Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 16
Текст из файла (страница 16)
øàã 1).Ýòî ïåðåíåñåíèå ìîæíî îñóùåñòâèòü, íàïðèìåð, ïðè ïîìîùè êàêîãî-íèáóäüäèôôåîìîðôèçìà U → H̃ −1 (h), áëèçêîãî ê òîæäåñòâåííîìó.Ñîãëàøåíèå. ×òîáû íå ââîäèòü íîâûå îáîçíà÷åíèÿ, ïðè ïåðåíåñåíèèâñåõ óêàçàííûõ îáúåêòîâ íà ïîâåðõíîñòü H̃ −1 (h) ìû îñòàâèì äëÿ íèõ òå æåîáîçíà÷åíèÿ, êàêèå îíè èìåëè íà ïîâåðõíîñòè H −1 (h).Îáîçíà÷èì ÷åðåç V è Ṽ âåêòîðíûå ïîëÿ â îêðåñòíîñòè U ⊂ H −1 (h), îòâå÷àþùèå îãðàíè÷åíèÿì ñèñòåì ñ ãàìèëüòîíèàíàìè H è H̃ íà ïîâåðõíîñòèH −1 (h) è H̃ −1 (h) ñîîòâåòñòâåííî (ñ ó÷¼òîì îòîæäåñòâëåíèÿ ýòèõ ïîâåðõíîñòåé, ñì. ñîãëàøåíèå). Çíà÷åíèÿ ýòèõ ïîëåé â òî÷êå m áóäåì îáîçíà÷àòü÷åðåç Vm è Ṽm ñîîòâåòñòâåííî.Ïðåæäå ÷åì ñôîðìóëèðîâàòü îñíîâíóþ ëåììó, ââåä¼ì âñïîìîãàòåëüíîåïîíÿòèå.Ïóñòü íà ãëàäêîì ìíîãîîáðàçèè Λ ôèêñèðîâàíà ðèìàíîâà ìåòðèêà (èëè,ïî ìåíüøåé ìåðå, àôôèííàÿ ñâÿçíîñòü, íàïðèìåð, ðèìàíîâà) è çàäàíî ãëàäêîå äåéñòâèå îêðóæíîñòè.
Äëÿ ëþáîé òî÷êè m ∈ Λ ðàññìîòðèì å¼ ïàðàìåòðèçîâàííóþ îðáèòó ïðè ýòîì äåéñòâèè, ò.å. ãëàäêóþ êðèâóþ γm = γm (s),s ∈ S 1 , γm (0) = m. Ïóñòü γ̃(s), s ∈ S 1 , íåêîòîðàÿ ãëàäêàÿ êðèâàÿ, áëèçêàÿ (ïîòî÷å÷íî) ê êðèâîé γm (s), s ∈ S 1 . Ïðè êàæäîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðàs ∈ S 1 ñîåäèíèì ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè γm (s) è γ̃(s) ýòèõ êðèâûõ êðàò÷àéøåé ãåîäåçè÷åñêîé gs (t), 0 ≤ t ≤ 1, ãäå gs (0) = γm (s), gs (1) = γ̃(s).dÏóñòü ηs = dt|t=0 gs (t) ïîëå âåêòîðîâ ñêîðîñòè ýòèõ êðèâûõ â òî÷êàõêðèâîé γm (s). (Ýòî ïîëå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ êðèâûìè γm (s) è γ̃(s),s ∈ S 1 .) Ïåðåíåñ¼ì âåêòîðíîå ïîëå ηs âäîëü êðèâîé γm (s) â òî÷êó m (èëè âëþáóþ äðóãóþ òî÷êó å¼ îðáèòû γm (s)) ïðè ïîìîùè äåéñòâèÿ îêðóæíîñòèè óñðåäíèì ïîëó÷åííóþ êðèâóþ â ïðîñòðàíñòâå Tm Λ. Äðóãèìè ñëîâàìè,ðàññìîòðèì â òî÷êå m êàñàòåëüíûé âåêòîð η̄0 ∈ Tm Λ, îïðåäåëÿåìûé ïî73ôîðìóëå1 Z 2π −1(as )∗ ηs ds.2π 0Çäåñü s ïàðàìåòð íà îêðóæíîñòè S 1 = IR/(2πZZ), as : Λ → Λ äåéñòâèåýëåìåíòà s íà Λ.η̄0 =Îïðåäåëåíèå 15.
