Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Îíî áóäåò àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó óòâåðæäåíèÿ 6 î íåïîäâèæíûõ òî÷êàõ îòîáðàæåíèé.67Ïðåäïîëîæèì (ñîãëàñíî ñèòóàöèè óòâåðæäåíèÿ 3), ÷òî ãàìèëüòîíèàí H̃âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû áëèçîê ê H ïî íîðìå C r , ãäå r ≥ 2. Îáîçíà÷èìε = kH̃ − HkC r ,H1 = (H̃ − H)/ε,è îáîçíà÷èì ÷åðåç H̄ óñðåäíåíèå (6) âîçìóùåíèÿ H = H1 |Λ ïî çàìêíóòûìòðàåêòîðèÿì íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íà Λ.1.6.1 Ñóùåñòâîâàíèå çàìêíóòûõ òðàåêòîðèéÇäåñü ìû äîêàæåì ñâîéñòâà 1◦ , 2◦ , 3◦ , 5◦ èç óòâåðæäåíèÿ 3, èç êîòîðûõñëåäóåò òåîðåìà 1.Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåä¼ì â íåñêîëüêî øàãîâ.Øàã 1.
Îïðåäåëèì îñíîâíûå îáúåêòû, ó÷àñòâóþùèå â äîêàçàòåëüñòâåóòâåðæäåíèÿ.Ïóñòü T (m), m ∈ Λ, ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ ïåðèîäà ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H íà Λ.Äëÿ êàæäîé òî÷êè m ∈ Λ ââåä¼ì ñëåäóþùèå ïîíÿòèÿ è îáîçíà÷åíèÿ.1. Ïóñòü γm = γm (t) ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèà-íîì H , ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó m: γm (0) = m.
Ïðîâåä¼ì ÷åðåç òî÷êó mìàëåíüêóþ ãèïåðïîâåðõíîñòü σm ⊂ H −1 (h), òðàíñâåðñàëüíóþ ê òðàåêòîðèèγm â èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè:Tm σm ⊕ Tm γm = Tm (H −1 (h)),m ∈ Λ.Ïîâåðõíîñòü σm íàçîâ¼ì ñå÷åíèåì Ïóàíêàðå â òî÷êå m. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîýòà ïîâåðõíîñòü ãëàäêî çàâèñèò îò òî÷êè m ∈ Λ.2. Íà ïîâåðõíîñòè σm åñòåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå00Ïóàíêàðå Am : σm→ σm , ãäå σm äîñòàòî÷íî ìàëàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè m â0σm , ãëàäêî çàâèñÿùàÿ îò òî÷êè m ∈ Λ. À èìåííî, èç ëþáîé òî÷êè m0 ∈ σmâûïóñòèì ôàçîâóþ òðàåêòîðèþ ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ñå÷åíèåì Ïóàíêàðå σm ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ Tm (m0 ), áëèçêîå êT (m). Ýòó òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ìû è îáîçíà÷èì ÷åðåç Am (m0 ).
Ëèíåéíóþ÷àñòü dAm (m) ýòîãî îòîáðàæåíèÿ â òî÷êå m íàçîâ¼ì îïåðàòîðîì ìîíîäðîìèè â òî÷êå m.0. Èç óñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòè Λ ñëåäóåò,3. Îáîçíà÷èì Bm = Λ ∩ σm÷òî ïîäìíîãîîáðàçèå Bm â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì íåïîäâèæíûõòî÷åê îòîáðàæåíèÿ Am .684. Ïîñòðîèì â òî÷êå m ïîäïðîñòðàíñòâî θm ⊂ Tm σm ðàçìåðíîñòèdim θm = dim Bm = dim Λ − 1, ãëàäêî çàâèñÿùåå îò òî÷êè m ∈ Λ. (Ýòîïîäïðîñòðàíñòâî àíàëîãè÷íî ïîâåðõíîñòè θm ⊂ σ èç äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ 6.) Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì â ïðîñòðàíñòâå Tm σm îáðàçDm = Im(dAm (m) − I),m ∈ Λ,îïåðàòîðà dAm (m) − I , ãäå I òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð â Tm σm .
