Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Îòñþäà, ñ ó÷¼òîì (23), ïîëó÷àåì:ZΦ(m0 , u) − Φ(m, u) = (51C1u (γ)Z−C0u (γ))ω 2 .(24)Èç êàæäîé òî÷êè m = ϕu0 (γ(v)), 0 ≤ u0 ≤ u, 0 ≤ v ≤ 1, öåïè C0uâûïóñòèì ôàçîâóþ òðàåêòîðèþ ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì Hu0 äî ñëåäóþùåãî å¼ ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ Σ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Du (γ) 3öåïüâ H −1 (h) ⊂ M × IR2tu ñ êîîðäèíàòàìè t, u0 , v , 0 ≤ u0 ≤ u, 0 ≤ v ≤ 1,0 ≤ t ≤ Tu0 v = Tu0 (ϕu0 (γ(v))), îáðàçîâàííóþ ýòèìè òðàåêòîðèÿìè.ßñíî, ÷òî ãðàíèöà ïîëó÷åííîé öåïè Du (γ) ñîñòîèò èç øåñòè ãðàíåé,äâå èç êîòîðûõ ñîâïàäàþò ñ öåïÿìèC0u (γ) = Du (γ)|t=0 ,C1u (γ) = Du (γ)|t=Tu0 v ,à îñòàëüíûå ÷åòûðå ãðàíèCu (γ) = Du (γ)|v=0 ,Cu0 (γ) = Du (γ)|v=1 ,Du (γ)|u0 =0 ,Du (γ)|u0 =uîáðàçîâàíû íåêîòîðûìè ôàçîâûìè òðàåêòîðèÿìè ñèñòåì ñ ãàìèëüòîíèàíàìè Hu0 .  ñèëó ïðèíöèïà Ãàìèëüòîíà [1], èíòåãðàë ôîðìû ω 2 ïî ïîñëåäíèìäâóì ãðàíÿì ðàâåí íóëþ, òàê êàê îíè îáðàçîâàíû òðàåêòîðèÿìè îäíîé èòîé æå ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû è ëåæàò â å¼ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè.
 ñèëó çàìêíóòîñòè ôîðìû ω 2 , å¼ èíòåãðàë ïî ãðàíèöå öåïè Du (γ)ðàâåí íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçíîñòü (24) ðàâíàZΦ(m0 , u) − Φ(m, u) = (ZCu0 (γ)−Cu (γ))ω 2 ,(25)ãäå íà öåïÿõ Cu (γ) è Cu0 (γ) ðàññìàòðèâàþòñÿ êîîðäèíàòû u, t (êàê çàäàþùèåíà íèõ îðèåíòàöèþ du ∧ dt). Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òîZΦ(m, u) =Cu (γ)ω2,m ∈ σ00 .(26)(Äåéñòâèòåëüíî, èç (25) ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (26) ëèøü ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ñëàãàåìîãî, íå çàâèñÿùåãî íè îò m, íè îò u; íî ýòîñëàãàåìîå ðàâíî íóëþ â ñèëó óñëîâèÿ Φ(m, 0) ≡ 0 èç îïðåäåëåíèÿ 11.)×òîáû âû÷èñëèòü èíòåãðàë (26), çàìåòèì, ÷òî, ñîãëàñíî ïðèíöèïó Ãàìèëüòîíà [1], èíòåãðàë ôîðìû Ω2 = ω 2 − dHu ∧dt ïî öåïè Cu (γ) ðàâåí íóëþ.ÏîýòîìóZΦ(m, u) =dHu0 ∧ dt.Cu (γ)Çàìåòèì òàêæå, ÷òî îãðàíè÷åíèå ôîðìû dH = dHu + Hu du íà ïîâåðõíîñòüH −1 (h) ⊃ Cu (γ) ðàâíî íóëþ.