Èíâàðèàíòíîå âåêòîðíîå ïîëå η̄s = as∗ η0 âäîëü êðèâîéγm (s) íàçîâ¼ì îòíîñèòåëüíûì öåíòðîì ìàññ (èëè îòíîñèòåëüíûì óñðåäíåíèåì) êðèâîé γ̃(s) ïî îòíîøåíèþ ê êðèâîé γm (s), s ∈ S 1 . Åñëè âåêòîðíîåïîëå η̄s ðàâíî íóëþ, òî êðèâóþ γm (s) íàçîâ¼ì öåíòðîì ìàññ (èëè óñðåäíåíèåì) êðèâîé γ̃(s), s ∈ S 1 .Ïóñòü f : Λ → Λ ëþáîå ãëàäêîå îòîáðàæåíèå, áëèçêîå ê òîæäåñòâåííîìó. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå ñîõðàíÿåò öåíòðû ìàññ òðàåêòîðèé íà Λ, åñëè ëþáàÿ êðèâàÿ γm (s) ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ìàññ ñîîòâåòñòâóþùåéêðèâîé âèäà f (γm (s)), s ∈ S 1 .Íà øàãàõ 45 ìû äîêàæåì ñëåäóþùóþ îñíîâíóþ ëåììó.Ìû ñôîðìóëèðóåì îñíîâíóþ ëåììó äëÿ ïðîèçâîëüíûõ äèíàìè÷åñêèõñèñòåì, íå ÿâëÿþùèõñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ãàìèëüòîíîâûìè.
Íàïîìíèì, ÷òîîïðåäåëåíèå íåâûðîæäåííîñòè ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ, çàïîëíåííîãî çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè, â äåéñòâèòåëüíîñòè íå èñïîëüçîâàëî ãàìèëüòîíîâîñòèýòîé ñèñòåìû (òî÷íåå, ãàìèëüòîíîâîñòè îãðàíè÷åíèÿ ñèñòåìû íà èçîýíåðãåòè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü). Êðîìå òîãî, ïðè ïîñòðîåíèè ïîëÿ ïîäïðîñòðàíñòâθm , m ∈ Λ, âìåñòå ñ åñòåñòâåííûì äåéñòâèåì íà í¼ì îêðóæíîñòè, ãàìèëüòîíîâîñòü ñèñòåìû òàêæå íå èñïîëüçîâàëàñü.Ëåììà 8. Ïóñòü Λ ⊂ U íåâûðîæäåííîå ïîäìíîãîîáðàçèå, çàïîëíåí-íîå çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè ñèñòåìû V , íå ñîäåðæàùåå ïîëîæåíèéðàâíîâåñèÿ. Ïóñòü T : Λ → IR ñîîòâåòñòâóþùàÿ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ ïåðèîäà òðàåêòîðèé íà Λ (T > 0).
Ïóñòü âåêòîðíîå ïîëå Ṽ â îêðåñòíîñòèU C r−1 áëèçêî ê âåêòîðíîìó ïîëþ V (r ≥ 2). Îáîçíà÷èì ε = kṼ − V kC r−1 .Òîãäà ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü U 0 ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ â U , òàêàÿ, ÷òîïðè ëþáîì äîñòàòî÷íî ìàëîì çíà÷åíèè ε > 0 ñóùåñòâóåò ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ T̃ íà Λ, C r−1 áëèçêàÿ ê ôóíêöèè T , ãëàäêîå âåêòîðíîå ïîëå ξm ∈ θm ,m ∈ Λ, íà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ è âëîæåíèå i : Λ ,→ U 0 , C r−1 áëèçêîå êòîæäåñòâåííîìó, îáëàäàþùèå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1◦ Ôóíêöèÿ T̃ è âåêòîðíîå ïîëå ξm , m ∈ Λ, èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíîåñòåñòâåííîãî äåéñòâèÿ îêðóæíîñòè íà Λ è íà ïîëå ïîäïðîñòðàíñòâ θm ,m ∈ Λ (ñì.
