Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Êðîìå òîãî, äëÿ ïðîèçâîäÿùåéôóíêöèè âèäà (13) îáðàòíîå òîæå âåðíî: åñëè det( ∂P) 6= 0, òî ïî ôóíêöèè∂pΨ ìîæíî îäíîçíà÷íî âîññòàíîâèòü ïðåîáðàçîâàíèå A. Îäíàêî ïîñëåäíååñâîéñòâî äëÿ íàñ äàëåå íå áóäåò ÿâëÿòüñÿ ñóùåñòâåííûì.Ïðè èññëåäîâàíèè óñòîé÷èâîñòè íåïîäâèæíûõ òî÷åê ïîëåçåí åù¼ îäèí(â íåêîòîðîì ñìûñëå áîëåå óçêèé) êëàññ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé, êîòîðûåìû áóäåì îáîçíà÷àòü Ψ◦ . Ïðèìåðîì òàêîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ ñëåäóþùåãî âèäà. Åå äèôôåðåíöèàë èìååò âèä1dΨ◦ (p, q) = ((P − p)(dQ + dq) − (Q − q)(dP + dp)).2(15)Äåëî â òîì, ÷òî ôóíêöèÿ Ψ◦ îáëàäàåò äîïîëíèòåëüíûì ñâîéñòâîì 8◦ èççàìå÷àíèÿ 8:3◦  ëþáîé íåïîäâèæíîé òî÷êå m îòîáðàæåíèÿ A ãåññèàí ôóíêöèè Ψ◦ñîâïàäàåò ñ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé ñèìïëåêòè÷åñêîãî îïåðàòîðà dA(m):d2 Ψ◦ (m)ξ = ω 2 (dA(m)ξ, ξ).Îáùåå îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè.  äåéñòâèòåëüíîñòè,ãëîáàëüíóþ ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ â îêðåñòíîñòè Λ ìîæíî îïðåäåëèòüè â ñëó÷àå, êîãäà íå ñóùåñòâóåò ãëîáàëüíûõ êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò p, q .Òàêàÿ áåñêîîðäèíàòíàÿ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ Ψ̃ íå áóäåò çàäàâàòü ñàìîîòîáðàæåíèå Ã, íî áóäåò îáëàäàòü ñâîéñòâàìè 1◦ , 2◦ (ñì.
âûøå).Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ðàññìîòðèì ãîìîòîïèþ, òî÷íåå, C r ãëàäêîå îòîáðàæåíèå g : M × M × [0, 1] → M , g = g(m, m0 , u),m, m0 ∈ M , 0 ≤ u ≤ 1, îïðåäåë¼ííîå ïðè ëþáîì u â ìàëîé îêðåñòíîñòèäèàãîíàëè ∆ = {(m, m) | m ∈ M } â M × M , è óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿìg(m, m0 , 0) = m, g(m, m0 , 1) = m0 ,g(m, m, u) = m, 0 ≤ u ≤ 1.43(16)Ïðè ýòîì çàâèñèìîñòü g îò ïåðåìåííîé u ìîæåò áûòü ëèøü êóñî÷íîãëàäêîé, à íå îáÿçàòåëüíî ãëàäêîé. Ýòî çíà÷èò, ÷òî îòðåçîê [0, 1] ìîæíîïðåäñòàâèòü êàê îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà îòðåçêîâ [ui , ui+1 ], â êàæäîì èç êîòîðûõ îòîáðàæåíèå g ÿâëÿåòñÿ C r ãëàäêèì (r êîíñòàíòà èçóòâåðæäåíèÿ 6). Ïîëîæèìh(m, u) = g(m, A(m), u),0 ≤ u, v ≤ 1.(17)Îïðåäåëèì ôóíêöèþ Ψ ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ ëþáîãî ïóòè mv , 0 ≤v ≤ 1, â U ïîëîæèìZΨ(m1 ) − Ψ(m0 ) =C(mv ,0≤v≤1)ω2,(18)ãäå C(mv , 0 ≤ v ≤ 1) = {h(mv , u) | 0 ≤ u, v ≤ 1} ⊂ U äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü â M ñ êîîðäèíàòàìè u, v , îáðàçîâàííàÿ îòðåçêàìè h(mv , u), 0 ≤ u ≤ 1,(ñì.