 ñèëóíåâûðîæäåííîñòè Λ ðàçìåðíîñòü ïîäïðîñòðàíñòâà Dm â òî÷íîñòè ðàâíàêîðàçìåðíîñòè ïîäìíîãîîáðàçèÿ Bm â σm . Ïóñòü θm ïîäïðîñòðàíñòâî âTm σm , òðàíñâåðñàëüíîå ê ïîäïðîñòðàíñòâó Dm :θm ⊕ Dm = Tm σm .05. Ïåðåíåñ¼ì èç òî÷êè m ïîäïðîñòðàíñòâî θm ⊂ Tm σm âî âñå òî÷êèm ñå÷åíèÿ Ïóàíêàðå σm ïðè ïîìîùè êàêîãî-íèáóäü ãëàäêîãî ñåìåéñòâàîïåðàòîðîâPm,m0 : θm → Tm0 σm , m0 ∈ σm ,(43)òàêîãî, ÷òî ïðè m = m0 îïåðàòîð ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì: Pm,m = Idθm .Îáðàç îïåðàòîðà Pm,m0 îáîçíà÷èì ÷åðåç θm,m0 .Áóäåì ñ÷èòàòü, íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ÷òî ñå÷åíèå Ïóàíêàðå σm ,ïîäïðîñòðàíñòâî θm ⊂ Tm σm è ãëàäêîå ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ Pm,m0 , m0 ∈σm , ãëàäêî çàâèñÿò îò òî÷êè m ∈ Λ.Èç òåîðåìû î íåÿâíûõ ôóíêöèÿõ ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ çàìêíóòàÿ òðàåêòîðèÿ γ ⊂ Λ, îáëàäàåò ñòîëü ìàëîé òðóá÷àòîé îêðåñòíîñòüþ Uγ â H −1 (h),ãëàäêî çàâèñÿùåé îò òðàåêòîðèè γ (òî÷íåå, îò òî÷êè m ∈ Λ, ãäå γ = γm ),÷òî â ýòîé îêðåñòíîñòè âûïîëíåíî ñëåäóþùåå:1.
Ñå÷åíèÿ Ïóàíêàðå σm ∩ Uγ , m ∈ γ , îòâå÷àþùèå òî÷êàì òðàåêòîðèèγ , ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ è ðàññëàèâàþò âñþ ýòó îêðåñòíîñòü íàäèñêè σm ∩ Uγ êîðàçìåðíîñòè 1. ( äåéñòâèòåëüíîñòè, êàæäîå òàêîåðàññëîåíèå òðèâèàëüíî, ò.å. äèôôåîìîðôíî ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþäèñêà íà îêðóæíîñòü.)2. Êàæäûé îïåðàòîð Pm,m0 , m ∈ γ , m0 ∈ σm ∩Uγ , ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîìíà ñâîé îáðàç θm,m0 .Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â êà÷åñòâå ñå÷åíèÿ Ïóàíêàðå σm ñ ñàìîãîíà÷àëà áûë âçÿò äèñê σm ∩ Uγm , m ∈ Λ. ÷àñòíîñòè, äëÿ ëþáîé òî÷êè m0 óêàçàííîé îêðåñòíîñòè Uγ ñóùåñòâóåòðîâíî îäíà òî÷êà m = m(m0 ) ∈ γ , òàêàÿ, ÷òî m0 ∈ σm . Ïîëó÷åííîå îòîáðàæåíèå îáîçíà÷èì ργ : m0 7→ m.
Îíî ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ðåòðàêöèåé, ò.å.69ãëàäêèì îòîáðàæåíèåì îêðåñòíîñòè Uγ íà òðàåêòîðèþ γ , îãðàíè÷åíèå êîòîðîãî íà γ òîæäåñòâåííî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Θγ âåêòîðíîå ðàññëîåíèå íàäîêðåñòíîñòüþ Uγ ñî ñëîåì θργ (m0 ),m0 íàä ëþáîé òî÷êîé m0 ∈ Uγ .Ïóñòü U = ∪γ⊂Λ Uγ äîñòàòî÷íî ìàëàÿ îêðåñòíîñòü ïîäìíîãîîáðàçèÿΛ â H −1 (h). Ôèêñèðóåì ëþáóþ ãëàäêóþ ðåòðàêöèþ ρ : U → Λ, ò.å. ãëàäêîåîòîáðàæåíèå, îãðàíè÷åíèå êîòîðîãî íà Λ òîæäåñòâåííî.