Îòñþäà, ñ ó÷¼òîì òîãî, ÷òî îðèåíòàöèÿ íà2öåïè Cu (γ) çàäà¼òñÿ ôîðìîé ïëîùàäè du0 ∧ dt, èìååì:ZΦ(m, u) = −Cu (γ)52Hu0 du0 ∧ dt =−Z u Z T 0 (ϕ 0 (m))uu000Hu0 (γu0 (ϕu0 (m), t)) dt du = −Z u0H̄u0 (ϕu0 (m)) du0 ,ãäå γu (m, t) ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì Hu , âûïóùåííàÿ èç òî÷êè m ∈ σu0 , Tu (m) âðåìÿ äâèæåíèÿ ïî ýòîé òðàåêòîðèè äî ñëåäóþùåãî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ñåêóùåé ïîâåðõíîñòüþ σu . ( ÷àñòíîñòè,γu (m, Tu (m)) = Au (m).)Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñîâïàäàåò ñ òðåáóåìûì ñîîòíîøåíèåì (21).Ëåììà 5 îá óñðåäí¼ííîì âîçìóùåíèè äîêàçàíà.Ïîêàæåì, ÷òî èç ëåììû 5 ñëåäóåò óòâåðæäåíèå 8.
Ïóñòü ôóíêöèÿ H̃ 6≡H C r áëèçêà ê ôóíêöèè H , ò.å. èìååò âèä H̃ = H + ε0 H1 , ãäå kH1 kC r = 1(r ≥ 1), 0 < ε0 ¿ 1. Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèè Ψ̃ ◦ A è ε0 H̄ε20 áëèçêè, ò.å. îòëè÷àþòñÿ íà ôóíêöèþ ïîðÿäêà O(ε20 ). (Çäåñü è âñþäó äàëåå áëèçîñòü è îãðàíè÷åííîñòü ïî îòíîøåíèþ ê ôóíêöèÿì, âåêòîðíûìïîëÿì èëè îòîáðàæåíèÿì ïîíèìàþòñÿ â ñìûñëå C r−1 íîðìû, îòâå÷àþùåéêàêîé-ëèáî ðèìàíîâîé ìåòðèêå íà ìíîãîîáðàçèè M , ò.å. áëèçîñòü âìåñòå ñîâñåìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïî êîîðäèíàòàì òî÷êè m ïîðÿäêîâ, ìåíüøèõ r.)Ïðèìåíèì îáîçíà÷åíèÿ ëåììû 5 ê ñåìåéñòâó ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñãàìèëüòîíèàíàìè Hε = H + εH1 , 0 ≤ ε ≤ ε0 .Ïóñòü m ∈ σ ëþáàÿ òî÷êà, è ïóñòü γ(m, t), 0 ≤ t ≤ T (m), ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H , âûïóùåííàÿèç òî÷êè m = γ(m, 0) äî ñëåäóþùåãî ïåðåñå÷åíèÿ (â íåêîòîðûé ìîìåíòâðåìåíè t = T (m)) ñ ñåêóùåé ïîâåðõíîñòüþ σ .
Ïðè êàæäîì çíà÷åíèè εðàññìîòðèì àíàëîãè÷íóþ òðàåêòîðèþ γε (m, t), 0 ≤ t ≤ Tε (m), ñèñòåìû ñãàìèëüòîíèàíîì Hε , ãäå γε (m, 0) = ϕε (m) ∈ σε , 0 ≤ ε ≤ ε0 .Çàìåòèì, ÷òî âåêòîðíîå ïîëå Vε , çàäàþùåå ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó ñ ãàìèëüòîíèàíîì Hε , ε0 áëèçêî (â C r−1 íîðìå) ê âåêòîðíîìó ïîëþ V , çàäàþùåìó ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó ñ ãàìèëüòîíèàíîì H . Îòñþäà è èç òåîðèèîáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ôàêòû, íà êîòîðûõ áóäåò îñíîâàíî äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 5:1.
Ôóíêöèÿ Tε (m) ε0 áëèçêà ê ôóíêöèè T (m).2. Ïðè êàæäîì çíà÷åíèè t, 0 ≤ t ≤ T (m), îòîáðàæåíèå m 7→ γε (m, t)ε0 áëèçêî ê îòîáðàæåíèþ m 7→ γ(m, t), 0 ≤ ε ≤ ε0 .3. Îòîáðàæåíèå Pε0 ◦ A−1 ε0 áëèçêî ê òîæäåñòâåííîìó.4.  êàæäîé òî÷êå êðèâîé Pε (m), 0 ≤ ε ≤ ε0 , âåêòîð ñêîðîñòèîãðàíè÷åí.53∂Pε(m)∂εÏóñòü Φ(m, ε) ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñåìåéñòâà îòîáðàæåíèé Pε , 0 ≤ε ≤ ε0 (ñì. îïðåäåëåíèå 11).