(17)), êàæäûé èç êîòîðûõ ñîåäèíÿåò òî÷êó mv ñ å¼ îáðàçîì A(mv ),0 ≤ v ≤ 1.Èç ñîîòíîøåíèÿ (10) ïîëó÷àåì, ÷òî ôóíêöèÿ Ψ îïðåäåëåíà êîððåêòíî(ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ñëàãàåìîãî) â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäàîòîáðàæåíèå A ãîìîëîãè÷íî òîæäåñòâåííîìó.Îïðåäåëåíèå 14. Ëþáóþ ôóíêöèþ Ψ âèäà (18) áóäåì íàçûâàòü ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé îòîáðàæåíèÿ A, îòâå÷àþùåé ãîìîòîïèè g .Íàïðèìåð, ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ Ψ âèäà (13) îòâå÷àåò êóñî÷íî-ãëàäêîé ãîìîòîïèè(g(p, q; P, Q; u) =(p + 2u(P − p) , q),(P , q + (2u − 1)(Q − q)),0 ≤ u ≤ 21 ,1≤ u ≤ 1,2ãäå îáîçíà÷åíî m = (p, q), m0 = (P, Q).
Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ Ψ◦ âèäà(15) îòâå÷àåò ãëàäêîé ãîìîòîïèèg ◦ (m, m0 , u) = (1 − u)m + um0 ,0 ≤ u ≤ 1.Ïîä÷åðêí¼ì, ÷òî óñëîâèå áîòòîâîñòè ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ îòíîñèòåëüíîïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè Ψ ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì äëÿ íåâûðîæäåííîñòèΛ â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 9, íî íå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì.  ÷àñòíîñòè, åñëèôóíêöèÿ Ψ ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé âèäà Ψ◦ (íàïðèìåð, ñòðîèòñÿ ñ ïîìîùüþãåîäåçè÷åñêèõ íåêîòîðîé àôôèííîé ñâÿçíîñòè), òî íåâûðîæäåííîå ïîäìíîãîîáðàçèå Λ íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ A ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêèì äëÿôóíêöèè Ψ◦ â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà íåò òî÷åê m ∈ Λ, â êîòîðûõäèôôåðåíöèàë dA(m) îòîáðàæåíèÿ A ïåðåâîðà÷èâàåò êàñàòåëüíûå âåêòîðà, ò.å. −1 ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì îïåðàòîðà dA(m).
Îòìåòèì åù¼ðàç, ÷òî ëþáîå ñèëüíî óñòîé÷èâîå ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêèìäëÿ ôóíêöèè Ψ◦ .44Îáùèå ñâîéñòâà ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé. Ôèêñèðóåì îäèí èç ñïîñî-áîâ ïîñòðîåíèÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè, îïèñàííûõ âûøå. Ýòî ýêâèâàëåíòíî ôèêñèðîâàíèþ êàêîé-íèáóäü ãîìîòîïèè âèäà (16).Ïóñòü A ëþáîå ñèìïëåêòè÷åñêîå îòîáðàæåíèå, ãîìîëîãè÷íîå òîæäåñòâåííîìó, Ψ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ýòîãî îòîáðàæåíèÿ. Òîãäà, íåçàâèñèìî îò ñïîñîáà ïîñòðîåíèÿ, ôóíêöèÿ Ψ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1◦ Åñëè A òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå, òî Ψ ≡ 0.2◦ Åñëè A(m) = m äëÿ íåêîòîðîé òî÷êè m ∈ M , òî dΨ(m) = 0.3◦ Ïóñòü Λ ⊂ M ëþáîå ñâÿçíîå ïîäìíîãîîáðàçèå, A1 è A2 äâàñèìïëåêòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèÿ, òàêèå, ÷òî A1 |Λ ≡ A2 |Λ . Òîãäà Ψ1 |Λ ≡Ψ2 |Λ + const.Ðàññìîòðèì òåïåðü äâà ñïîñîáà ïîñòðîåíèÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè, îòâå÷àþùèå íåêîòîðûì ãîìîòîïèÿì g è g ◦ âèäà (16).
