîå ñå÷åíèå U ∩ σ = {(m, ξ) ∈ σ | ξ = 0} âσ èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèÿ F, è îãðàíè÷åíèå îòîáðàæåíèÿ77F íà ýòî íóëåâîå ñå÷åíèå ñîâïàäàåò ñ îáû÷íûì îòîáðàæåíèåì ÏóàíêàðåF = Fm0 : σ → σ .Íàäñòðîåííûé îïåðàòîð ìîíîäðîìèè.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Am0 è Ãm0 ,m0 ∈ Λ, íàäñòðîåííûå îòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå, îòâå÷àþùèå íåâîçìóù¼ííîéè âîçìóù¼ííîé ñèñòåìàì V è Ṽ . Ýòè îòîáðàæåíèÿ C r−1 áëèçêè.Îòìåòèì âàæíîå ñâîéñòâî íåâîçìóù¼ííîãî íàäñòðîåííîãî îòîáðàæåíèÿÏóàíêàðå Am0 . ßñíî, ÷òî ëþáàÿ òî÷êà (m, 0) ïîäìíîãîîáðàçèÿBm0 := {(m, ξ) ∈ σm0 | m ∈ Λ ∩ σm0 , ξ = 0}â σm0 íåïîäâèæíà ïðè îòîáðàæåíèè Am0 . Ëèíåàðèçàöèþ dAm0 (m, 0) îòîáðàæåíèÿ Am0 â ýòîé òî÷êå íàçîâ¼ì íàäñòðîåííûì îïåðàòîðîì ìîíîäðîìèèâ òî÷êå (m, 0). Íàéä¼ì ÿâíûé âèä îïåðàòîðà dAm0 (m, 0).Ââåä¼ì íà σ = σm0 ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû âèäà (m, ξ) è âûðàçèì îïåðàòîð ìîíîäðîìèè dAm0 (m, 0) ÷åðåç âàðèàöèè(δm, δξ)ýòèõ êîîðäèíàò â òî÷êå (m, 0). Áîëåå òî÷íî, ðàññìîòðèì åñòåñòâåííîå ðàçëîæåíèå êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà T(m,0)σ â òî÷êå (m, 0) â ïðÿìóþ ñóììóT(m,0)σ = Tm σ ⊕ θmïîäïðîñòðàíñòâ θm è Tm σ . (Ýòî ðàçëîæåíèå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ òåì,÷òî ïðîåêöèÿ ëþáîãî êàñàòåëüíîãî âåêòîðà â òî÷êå (m, 0) íà ïåðâîå ïîäïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ åãî åñòåñòâåííîé ïðîåêöèåé íà íóëåâîå ñå÷åíèå σðàññëîåíèÿ σ .) Äëÿ ëþáîãî êàñàòåëüíîãî âåêòîðà ê σ â òî÷êå (m, 0) îáîçíà÷èì ÷åðåç (δm, δξ) êîìïîíåíòû ýòîãî âåêòîðà ïðè óêàçàííîì ðàçëîæåíèè.Ëåììà 9.
Ïóñòü dAm0 (m, 0) íàäñòðîåííûé îïåðàòîð ìîíîäðîìèè âòî÷êå (m, 0) ∈ Bm0 , ò.å. ëèíåàðèçàöèÿ íåâîçìóù¼ííîãî íàäñòðîåííîãîîòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå Am0 â åãî íåïîäâèæíîé òî÷êå (m, 0). Òîãäà ëþáîé êàñàòåëüíûé âåêòîð (δm, δξ) â òî÷êå (m, 0) ïåðåâîäèòñÿ îïåðàòîðîìdAm0 (m, 0) â âåêòîð âèäà(δm0 , δξ 0 ) = (δm − T δξ + d, δξ),ãäå d = d(δm, δξ) ∈ Im(dAm0 (m) − I).Ñëåäñòâèå 9.