(Ýòó ðåòðàêöèþìîæíî îñóùåñòâèòü, íàïðèìåð, ïðè ïîìîùè îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ U íà ïîäìíîãîîáðàçèå Λ â ñìûñëå êàêîé-íèáóäü ðèìàíîâîé ìåòðèêè íàH −1 (h).)Øàã 2. Ïåðå÷èñëèì âàæíûå ñâîéñòâà ñåìåéñòâà ïîäïðîñòðàíñòâ θm ⊂Tm σm , m ∈ Λ, íà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ.  ðåçóëüòàòå ìû ïîñòðîèì åñòåñòâåííîå äåéñòâèå îêðóæíîñòè íà ýòîì ñåìåéñòâå, ÿâëÿþùååñÿ ïîäíÿòèåì äåéñòâèÿ îêðóæíîñòè íà ìíîãîîáðàçèè Λ.Îïðåäåëèì ÷åòûðå åñòåñòâåííûõ âåêòîðíûõ ðàññëîåíèÿ íàä ìíîãîîáðàçèåì Λ:1. Âåêòîðíîå ðàññëîåíèå β íàä Λ, ñëîåì êîòîðîãî â ëþáîé òî÷êå m ∈ Λÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâî Tm Bm , ãäå Bm = Λ ∩ σm .2.
Âåêòîðíîå ðàññëîåíèå Σ íàä Λ, ñëîåì êîòîðîãî â ëþáîé òî÷êå m ∈ Λÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâî Tm σm .3. Ïîäðàññëîåíèå D ðàññëîåíèÿ Σ, ñëîåì êîòîðîãî â ëþáîé òî÷êå m ∈ Λÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâî Dm ⊂ σm , ò.å. îáðàç îïåðàòîðà dAm (m) − I .4. Âåêòîðíîå ðàññëîåíèå E íàä Λ, ñëîåì êîòîðîãî â ëþáîé òî÷êå m ∈ Λÿâëÿåòñÿ êîÿäðî îïåðàòîðà dA(m) − I , ò.å. ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâîEm = (Tm σm )/Dm ,m ∈ Λ,êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà Tm σm ïî ïîäïðîñòðàíñòâó Dm . Äðóãèìèñëîâàìè, ðàññëîåíèå E ÿâëÿåòñÿ ôàêòîð-ðàññëîåíèåì ðàññëîåíèÿ Σïî ïîäðàññëîåíèþ D îáðàçîâ îïåðàòîðîâ dAm (m) − I , m ∈ Λ.Çàìå÷àíèå 10.  êàæäîé òî÷êå m ∈ Λ ïîäïðîñòðàíñòâî θm åñòåñòâåííîèçîìîðôíî ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâó Em . Áîëåå òî÷íî, îòîáðàæåíèå âêëþ÷åíèÿθm → Tm σm èíäóöèðóåò èçîìîðôèçì θm ' Em . Ñëåäîâàòåëüíî, ðàíã ðàññëîåíèÿ E → Λ ðàâåí ðàçìåðíîñòè ïîäïðîñòðàíñòâà θm , ò.å.
ðàâåí dim B =dim Λ − 1.Ðàññìîòðèì íà ðàññëîåíèè Σ ñëåäóþùèå äîïîëíèòåëüíûå ñòðóêòóðû.t, t ∈ IR, ôàçîâûé ïîòîê ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîÏóñòü gHíèàíîì H íà ìíîãîîáðàçèè M . Ýòîò ïîòîê èíäóöèðóåò êàñàòåëüíûé ïîòîê70t(gH)∗ , t ∈ IR, â êàñàòåëüíîì ðàññëîåíèè T∗ M . Ðàññìîòðèì êàñàòåëüíûé ïîòîê â ðàññëîåíèè Σ, èíäóöèðîâàííûé åñòåñòâåííûì îáðàçîì, è îáîçíà÷èìtåãî òàêæå ÷åðåç (gH)∗ , t ∈ IR. Ðàññìîòðèì íà ðàññëîåíèè Σ åñòåñòâåííîåïîëå A îïåðàòîðîâ ìîíîäðîìèè Am = dAm (m), m ∈ Λ. ßñíî, ÷òî â ëþáîéòî÷êå m ∈ Λ îïåðàòîð ìîíîäðîìèè ñîâïàäàåò ñ êàñàòåëüíûì îòîáðàæåíèT (m)åì (gH )∗ (m) çà ïåðèîä. Ïîëå A ìû òàêæå áóäåì íàçûâàòü îïåðàòîðîììîíîäðîìèè (èëè îòîáðàæåíèåì çà ïåðèîä) íà ðàññëîåíèè Σ.Ðàññìîòðèì íà ðàññëîåíèè Σ ïîëå ω 2 |Σ áèëèíåéíûõ êîñîñèììåòðè÷åñêèõôîðì ω 2 |Tm σm , ò.å.