øàã 2).2◦ Äëÿ ëþáîé òî÷êè m ∈ Λ èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîdi(m)Vm =T̃ (m)(Ṽi(m) − Pm0 ,i(m) ξm0 ),T (m)74ãäå m0 = ργm ◦ i(m) ïðîåêöèÿ îáðàçà i(m) òî÷êè m íà òðàåêòîðèþγm , Pm,m0 : θm → θm,m0 ïîñòðîåííîå â (43) ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ (ñì.øàã 1).3◦ Óñëîâèÿìè 1◦ , 2◦ è ñëåäóþùèì äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì âëîæåíèåi è âåêòîðíîå ïîëå ξm ∈ θm , m ∈ Λ, îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî: äëÿ ëþáîéTòðàåêòîðèè γ ⊂ Λ ñèñòåìû V êðèâàÿ γ( 2πs), s ∈ S 1 , ñîâïàäàåò ñ öåíòðîììàññ îáðàçà ýòîé êðèâîé ïðè îòîáðàæåíèè ρ ◦ i : Λ → Λ, ãäå ρ : U →Λ ãëàäêàÿ ðåòðàêöèÿ (ñì. øàã 1).
Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ îäíîçíà÷íîéîïðåäåë¼ííîñòè âëîæåíèÿ i íóæíî äîïîëíèòåëüíî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáûîòîáðàæåíèå ρ ◦ i ñîõðàíÿëî öåíòðû ìàññ âñåõ çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé íàΛ.4◦ Ïîäìíîãîîáðàçèå i(Λ) ñîäåðæèò âñå çàìêíóòûå òðàåêòîðèè ñèñòåìû Ṽ â U 0 . Ýòè òðàåêòîðèè â òî÷íîñòè ñîâïàäàþò ñ îáðàçàìè ïðè âëîæåíèè i îñîáûõ îêðóæíîñòåé ïîëÿ ξ , ò.å.
îêðóæíîñòåé γ ⊂ Λ, äëÿ êîòîðûõ ξ|γ = 0.5◦ Åñëè âîçìóù¼ííûé ãàìèëüòîíèàí H̃ ãëàäêî çàâèñèò îò ìàëîãî ïàðàìåòðà, òî âëîæåíèå i : Λ ,→ M è ïîëå ξ íà Λ òîæå ãëàäêî çàâèñÿò îòýòîãî ïàðàìåòðà.Ñëåäñòâèå. Âëîæåíèå i è âåêòîðíîå ïîëå ξ èç ëåììû 8 îáëàäàþò ñëåäó-þùèìè äîïîëíèòåëüíûìè ñâîéñòâàìè.6◦ Ïóñòü òðàåêòîðèÿ γ ⊂ Λ ñèñòåìû V ñîñòîèò èç îñîáûõ òî÷åê ïîëÿξ : ξ|γ = 0. Òîãäà íåâûðîæäåííîñòü çàìêíóòîé òðàåêòîðèè i(γ) ñèñòåìûṼ ðàâíîñèëüíà íåâûðîæäåííîñòè îñîáîé òî÷êè m ∈ γ îòíîñèòåëüíî ïîëÿξ|σm ∩Λ .
Áîëåå òîãî, äëÿ ëþáîé òî÷êè m ∈ γ îáðàç ïðè êàñàòåëüíîì îòîámðàæåíèè di(m)|Tm (σm ∩Λ) ÿäðà îïåðàòîðà ∂ξ(m)|Tm (σm ∩Λ) â òî÷íîñòè ñîâïà∂mäàåò ñ ÿäðîì îïåðàòîðà dÃ(m̃) − I , ãäå dÃ(m̃) : Tm̃ σm̃ → Tm̃ σm̃ îïåðàòîðìîíîäðîìèè â òî÷êå m̃ = i(m), i(σm ∩ Λ) = σm̃ ∩ Λ̃, I òîæäåñòâåííûéîïåðàòîð.7◦ Ïóñòü εVm ïðîåêöèÿ âåêòîðà âîçìóùåíèÿ (Ṽ − V )|m íà ïîäïðîñòðàíñòâî θm âäîëü ïîäïðîñòðàíñòâà Dm ⊕Tm γm , εAm àíàëîãè÷íàÿ ïðîåêöèÿ âåêòîðà ñìåùåíèÿ â òî÷êå m íà ïîäïðîñòðàíñòâî θm , V̄ óñðåäíåíèå (44) âåêòîðíîãî ïîëÿ V íà Λ. Çäåñü ïîä âåêòîðîì ñìåùåíèÿ â òî÷êå muïîíèìàåòñÿ êàñàòåëüíûé âåêòîð ∂g|ê êðàò÷àéøåé ãåîäåçè÷åñêîé gu ,∂u u=00 ≤ u ≤ 1, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè g0 = m è g1 = Ãm (m), ãäå Ãm : σm → σm âîçìóù¼ííîå îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå. Òîãäà âåêòîðíîå ïîëå 1ε T (m)ξm ∈ θmC r−2 áëèçêî ê ïîëþ Am ∈ θm (âîçìóùåíèå îòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå), à òàêæå ê ïîëþ V̄m ∈ θm , m ∈ Λ (óñðåäí¼ííîå âîçìóùåíèå).Ââèäó ñâîéñòâà 2◦ , âåêòîðíîå ïîëå ξ íà Λ åñòåñòâåííî íàçâàòü îãðàíè÷åíèåì âîçìóùåíèÿ ñèñòåìû íà Λ.