Ïóñòü Ψ è Ψ◦ ïðèçâîäÿùèå ôóíêöèè îòîáðàæåíèÿ A, îòâå÷àþùèå ãîìîòîïèÿì g è g ◦ ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ðàçíîñòü ýòèõ ôóíêöèé îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì.4◦ Äâå ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè Ψ è Ψ◦ îäíîãî è òîãî æå ñèìïëåêòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ A îòëè÷àþòñÿ íà ôóíêöèþ âèäàΨ(m) − Ψ◦ (m) = O(dist (m, A(m))2 ),ãäå dist (m, m0 ) ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè, ïîíèìàåìîå â ñìûñëå íåêîòîðîé ðèìàíîâîé ìåòðèêè íà ìíîãîîáðàçèè M (êàê íèæíÿÿ ãðàíüäëèí êðèâûõ â M , ñîåäèíÿþùèõ òî÷êè m è m0 ).Äîêàæåì ñâîéñòâî 4◦ .
Èç îïðåäåëåíèÿ (18) ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ñó÷¼òîì çàìêíóòîñòè ôîðìû ω 2 ëåãêî ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè m ∈ Mðàçíîñòü Ψ(m) − Ψ◦ (m) ðàâíà èíòåãðàëó ôîðìû ω 2 ïî ìàëåíüêîé äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè C , îãðàíè÷åííîé êðèâûìè h(m, u), 0 ≤ u ≤ 1, è h◦ (m, u),0 ≤ u ≤ 1. (Êàæäàÿ èç ýòèõ êðèâûõ ñîåäèíÿåò òî÷êè m è A(m), îòâå÷àåò ñâîåé ãîìîòîïèè g è g ◦ âèäà (16) è îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå(17).) Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîâåðõíîñòü C îáðàçîâàíà êðàò÷àéøèìè îòðåçêàìè, ñîåäèíÿþùèìè ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè äâóõ å¼ ãðàíè÷íûõ êðèâûõ. Òàê êàê äëèíû îáåèõ ýòèõ êðèâûõ èìåþò ïîðÿäîê O(dist (m, A(m))), òî ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè C èìååò ïîðÿäîêO(dist (m, A(m))2 ). Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë ôîðìû ω 2 ïî ïîâåðõíîñòè Còîæå èìååò ïîðÿäîê O(dist (m, A(m))2 ).1.4.6 Ñâÿçü ìåòîäà óñðåäíåíèÿ ñ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåéÑîãëàñíî ëåììå 3, îòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå A è Ã, îòâå÷àþùèå äâóì ãàìèëüòîíîâûì ñèñòåìàì ñ áëèçêèìè ãàìèëüòîíèàíàìè H è H̃ , ãîìîëîãè÷íû.
Áîëåå òî÷íî, åñëè Σ ñåêóùàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü â M , è ϕ : σ → σ̃45 åñòåñòâåííûé ñèìïëåêòè÷åñêèé äèôôåîìîðôèçì ìåæäó ñå÷åíèÿìè Ïóàíêàðå σ = Σ ∩ H −1 (h) è σ̃ = Σ ∩ H̃ −1 (h), A è à îòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå,òî îòîáðàæåíèÿ A è P = ϕ−1 ◦ Ãϕ ãîìîëîãè÷íû. Ñëåäîâàòåëüíî, îòîáðàæåíèå P ◦ A−1 ãîìîëîãè÷íî òîæäåñòâåííîìó è çíà÷èò, ñîãëàñíî ï.