Ëþáîé êàñàòåëüíûé âåêòîð, íåïîäâèæíûé îòíîñèòåëü-íî íàäñòðîåííîãî îïåðàòîðà ìîíîäðîìèè dAm0 (m, 0), êàñàòåëåí ê íóëåâîìó ñå÷åíèþ σm0 = U ∩ σm0 â σm0 . Äðóãèìè ñëîâàìè, â ëþáîé òî÷êå m ∈78σm0 ìíîæåñòâà íåïîäâèæíûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà ìîíîäðîìèè dAm0 (m)è íàäñòðîåííîãî îïåðàòîðà ìîíîäðîìèè dAm0 (m, 0) ñîâïàäàþò, m0 ∈ Λ.Ñëåäñòâèå 10. Ïóñòü dAm0 (m, 0) íàäñòðîåííûé îïåðàòîð ìîíîäðî-ìèè â òî÷êå (m, 0) ∈ σm0 , I òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð â êàñàòåëüíîìïðîñòðàíñòâå â òî÷êå (m, 0) ê íàäñòðîåííîìó ñå÷åíèþ Ïóàíêàðå σ . Òîãäàîáðàç îïåðàòîðà dAm0 (m, 0) − I ñîâïàäàåò ñ êàñàòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîìê íóëåâîìó ñå÷åíèþ σm0 â σm0 .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ξ ∗ ∈ T(m,0) Θ ëþáîé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë âòî÷êå (m, 0), îãðàíè÷åíèå êîòîðîãî íà ñóììó ïîäïðîñòðàíñòâàDm = Im(dAm0 (m) − I)è êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà ê òðàåêòîðèè γm ðàâíî íóëþ.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 9 íàì äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òîξ ∗ δm0 = ξ ∗ (δm − T δξ).(45)Âûïóñòèì èç òî÷êè (m, 0) ôàçîâóþ òðàåêòîðèþ (m(t), ξ(t)), 0 ≤ t ≤ T ,íàäñòðîåííîé ñèñòåìû. Îíà èìååò âèä m(t) = γm (t), ξ(t) ≡ 0. Ïåðåíåñ¼ìêàñàòåëüíûé âåêòîð (δm, δξ) âäîëü ýòîé òðàåêòîðèè ïðè ïîìîùè êàñàòåëüíîãî ïîòîêà, îòâå÷àþùåãî íàäñòðîåííîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå, îáîçíà÷èìïîëó÷åííîå ïîëå âåêòîðîâ ÷åðåç (δm(t), δξ(t)), 0 ≤ t ≤ T . Òàê êàê îïåðàòîðìîíîäðîìèè ñîâïàäàåò ñ îòîáðàæåíèåì çà ïåðèîä ýòîé ñèñòåìû (òî÷íåå, ñêîìïîçèöèåé ýòîãî îòîáðàæåíèÿ è ïðîåêöèè íà T(m,0)σ âäîëü êàñàòåëüíîãîïðîñòðàíñòâà T(m,0) γm ê òðàåêòîðèè), òî ξ ∗ (δm0 ) = ξ ∗ (δm(T )).Ïåðåíåñ¼ì ôóíêöèîíàë ξ ∗ â êàñàòåëüíûå ïðîñòðàíñòâà ê äðóãèì òî÷t −1 ∗êàì òðàåêòîðèè γm ïðè ïîìîùè êîêàñàòåëüíîãî ïîòîêà ((gH) ) , îòâå÷àþùåãî ñèñòåìå V .
Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííîå ïîëå ôóíêöèîíàëîâ ÷åðåç ξ ∗ (t) =−t ∗ ∗(gH) ξ , 0 ≤ t ≤ T . Òîãäà èç îïðåäåëåíèÿ íàäñòðîåííîé ñèñòåìû ïîëó÷àåì:d ∗(ξ (t)δm(t)) = −ξ ∗ (t)δξ(t),dt0 ≤ t ≤ T.ßñíî, ÷òî ξ ∗ (t)δξ(t) ≡ ξ ∗ δξ (òàê êàê ïî ïîñòðîåíèþ íàäñòðîåííîé ñèñòåt ∗ìû âåêòîð δξ(t) ñîâïàäàåò ñ âåêòîðîì (gH) δξ ñ òî÷íîñòüþ äî íåêîòîðîãîýëåìåíòà ïîäïðîñòðàíñòâà Dm(t) = Im(dAm(t) (m(t)) − I)). Ñëåäîâàòåëüíî,ξ ∗ (T )δm(T ) = ξ ∗ δm − T ξ ∗ δξ.ßñíî òàêæå, ÷òî ïðè îòîáðàæåíèè çà ïåðèîä ôóíêöèîíàë ξ ∗ íå èçìåíèòñÿ(òàê êàê îí ïåðåéä¼ò â ôóíêöèîíàë ξ ∗ (T ) = (dA−1 )∗ ξ ∗ = ξ ∗ + (dA−1 )∗ (I −79dA)∗ ξ ∗ = ξ ∗ , ãäå dA = dAm0 (m)). Îòñþäà ïîëó÷àåì òðåáóåìîå ðàâåíñòâî(45).Ëåììà 9 äîêàçàíà.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëåäñòâèÿ 9 çàìåòèì, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâà θm èIm(dAm0 (m) − I) â σ ïåðåñåêàþòñÿ ëèøü ïî íóëåâîìó âåêòîðó.
Ñëåäîâàòåëüíî, òàê êàê δξ ∈ θm , òî ðàâåíñòâî íóëþ âåêòîðà âèäà −T δξ + d, ãäåd ∈ Im(dAm0 (m) − I), T > 0, âëå÷¼ò ðàâåíñòâî íóëþ âåêòîðà δξ . Ýòî äîêàçûâàåò ñëåäñòâèå 9.Äîêàæåì ñëåäñòâèå 10.  ñèëó ñëåäñòâèÿ 9 è óñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòèΛ, ÿäðî îïåðàòîðà dAm0 (m, 0) − I èìååò ðàçìåðíîñòü dim Bm0 = dim θm .Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçìåðíîñòü ïîäïðîñòðàíñòâà Im(dAm0 (m, 0) − I) ðàâíàcodim σm0 θm = dim σm0 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàê êàê ëþáîé âåêòîð (δm, δξ)ïåðåõîäèò ïðè îïåðàòîðå ìîíîäðîìèè â âåêòîð âèäà (∗, δξ), òî îáðàç îïåðàòîðà dAm0 (m, 0) − I ëåæèò â ïîäïðîñòðàíñòâå T(m,0) σm0 . Èç ñîîáðàæåíèÿðàçìåðíîñòåé, îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî ýòîò îáðàç â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñT(m,0) σm0 .
Ýòî äîêàçûâàåò ñëåäñòâèå 10.Îáîçíà÷èì ÷åðåç Λγ îáðàç ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ ∩ Uγ ïðè åñòåñòâåííîìâëîæåíèè â íóëåâîå ñå÷åíèå Θγ .Çàìå÷àíèå 12. Èç ñëåäñòâèÿ 9, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî ïîäìíîãîîáðà-çèå Λγ ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì ïîäìíîãîîáðàçèåì, çàïîëíåííûì çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè íàäñòðîåííîé ñèñòåìû, îòâå÷àþùåé ñèñòåìå V . (Ñòðîãî ãîâîðÿ, íàäñòðîåííàÿ ñèñòåìà, ê êîòîðîé ìû ïðèìåíÿåì çäåñü òåðìèííåâûðîæäåííîñòè, íå ÿâëÿåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, îãðàíè÷åíèåì ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû íà èçîýíåðãåòè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü, â îòëè÷èå îò îïðåäåëåíèÿ1. Òåì íå ìåíåå, êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, ýòî îïðåäåëåíèå î÷åâèäíûìîáðàçîì îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.) Ïðèýòîì, â ñèëó ñëåäñòâèÿ 10, ñåìåéñòâî ïîäïðîñòðàíñòâ T(m,0) θm , m ∈ Λγ , â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå íàäñòðîåííîé ñèñòåìû ìîæåò ñëóæèòü ïîëíûì àíàëîãîì ñåìåéñòâà ïîäïðîñòðàíñòâ θm , m ∈ Λ, â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñèñòåìûV.Øàã 5.