Èç ëåììû 5 è ïåðâûõ äâóõ óïîìÿíóòûõ ôàêòîâñëåäóåò, ÷òîΦ(m, ε0 ) − ε0 H̄(m) = O(ε20 ).Íàïîìíèì, ÷òî Ψ̃ îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ (18) îòäåëüíîãîîòîáðàæåíèÿ Pε0 ◦ A−1 , îòâå÷àþùóþ íåêîòîðîé ãîìîòîïèè g . Èç òðåòüåãî è÷åòâåðòîãî óïîìÿíóòûõ ôàêòîâ ñëåäóåò, ÷òîΦ(m, ε0 ) − Ψ̃ ◦ A(m) = O(ε20 ).Äåéñòâèòåëüíî, èç îïðåäåëåíèé ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè äëÿ ñåìåéñòâàîòîáðàæåíèé è äëÿ îòäåëüíîãî îòîáðàæåíèÿ, ñ ó÷¼òîì çàìêíóòîñòè ôîðìûω 2 , ëåãêî ñëåäóåò, ÷òî ðàçíîñòü Φ(m, ε0 ) − Ψ̃ ◦ A(m) ðàâíà èíòåãðàëó ôîðìûω 2 ïî ìàëåíüêîé äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè C , îãðàíè÷åííîé êðèâûìè Pε (m),0 ≤ ε ≤ ε0 , è g(A(m), Pε0 (m), u), 0 ≤ u ≤ 1.
(Êàæäàÿ èç ýòèõ êðèâûõ ñîåäèíÿåò òî÷êè A(m) è Pε0 (m), âòîðàÿ êðèâàÿ îòâå÷àåò ãîìîòîïèè g âèäà(16).) Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîâåðõíîñòü C îáðàçîâàíà êðàò÷àéøèìè îòðåçêàìè, ñîåäèíÿþùèìè ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êèóêàçàííûõ ãðàíè÷íûõ êðèâûõ. Òàê êàê äëèíû îáåèõ ýòèõ êðèâûõ èìåþòïîðÿäîê O(ε0 ), òî ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè C èìååò ïîðÿäîê O(ε20 ). Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë ôîðìû ω 2 ïî ïîâåðõíîñòè C òîæå èìååò ïîðÿäîê O(ε20 ). ñèëó ñêàçàííîãî, ðàçíîñòü Ψ̃ ◦ A(m) − ε0 H̄(m) èìååò ïîðÿäîê O(ε20 ) (âñìûñëå C r−1 íîðìû). Ýòî äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå 8.1.5 Äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì î íåïîäâèæíûõ òî÷êàõÑíà÷àëà äîêàæåì óòâåðæäåíèÿ î íåïîäâèæíûõ òî÷êàõ ñèìïëåêòè÷åñêèõîòîáðàæåíèé, ñôîðìóëèðîâàííûå â 1.4, à çàòåì óòâåðæäåíèÿ î çàìêíóòûõ òðàåêòîðèÿõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì, ñôîðìóëèðîâàííûå â 1.11.3.1.5.1 Ñóùåñòâîâàíèå è ðàñïîëîæåíèå íåïîäâèæíûõ òî÷åêÊàê ìû óæå îòìå÷àëè (ñì.
ï. 1.4.3), òåîðåìà 4 (îöåíêà ÷èñëà íåïîäâèæíûõ òî÷åê) è óòâåðæäåíèå 5 (ëîêàëèçàöèÿ íåïîäâèæíûõ òî÷åê) ñëåäóþò èçóòâåðæäåíèÿ 6. Äîêàæåì ýòî óòâåðæäåíèå.Ðàçîáü¼ì äîêàçàòåëüñòâî íà íåñêîëüêî øàãîâ.Øàã 1. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå A : U → M , è â êàæäîé íåïîäâèæíîéòî÷êå m ∈ Λ ðàññìîòðèì êîÿäðî îïåðàòîðà dA(m) − I .