1.4.5, îíîèìååò ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ. Ïóñòü Ψ̃ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ýòîãîîòîáðàæåíèÿ (êàêîãî-ëèáî òèïà).Êàê ïîêàçûâàåò òåîðåìà 6 (î ðàñïîëîæåíèè íåïîäâèæíûõ òî÷åê âîçìóù¼ííîãî îòîáðàæåíèÿ), ÷àñòî âàæíî çíàòü, õîòÿ áû ïðèáëèæåííî, ÿâíûéâèä ôóíêöèè Ψ̃. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòó ôóíêöèþ ìîæíî ïîëó÷èòü èç âîçìóùåíèÿ H̃ − H ôóíêöèè H ïóò¼ì åãî óñðåäíåíèÿ ïî òðàåêòîðèÿì ñèñòåìûñ ãàìèëüòîíèàíîì H .×òîáû ñôîðìóëèðîâàòü ýòî óòâåðæäåíèå áîëåå òî÷íî, îïðåäåëèì ïîíÿòèå óñðåäíåíèÿ, ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íîå óñðåäíåíèþ (6) ïî ïåðèîäè÷åñêèìòðàåêòîðèÿì.Ïóñòü H : M → IR ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè M , h å¼ ðåãóëÿðíîå çíà÷åíèå. Ðàññìîòðèì íà M ãàìèëüòîíîâóñèñòåìó ñ ãàìèëüòîíèàíîì H .
Ïóñòü σ ⊂ H −1 (h) ëþáàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü(íå îáÿçàòåëüíî ñâÿçíàÿ), òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþùàÿ ôàçîâûå òðàåêòîðèè ýòîé ñèñòåìû íà H −1 (h). Ïóñòü σ 0 ⊂ σ íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî, íàêîòîðîì êîððåêòíî îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå A : σ 0 → σ , îòâå÷àþùåå ýòîé ñèñòåìå. Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè H íà ìíîãîîáðàçèè M îïðåäåëèìå¼ óñðåäíåíèå H̄ ïî ôàçîâûì òðàåêòîðèÿì ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H ,ïîëàãàÿZH̄(m) =T (m)0H(γ(m, t)) dt,m ∈ σ0,(19)ãäå γ(m, t) ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H , âûïóùåííàÿ èç òî÷êè m = γ(m, 0) ∈ σ , T (m) > 0 âðåìÿ äâèæåíèÿ ïî ýòîé òðàåêòîðèè äî ñëåäóþùåãî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ñåêóùåé ïîâåðõíîñòüþ σ .
( ÷àñòíîñòè,γ(m, T (m)) = A(m).) Ïîä÷åðêí¼ì, ÷òî ôóíêöèÿ (19) îïðåäåëåíà â îòêðûòîéîáëàñòè σ 0 â σ , â îòëè÷èå îò óñðåäí¼ííîãî âîçìóùåíèÿ (6).Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Óòâåðæäåíèå 8. Ïóñòü ãàìèëüòîíèàí H̃ âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû áëèçîêê H ïî íîðìå C r , ãäå r ≥ 1. Îáîçíà÷èì ε = kH̃ − HkC r , H1 = (H̃ − H)/ε.Ïóñòü Σ ⊂ M ñåêóùàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü, è ïóñòü A è à îòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå íà ïîâåðõíîñòÿõ σ = Σ ∩ H −1 (h) è σ̃ = Σ ∩ H̃ −1 (h),îòâå÷àþùèå íåâîçìóù¼ííîé è âîçìóù¼ííîé ñèñòåìàì ñîîòâåòñòâåííî.Ïóñòü ϕ : σ → σ̃ åñòåñòâåííûé ñèìïëåêòè÷åñêèé äèôôåîìîðôèçì ñå÷åíèé Ïóàíêàðå (ñì.
ëåììó 3). Ðàññìîòðèì ñèìïëåêòè÷åñêîå îòîáðàæåíèåP = ϕ−1 ◦ à ◦ ϕ íà ïîâåðõíîñòè σ , ãîìîëîãè÷íîå îòîáðàæåíèþ A. ÏóñòüΨ̃ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ îòîáðàæåíèÿ P ◦ A−1 . Òîãäà ïðè ëþáîì äî46ñòàòî÷íî ìàëîì ε ôóíêöèÿ 1ε Ψ̃ ◦ A áëèçêà ê îãðàíè÷åíèþ íà σ ôóíêöèè H̄,ïîëó÷åííîé óñðåäíåíèåì (19) âîçìóùåíèÿ H = H1 |Λ ïî ôàçîâûì òðàåêòîðèÿì íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû.Çäåñü ïîä áëèçîñòüþ ãëàäêèõ ôóíêöèé ïîíèìàåòñÿ èõ εáëèçîñòü âC íîðìå.Ïðèâåä¼ì ñëåäñòâèÿ èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ, êîòîðûå ìû ñôîðìóëèðóåìâ âèäå çàìå÷àíèé.r−1Çàìå÷àíèå. Ïóñòü, â óñëîâèÿõ óòâåðæäåíèÿ 8, r ≥ 2 è ãàìèëüòîíîâà ñè-ñòåìà ñ ãàìèëüòîíèàíîì H èìååò ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ⊂ H −1 (h), ñïëîøüçàïîëíåííîå çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè.