Óñëîâèå 1◦ èíâàðèàíòíîñòè îçíà÷àåò, ÷òî75ýòî îãðàíè÷åííîå âîçìóùåíèå ñîâïàäàåò ñî ñâîèì óñðåäíåíèåì ξ¯.Çàìå÷àíèå.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïîíÿòèå ñîõðàíåíèå öåíòðà ìàññ ìîæ-íî ïîíèìàòü ïî-äðóãîìó.À èìåííî, ïóñòü íà áàçå B = Λ/S 1 ìîæíî ââåñòè ñèìïëåêòè÷åñêóþñòðóêòóðó. Íàïðèìåð, ýòî òàê, åñëè íåâîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé (òî÷íåå, îãðàíè÷åíèåì íà èçîýíåðãåòè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòüíåêîòîðîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû), è ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ñòðîãî íåâûðîæäåíî (ñì. îïðåäåëåíèå 3).  ýòîì ñëó÷àå âåêòîðíîå ïîëå íà Λ ñîâïàäàåò ñïîëåì ÿäåð 2ôîðìû ω 2 |Λ íà Λ, ñì. çàìå÷àíèå ïîñëå îïðåäåëåíèÿ 3.Óñëîâèå 3◦ ëåììû 8 (åäèíñòâåííîñòü) îñòàíåòñÿ ñïðàâåäëèâî, åñëè ïîäîòîáðàæåíèåì Λ → Λ, ñîõðàíÿþùèì öåíòðû ìàññ, ïîíèìàòü ëþáîå îòîáðàæåíèå f : Λ → Λ, ãîìîòîïíîå òîæäåñòâåííîìó è ãîìîëîãè÷íîå òîæäåñòâåííîìó â ñëåäóþùåì ñìûñëå.Äëÿ ëþáîé òðàåêòîðèè γ ⊂ Λ íåâîçR2ìóù¼ííîé ñèñòåìû èíòåãðàë C ω ðàâåí íóëþ, ãäå C = C(γ, f (γ)) äâóìåðíàÿ òðóáêà â Λ, îãðàíè÷åííàÿ êðèâîé γ è å¼ îáðàçîì f (γ).