â êàæäîé òî÷êå m ∈ Λ ðàññìîòðèì îãðàíè÷åíèå ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ω 2 íà ïðîñòðàíñòâî Tm σm . Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ýòàôîðìà íåâûðîæäåíà è, òåì ñàìûì, çàäà¼ò ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðóíà ñëîÿõ ðàññëîåíèÿ Σ.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ω 2 |Σ èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà ìîíîäðîìèè A íà ðàññëîåíèè Σ è, áîëåå òîãî, îòíîñètòåëüíî êàñàòåëüíîãî ïîòîêà (gH)∗ â Σ, èíäóöèðîâàííîãî ïîòîêîì ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H .Ëåììà 7.
Ïîäðàññëîåíèÿ D è β ðàññëîåíèÿ Σ îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1. Ïîäðàññëîåíèÿ D è β êîñîîðòîãîíàëüíû â ðàññëîåíèè Σ îòíîñèòåëüíî óêàçàííîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû. Äðóãèìè ñëîâàìè, â êàæäîé òî÷êå m ∈ Λ ïîäïðîñòðàíñòâà Dm è Bm ÿâëÿþòñÿ êîñîîðòîãîíàëüíûìè äîïîëíåíèÿìè äðóã äðóãà îòíîñèòåëüíî ñèìïëåêòè÷åñêîéñòðóêòóðû ω 2 |Tm σm .2. Ïîäðàññëîåíèÿ D è β èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà ìîíîäðîìèè A íà Σ è, áîëåå òîãî, îòíîñèòåëüíî êàñàòåëüíîãî ïîòîêàt(gH)∗ â Σ, èíäóöèðîâàííîãî ïîòîêîì ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H :AD = D,Aβ = β,t(gH)∗ D = D,t(gH)∗ β = β,t ∈ IR.t ∈ IR.Ñâîéñòâî 1 ìû óæå íåîäíîêðàòíî óïîìèíàëè. Îíî âûòåêàåò èç ñëåäóþùåãî ñâîéñòâà ëþáîãî ñèìïëåêòè÷åñêîãî îïåðàòîðà A: ÿäðî è îáðàç îïåðàòîðà A − I ÿâëÿþòñÿ êîñîîðòîãîíàëüíûìè äîïîëíåíèÿìè äðóã äðóãà, ãäåI òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð.
Ñâîéñòâî 2 ÿâëÿåòñÿ î÷åâèäíûì ñëåäñòâèåìñâîéñòâà 1.Èç âòîðîãî è ïåðâîãî óòâåðæäåíèé ëåììû 7 ïîëó÷àåì äâà ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëåäñòâèÿ:71Ñëåäñòâèå 8.t1◦ Êàñàòåëüíûé ïîòîê (gH)∗ íà ðàññëîåíèè Σ èíäóöèðóåò êîððåêòíîîïðåäåë¼ííûé ïîòîê íà ðàññëîåíèè E , ïðè÷¼ì îòîáðàæåíèå A∗ : E → Eçà ïåðèîä íà ðàññëîåíèè E ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì:A∗ = IdE .Äðóãèìè ñëîâàìè, äåéñòâèå îêðóæíîñòè íà Λ ïîäíèìàåòñÿ åñòåñòâåítíûì îáðàçîì íà ðàññëîåíèå E ïðè ïîìîùè êàñàòåëüíîãî ïîòîêà (gH)∗ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H .2◦  êàæäîé òî÷êå m ∈ Λ èìååòñÿ íåâûðîæäåííîå áèëèíåéíîå ñïàðèâàíèå ìåæäó ïðîñòðàíñòâàìè Em è βm , îïðåäåëÿåìîå ôîðìîé ω 2 . Ýòîñïàðèâàíèå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ îêðóæíîñòè íà îáîèõðàññëîåíèÿõ è èíäóöèðóåò åñòåñòâåííûé èçîìîðôèçì ðàññëîåíèé E ' β ∗ .Çàìå÷àíèå 11.