Ñîãëàñíî ëåììå 2, îòîáðàæåíèåA, à çíà÷èò, è îòîáðàæåíèå à (ñì. ëåììó 3), ãîìîëîãè÷íî òîæäåñòâåííîìó.Ïóñòü Ψ̃ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ îòîáðàæåíèÿ P = ϕ−1 ◦ à ◦ ϕ.  ñèëóîáùåãî ñâîéñòâà 3◦ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé (ñì. ï. 1.4.5) îãðàíè÷åíèÿ íàïîäìíîãîîáðàçèå Λ̄ = Λ ∩ σ ôóíêöèè Ψ̃ è ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè îòîáðàæåíèÿ P ◦ A−1 ñîâïàäàþò.
Ñëåäîâàòåëüíî, èç óòâåðæäåíèÿ 8 ïîëó÷àåì, ÷òîôóíêöèÿ 1ε Ψ̃|Λ̄ εáëèçêà ê ôóíêöèè H̄|Λ̄ (ïî íîðìå C r−1 ). Îòìåòèì òàêæå,÷òî ôóíêöèÿ H̄|Λ̄ ïî îïðåäåëåíèþ íå çàâèñèò îò âûáîðà ñåêóùåé ïîâåðõíîñòè σ è ñîâïàäàåò ñ óñðåäí¼ííûì âîçìóùåíèåì (6).Çàìå÷àíèå 9. ñèëó ïðåäûäóùåãî çàìå÷àíèÿ, ìåòîä óñðåäíåíèÿ íàïîäìíîãîîáðàçèè (ò.å. òåîðåìà 2 è óòâåðæäåíèÿ 1, 2) ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåìòåîðåìû 4 è (áîëåå îáùåãî) óòâåðæäåíèÿ 5 î íåïîäâèæíûõ òî÷êàõ îòîáðàæåíèé.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, òåîðåìà 3 è ñëåäñòâèå 5 îá óñòîé÷èâîñòèçàìêíóòûõ òðàåêòîðèé ñèñòåì ñëåäóþò èç óòâåðæäåíèÿ 7 îá óñòîé÷èâîñòèíåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèé.Ïóñòü ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ⊂ H −1 (h) òðèâèàëüíî ðàññëîåíî íà çàìêíóòûå òðàåêòîðèè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû. Ýòî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî ñóùåñòâóåò ãëîáàëüíîå (2n − 1)ìåðíîå ñå÷åíèå Σ2n−1 ⊂ M 2n , òðàíñâåðñàëüíîïåðåñåêàþùåå êàæäóþ òðàåêòîðèþ íà Λ, ïðè÷¼ì ðîâíî â îäíîé òî÷êå. Â÷àñòíîñòè, Λ ∩ σ äèôôåîìîðôíî B = Λ/S 1 , è ìû áóäåì îòîæäåñòâëÿòüB ñ Λ ∩ σ . Ðàññìîòðèì (2n − 2)ìåðíûå ïîâåðõíîñòè σ = Σ ∩ H −1 (h),σ̃ = Σ ∩ H̃ −1 (h), íàçûâàåìûå ñå÷åíèÿìè Ïóàíêàðå, è îáîçíà÷èì B = Λ ∩ σ .Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå A : σ → σ è à : σ̃ → σ̃ , îòâå÷àþùèåíåâîçìóù¼ííîé è âîçìóù¼ííîé ñèñòåìàì ñîîòâåòñòâåííî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