(Ñ÷èòàåòñÿ,÷òî òðóáêà C ïîëó÷åíà èç êðèâîé γ ïðè ïîìîùè ôèêñèðîâàííîé ãîìîòîïèèìåæäó òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì è îòîáðàæåíèåì f .) Ïðè òàêîì ïîíèìàíèè ñîõðàíåíèÿ öåíòðà ìàññ âëîæåíèå i èç ëåììû 8 áóäåò îïðåäåëåíîîäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî äâèæåíèé âäîëü òðàåêòîðèé íà Λ (ò.å. ñ òî÷íîñòüþ äî äèôôåîìîðôèçìîâ Λ → Λ, ñîõðàíÿþùèõ çàìêíóòûå òðàåêòîðèèíåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû è ñàìó ýòó ñèñòåìó). Äëÿ ïîëíîé îäíîçíà÷íîñòèâëîæåíèÿ i ìîæíî äîïîëíèòåëüíî ïîòðåáîâàòü, íàïðèìåð, ÷òîáû îòíîñèòåëüíûé öåíòð ìàññ η̄s îáðàçà êðèâîé γm (s) ïðè îòîáðàæåíèè f = ρ ◦ iîòíîñèòåëüíî ýòîé êðèâîé (ñì. îïðåäåëåíèå 15) áûë îðòîãîíàëåí âåêòîðóñêîðîñòè ê ýòîé êðèâîé (ïî îòíîøåíèþ ê êàêîé-ëèáî S 1 èíâàðèàíòíîé ðèìàíîâîé ìåòðèêå íà Λ).Øàã 4.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 8 ìû ïîñòðîèì äëÿ îáåèõ ñèñòåì èñõîäíîé ñèñòåìû V è C r−1 áëèçêîé ê íåé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìå Ṽ ñîîòâåòñòâóþùóþ íàäñòðîåííóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó â êàæäîì ïðîñòðàíñòâå Θm , m ∈ Λ (ñì. øàã 1).Íàäñòðîåííàÿ ñèñòåìà. Îïèøåì îïåðàöèþ íàäñòðîéêè äëÿ ëþáîé äè-íàìè÷åñêîé ñèñòåìû W , çàäàííîé â îêðåñòíîñòè Uγ íåêîòîðîé çàìêíóòîéòðàåêòîðèè γ = γm ⊂ Λ.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó,îïðåäåë¼ííóþ â ïðîñòðàíñòâå Θ = Θγ = ∪m0 ∈Uγ θργ (m0 ),m0 , ãëàäêî çàâèñÿùóþîò òî÷êè m ∈ Λ è îáëàäàþùóþ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì:Íóëåâîå ñå÷åíèå Uγ ðàññëîåíèÿ Θγ ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì ïîäìíîãîîáðàçèåì íàäñòðîåííîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, è å¼ îãðàíè÷åíèå íà íóëåâîåñå÷åíèå Uγ ðàññëîåíèÿ Θγ ñîâïàäàåò ñ îãðàíè÷åíèåì èñõîäíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé íà Uγ , ãäå γ = γm .76Ôèêñèðóåì çàìêíóòóþ òðàåêòîðèþ γ ⊂ Λ íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû.
Îáîçíà÷èì T := T |γ ; U := Uγ ; θm0 := θm,m0 , Pm0 := Pm,m0 , ãäå m0 ∈ Uγ ,m = ργ (m0 ) ∈ γ ; Θ := Θγ (ñì. øàã 1).Ïóñòü W âåêòîðíîå ïîëå íà U , îòâå÷àþùåå äàííîé äèíàìè÷åñêîéñèñòåìå. Îïðåäåëèì íàäñòðîåííóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó íà ïðîñòðàíñòâå ðàññëîåíèÿ Θ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ãëàäêóþ äîñòàòî÷íî ìàëóþ êðèâóþm(t) ∈ U , ξ(t) ∈ θm(t) , |t| ≤ t0 (0 < t0 ¿ 1) â ïðîñòðàíñòâå ýòîãî ðàññëîåíèÿíàçîâ¼ì ðåøåíèåì íàäñòðîåííîé ñèñòåìû, åñëè ñóùåñòâóåò âåêòîðíîå ïîëåξ ◦ (t) ∈ θργ (m(t)) âäîëü γ , òàêîå, ÷òî:1. Âåêòîðíîå ïîëå ξ ◦ (t) èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî åñòåñòâåííîãî äåéñòâèÿ îêðóæíîñòè íà ïîëå ïëîñêîñòåé θm , m ∈ Λ (ñì. øàã 2).2. Âåêòîð ñêîðîñòèdm(t)dtê ïðîåêöèè m(t) ýòîé êðèâîé íà U èìååò âèädm(t) = Wm(t) − Pm(t) ξ ◦ (t).dtÍåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòè óñëîâèÿ êîððåêòíî îïðåäåëÿþò äèíàìè÷åñêóþñèñòåìó íà ïðîñòðàíñòâå ðàññëîåíèÿ Θ, ïðè÷¼ì ýòà ñèñòåìà îáëàäàåò óêàçàííûì âûøå ñâîéñòâîì: íóëåâîå ñå÷åíèå U = {ξ = 0} ýòîãî ðàññëîåíèÿèíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî íàäñòðîåííîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, è îãðàíè÷åíèå ýòîé ñèñòåìû íà íóëåâîå ñå÷åíèå ñîâïàäàåò ñ èñõîäíîé ñèñòåìîé Wíà U .Íàäñòðîåííîå îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