Èç ñâîéñòâà 1◦ ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî âåêòîðíîãî ïîëÿV íà Λ, ãäå Vm ∈ Em , m ∈ Λ (ò.å. ñå÷åíèÿ ðàññëîåíèÿ E ), êîððåêòíî îïðåäåëåíî óñðåäíåíèå V̄ ýòîãî ïîëÿ. À èìåííî, óñðåäíåíèå ýòî èíâàðèàíòíîåïîëå òàêîãî æå âèäà, îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîé1 Z 2πV̄m =(âs )−1 Vas (m) ds,2π 0m ∈ Λ.(44)Çäåñü as : Λ → Λ åñòåñòâåííîå äåéñòâèå îêðóæíîñòè íà Λ, âs : Em →Eas (m) åñòåñòâåííîå äåéñòâèå îêðóæíîñòè íà ðàññëîåíèè E (s ∈ S 1 ).Ïðè ïîìîùè åñòåñòâåííîãî èçîìîðôèçìà ïîëÿ ïîäïðîñòðàíñòâ θm , m ∈Λ, è ðàññëîåíèÿ E (ñì.
çàìå÷àíèå 10) ïåðåíåñ¼ì íà ïîëå ïîäïðîñòðàíñòâθm , m ∈ Λ, åñòåñòâåííîå äåéñòâèå îêðóæíîñòè íà ðàññëîåíèè E . Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 8, ýòî äåéñòâèå òîæå îáëàäàåò óêàçàííûì â ýòîì ñëåäñòâèèñâîéñòâîì 2◦ . Êðîìå òîãî, ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ 11, äëÿ âåêòîðíûõ ïîëåéVm ∈ θm , m ∈ Λ, îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ óñðåäíåíèÿ (44).Øàã 3. Ñôîðìóëèðóåì îñíîâíóþ ëåììó, ÿâëÿþùóþñÿ îáîáùåíèåì ðåçóëüòàòà ðàáîòû Áîòòêîëà [14]. Îíà áóäåò äîêàçàíà íà øàãàõ 45.Ýòà ëåììà îòíîñèòñÿ ê ïðîèçâîëüíûì äèíàìè÷åñêèì ñèñòåìàì, íå ÿâëÿþùèìñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ãàìèëüòîíîâûìè.Ôèêñèðóåì íà ìíîãîîáðàçèè Λ ðèìàíîâó ìåòðèêó (èëè, ïî ìåíüøåé ìåðå, àôôèííóþ ñâÿçíîñòü, íàïðèìåð, ðèìàíîâó).Ïóñòü U ⊂ H −1 (h) äîñòàòî÷íî ìàëàÿ îêðåñòíîñòü ïîäìîãîîáðàçèÿ Λâ ïîâåðõíîñòè H −1 (h).Ðàññìîòðèì ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó ñ ãàìèëüòîíèàíîì H̃ , áëèçêèì ê Hâ C 2 íîðìå. Ïåðåíåñ¼ì èç îáëàñòè U â íåâîçìóù¼ííîé ïîâåðõíîñòè H −1 (h)íà âîçìóù¼ííóþ ïîâåðõíîñòü H̃ −1 (h) ñëåäóþùèå îáúåêòû:721.
ïîäìíîãîîáðàçèå Λ âìåñòå ñ ðèìàíîâîé ìåòðèêîé è äåéñòâèåì îêðóæíîñòè íà í¼ì;2. ïîëå ñå÷åíèé Ïóàíêàðå σm , m ∈ Λ, âìåñòå ñ ñåìåéñòâîì îêðåñòíîñòåéUγ ⊃ γ è èõ ãëàäêèõ ðåòðàêöèé ργ : Uγ → γ (ñì. øàã 1), ïåðåâîäÿùèõëþáîå ñå÷åíèå Ïóàíêàðå σm â òî÷êó m, ãäå m ∈ γ ;3. ïîëå ïîäïðîñòðàíñòâ θm ⊂ Tm σm , m ∈ Λ, âìåñòå ñ ïîñòðîåííûì âûøå(ñì. øàã 2) äåéñòâèåì íà í¼ì îêðóæíîñòè;4. ïîëå îïåðàòîðîâ Pm,m0 : θm → Tm0 σm âìåñòå ñ èõ îáðàçàìè θm,m0 , ãäåm0 ∈ Uγ , m = ργ (m0 ) ∈ Λ (ñì. øàã 1);5. îêðåñòíîñòü U âìåñòå ñ ãëàäêîé ðåòðàêöèåé ρ : U → Λ (ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