Äëÿ ýòîãî ïîñòðîèì ñíà÷àëà åãî îáðàç Dm = Im(dA(m) − I), à çàòåì ïðîâåä¼ì ïîâåðõíîñòüθm 3 m â M òîé æå ðàçìåðíîñòè, ÷òî è Λ, òðàíñâåðñàëüíóþ ê ýòîìó îáðàçó (ýòî ìîæíî ñäåëàòü â ñèëó íåâûðîæäåííîñòè Λ). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîïîâåðõíîñòü θm ⊂ M ãëàäêî çàâèñèò îò òî÷êè m ∈ Λ.54Äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîñòðîåííàÿ ïîâåðõíîñòü θm ⊂ M îïðåäåëåíàäëÿ âñåõ òî÷åê m ∈ U , ñ ñîõðàíåíèåì ñâîéñòâà ãëàäêîé çàâèñèìîñòè îòòî÷êè.Ïóñòü U ⊂ M äîñòàòî÷íî ìàëàÿ îêðåñòíîñòü ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ âM . Çàäàäèì â ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè U × U êàêóþ-íèáóäü êóñî÷íî-ãëàäêóþ(êëàññà C r ) ãîìîòîïèþ C r ãëàäêèõ îòîáðàæåíèé gu : U ×U → M , 0 ≤ u ≤ 1,g0 (m0 , m1 ) = m0 , g1 (m0 , m1 ) = m1 , îáëàäàþùóþ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì:îãðàíè÷åíèå ýòîé ãîìîòîïèè íà äèàãîíàëü â U × U ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì.
Äðóãèìè ñëîâàìè,gu (m, m) = mïðè âñåõ m ∈ U , 0 ≤ u ≤ 1. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ áëèçêèõòî÷åê m0 , m1 ñîåäèíÿþùàÿ èõ êðèâàÿ gu (m0 , m1 ), 0 ≤ u ≤ 1, ÿâëÿåòñÿêîðîòêîé ò.å. èìååò äëèíó ïîðÿäêà ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè m0 è m1(â ñìûñëå êàêîé-íèáóäü ðèìàíîâîé ìåòðèêè íà M ).Îòìåòèì, ÷òî îòîáðàæåíèÿ à è A ãîìîëîãè÷íû òîæäåñòâåííîìó â ñèëóëåììû 2 è çàìå÷àíèÿ 6. Çíà÷èò, äëÿ íèõ êîððåêòíî îïðåäåëåíû ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè Ψ è Ψ̃, ñì.
ï. 1.4.5. Ìû íàïîìíèì èõ ïîñòðîåíèå íà øàãå3.Øàã 2. Îïðåäåëèì âîçìóù¼ííîå ïîäìíîãîîáðàçèå Λ̃ ⊂ U êàê ìíîæåñòâîâñåõ òî÷åê m ∈ U , äëÿ êîòîðûõ Ã(m) ∈ θ̃m :Λ̃ = {m ∈ U | Ã(m) ∈ θ̃m } ⊂ U.(27)Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî äëÿ íåâîçìóù¼ííîãî îòîáðàæåíèÿ ýòî ìíîæåñòâî ñîâïàäàåò ñ Λ, è ñîãëàñíî òåîðåìå î íåÿâíûõ ôóíêöèÿõ, ýòî ìíîæåñòâî èìååòâèä Λ̃ = i(Λ), ãäå âëîæåíèå i : Λ → U C r áëèçêî ê òîæäåñòâåííîìó, ÷òîäîêàçûâàåò ïåðâóþ ÷àñòü ñâîéñòâà 3◦ óòâåðæäåíèÿ 6. Òåîðåìà î íåÿâíûõôóíêöèÿõ ïðèìåíèìà, ïîñêîëüêó:1. îòîáðàæåíèå à C r áëèçêî ê íåâîçìóù¼ííîìó îòîáðàæåíèþ A è2. ïî ïîñòðîåíèþ ïîâåðõíîñòåé θm , m ∈ Λ, èõ êàñàòåëüíûå ïðîñòðàíñòâàòðàíñâåðñàëüíû â Tm M ê îáðàçàì îïåðàòîðîâ dA(m) − I , ãäå I òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð â Tm M .Îòìåòèì, ÷òî, ïî ïîñòðîåíèþ ìíîæåñòâà Λ̃ ⊂ U , îíî àâòîìàòè÷åñêèñîäåðæèò âñå íåïîäâèæíûå òî÷êè îòîáðàæåíèÿ Ã.Øàã 3. Äàëüíåéøèå íàøè ïîñòðîåíèÿ àíàëîãè÷íû ïîñòðîåíèÿì èç ðàáîòû Ãèíçáóðãà [37], â êîòîðîé ðàññìàòðèâàëèñü ïåðèîäè÷åñêèå ñèñòåìû.Ïîñòðîèì â U ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ Ψ ïî ôîðìóëå (18).