Îïðåäåëèì âîçìóù¼ííîå ïîäìíîæåñòâî B̃m0 â íàäñòðîåííîì ñå÷åíèè Ïóàíêàðå σm0 êàê ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê (m, ξ) ∈ σm0 , îáðàç êàæäîéèç êîòîðûõ ïðè íàäñòðîåííîì îòîáðàæåíèè Ïóàíêàðå Ãm0 èìååò âèä (m, ∗),ãäå ∗ íåêîòîðûé âåêòîð èç ïîäïðîñòðàíñòâà θm0 ,m :B̃m0 = {(m, ξ) ∈ σm0 | Ãm0 (m, ξ) = (m, ∗)}.Îáîçíà÷èìΛ̃γ = ∪m0 ∈γ B̃m0 .80Ýòî ìíîæåñòâî ëåæèò â Θγ = ∪m0 ∈γσm0 . Îòìåòèì çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâîìíîæåñòâà Λ̃γ :Ìíîæåñòâî Λ̃γ ñîâïàäàåò ñ îáúåäèíåíèåì âñåõ çàìêíóòûõ òðàåêòîðèéâîçìóù¼ííîé íàäñòðîåííîé ñèñòåìû â Θγ . ñàìîì äåëå, íàì äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî B̃m0 â òî÷íîñòèñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì íåïîäâèæíûõ òî÷åê íàäñòðîåííîãî îòîáðàæåíèÿÏóàíêàðå Ãm0 . Íî ýòî ëåãêî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà B̃m0 , òàêêàê, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ íàäñòðîåííîé ñèñòåìû, íàäñòðîåííîå îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå ïåðåâîäèò ëþáóþ òî÷êó (m, Pm0 ,m ξ) â òî÷êó âèäà (∗, Pm0 ,∗ ξ).Òàêèì îáðàçîì (ñì.
çàìå÷àíèå 12), äëÿ íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû ìíîæåñòâî Λ̃γ ñîâïàäàåò ñ Λγ è, çíà÷èò, ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì. Èç òåîðåìû î íåÿâíûõ ôóíêöèÿõ, ñ ó÷¼òîì ñëåäñòâèÿ 10, ñëåäóåò, ÷òîïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì âîçìóùåíèè ìíîæåñòâî Λ̃γ òîæå ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèìïîäìíîãîîáðàçèåì è èìååò âèä Λ̃γ = jγ (Λγ ), ãäå âëîæåíèå jγ : Λγ → ΘγC r−1 áëèçêî ê òîæäåñòâåííîìó. Äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè îïðåäåëèì âëîæåíèåjγ îäíîçíà÷íî óñëîâèåì ρ ◦ jγ = IdΛγ , ãäå ρ : U → Λ ãëàäêàÿ ðåòðàêöèÿ(ñì. øàã 1).Äàëåå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü Λ̃γ ⊂ Θγ êàê ïîäìíîãîîáðàçèå â Uγ .Ôèêñèðóåì ëþáóþ øàðîâóþ îêðåñòíîñòü Λm0 òî÷êè m0 â Λγ . Èç ëþáîéòî÷êè jγ (m), ãäå m ∈ Λm0 , âûïóñòèì òðàåêòîðèþ γ̃γ,m = γ̃γ,m (t) ⊂ Λ̃γ âîçìóù¼ííîé íàäñòðîåííîé ñèñòåìû.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç T̃γ (m) ìîìåíò âðåìåíèt, áëèçêèé ê T = T |γ , â êîòîðûé ýòà òðàåêòîðèÿ âåðíåòñÿ â òî÷êó jγ (m).Äëÿ ïîñòðîåíèÿ èñêîìîãî âëîæåíèÿ i íàì íóæíî âûáðàòü ñðåäè âñåõòðàåêòîðèé γ̃γ,m (t), m ∈ Λm0 , òàêóþ òðàåêòîðèþ, êîòîðóþ ìû ñîïîñòàâèìèñõîäíîé òðàåêòîðèè γ ïðè îòîáðàæåíèè i.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