Íàïîìíèì: ýòàôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ñëàãàåìîãî, è ðàçíîñòü å¼55çíà÷åíèé â ëþáûõ äâóõ òî÷êàõ m0 , m1 ∈ U ðàâíà èíòåãðàëó 2ôîðìû ωïî 2öåïè C̃ = C̃(mv , 0 ≤ v ≤ 1) ñ êîîðäèíàòàìè u, v èç ïðÿìîóãîëüíèêà0 ≤ u, v ≤ 1. Çäåñü mv , 0 ≤ v ≤ 1, ëþáîé ïóòü â U ñ êîíöàìè â òî÷êàõm0 , m1 , öåïü C̃ ñîñòàâëåíà èç êðèâûõ h(mv , u) = gu (mv , Ã(mv )), 0 ≤ u ≤ 1,êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñîåäèíÿåò òî÷êó mv ñ å¼ îáðàçîì Ã(mv ):ZZΨ̃(m1 ) − Ψ̃(m0 ) =C̃(m0 ,m1 )(28)ω.Èç ãîìîëîãè÷íîñòè îòîáðàæåíèÿ à òîæäåñòâåííîìó ñëåäóåò, ÷òî ãëàäêàÿôóíêöèÿ Ψ̃ ÿâëÿåòñÿ ãëîáàëüíîé îäíîçíà÷íîé ôóíêöèåé â U , îäíàêî îíàîïðåäåëåíà íå îäíîçíà÷íî, à ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîãî ïîñòîÿííîãîñëàãàåìîãî.
Äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ îáðàùàåòñÿ â íîëü â òî÷êå i(m0 ) ∈ Λ̃, ãäå m0 íåêîòîðàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êàíà Λ, i âëîæåíèå, ïîñòðîåííîå íà ïðåäûäóùåì øàãå. ßñíî, ÷òî íåâîçìóù¼ííàÿ ôóíêöèÿ Ψ òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ íà Λ. Îïðåäåëèì ãëàäêóþôóíêöèþ S íà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ, ïîëàãàÿ εS = Ψ̃ ◦ i.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îòîáðàæåíèå à ãëàäêî çàâèñèò îò íåêîòîðîãî ìàëîãî ïàðàìåòðà. Òîãäà èç òåîðåìû î íåÿâíûõ ôóíêöèÿõ ìû ñðàçó ïîëó÷àåìãëàäêóþ çàâèñèìîñòü âëîæåíèÿ i è ôóíêöèè εS îò ýòîãî ïàðàìåòðà.
Îòñþäà ëåãêî ñëåäóåò è ãëàäêàÿ çàâèñèìîñòü ôóíêöèè S îò ìàëîãî ïàðàìåòðà,÷òî äîêàçûâàåò ïåðâóþ ÷àñòü ñâîéñòâà 4◦ .Øàã 4. Íàéä¼ì ÿâíûé âèä äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè S : Λ → IR. Äëÿëþáîé òî÷êè m ∈ U ðàññìîòðèì êîðîòêóþ êðèâóþ h̃(m, u) = gu (m, Ã(m)),0 ≤ u ≤ 1, ñîåäèíÿþùóþ òî÷êó m = g0 (m, Ã(m)) ñ å¼ îáðàçîì Ã(m) =g1 (m, Ã(m)) (ñì. øàã 1). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè Ψ̃â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå m ∈ U ðàâåídΨ̃(m)η =Z 10ω2(∂ h̃(m, u) ∂ h̃(m, u),η)du,∂u∂mη ∈ Tm M.(29) ÷àñòíîñòè, ëþáàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà m îòîáðàæåíèÿ à ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêîé òî÷êîé ôóíêöèè Ψ̃, òàê êàê h̃(m, u) = m, 0 ≤ u ≤ 1.Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ÷àñòíûé ñëó÷àé êîãäà êðèâûå gu (m0 , m1 ), 0 ≤u ≤ 1, ÿâëÿþòñÿ ãåîäåçè÷åñêèìè íåêîòîðîé àôôèííîé ñâÿçíîñòè:gu (m0 , m1 ) = gu◦ (m0 , m1 ),h̃(m, u) = h̃◦ (m, u) = gu◦ (m, Ã(m)).Äëÿ ëþáîãî êàñàòåëüíîãî âåêòîðà ξ0 ∈ Tm M îáîçíà÷èì ÷åðåç ξu ∈Th(m,u) M , 0 ≤ u ≤ 1, ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ýòîãî êàñàòåëüíîãî âåêòîðàâäîëü ïóòè h(m, u), 0 ≤ u ≤ 1, îòíîñèòåëüíî ýòîé ñâÿçíîñòè.
Ðàññìîòðèìáèëèíåéíóþ ôîðìó Q̃ íà U âèäàQ̃(ξ0 , η) =Z 10ω(ξu ,56∂ h̃◦(m, u)η)du.∂mÒîãäà äèôôåðåíöèàë dΨ̃◦ ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè Ψ◦ èìååò âèädΨ̃◦ (m)η = Q̃(ξ˜0 , η),(30)h̃ãäå ξ˜0 = ∂∂u(m, u)|u=0 âåêòîð, êîòîðûé íàçîâ¼ì âåêòîðîì ñìåùåíèÿòî÷êè m (ýòîò âåêòîð çàâèñèò îò îòîáðàæåíèÿ à è îò ñâÿçíîñòè).Äëÿ ëþáîé íåïîäâèæíîé òî÷êè m îòîáðàæåíèÿ à ïîëó÷àåì ñëåäóþùèåôîðìóëû:1Q̃(ξ, η) = ω 2 (ξ, dÃ(m)η + η),(31)21dΨ̃◦ (m) = 0, d2 Ψ̃◦ (m)η = ω 2 (dÃ(m)η − η, dÃ(m)η + η) = ω 2 (dÃ(m)η, η).2(32) ÷àñòíîñòè, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü ôóíêöèè Ψ̃◦â ëþáîé íåïîäâèæíîé òî÷êå m íå çàâèñèò îò âûáîðà àôôèííîé ñâÿçíîñòè: îíà â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé ëèíåàðèçîâàííîãîîòîáðàæåíèÿ dÃ(m).
Ýòî äîêàçûâàåò ñâîéñòâî 8◦ èç çàìå÷àíèÿ 8 (ñì. ï.1.4.4).Èç ôîðìóëû (31) ñëåäóåò, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ÷àñòíîì ñëó÷àå â ëþáîé òî÷êå m ∈ Λ, ïðè η ∈ Tm Λ, èìååì Q(∗, η) = ω 2 (∗, η) (äëÿ íåâîçìóù¼ííîãî îòîáðàæåíèÿ). Îòñþäà, ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (30), ïîëó÷àåì âàæíîåñëåäñòâèå: äëÿ ëþáîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ̃, C 1 áëèçêîãî ê Λ, äëÿ ëþáîé åãîòî÷êè m ∈ Λ̃ è ëþáîãî êàñàòåëüíîãî âåêòîðà η ∈ Tm Λ̃ èìååì◦dΨ̃◦ (m)η = ω 2 (ξ˜0 , η) + o(|ξ˜0 | · |η|)(33)ïðè ε → 0, ãäå ξ˜0 ∈ Tm M âåêòîð ñìåùåíèÿ òî÷êè m ïðè îòîáðàæåíèèÃ, äëèíà êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ ïîíèìàåòñÿ ïî îòíîøåíèþ ê êàêîé-ëèáîôèêñèðîâàííîé ðèìàíîâîé ìåòðèêå íà M 2n .Äîêàæåì òåïåðü ôîðìóëó (33) â îáùåì ñëó÷àå íå òîëüêî äëÿ ôóíêöèè Ψ◦ , íî è äëÿ ëþáîé ôóíêöèè Ψ, îïðåäåë¼ííîé ïðè ïîìîùè êàêîãî-ëèáîñåìåéñòâà êîðîòêèõ êðèâûõ h(m, u), 0 ≤ u ≤ 1, âîîáùå ãîâîðÿ íå ÿâëÿþùèõñÿ ãåîäåçè÷åñêèìè h◦ (m, u), 0 ≤ u ≤ 1, äàííîé àôôèííîé ñâÿçíîñòè (ñì.øàãè 1, 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
