Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655)
Текст из файла
ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒèì. Ì. Â. ËîìîíîñîâàÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÓÄÊ 517.925.42, 521.131Êóäðÿâöåâà Åëåíà ÀëåêñàíäðîâíàÇàìêíóòûå òðàåêòîðèèãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåìè ïðèëîæåíèåê ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìå01.01.02 äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿÄèññåðòàöèÿíà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:êàíäèäàò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêäîöåíò Í. Í. Íåõîðîøåâ.Ìîñêâà 1998Ðàññìîòðèì ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó, â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå êîòîðîéèìååòñÿ çàìêíóòîå ïîäìíîãîîáðàçèå Λ, ñïëîøü çàïîëíåííîå çàìêíóòûìèòðàåêòîðèÿìè. Èçó÷àåòñÿ âîïðîñ: ñêîëüêî è êàêèå èç ýòèõ òðàåêòîðèéñîõðàíÿòñÿ, ëèøü ñëåãêà ïðîäåôîðìèðîâàâøèñü, ïðè ìàëîì âîçìóùåíèèñèñòåìû, è áóäóò ëè ñîõðàíèâøèåñÿ ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ óñòîé÷èâûìè? Îäíèì èç îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíàÿ îöåíêà÷èñëà ñîõðàíèâøèõñÿ çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé â òåðìèíàõ òîïîëîãèè ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ.
À èìåííî, äîêàçàíî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè åñòåñòâåííîãîóñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòè Λ ÷èñëî òàêèõ òðàåêòîðèé íå ìåíüøå ìèíèìàëüíîãî ÷èñëà êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ãëàäêîé ôóíêöèè íà ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèèB = Λ/S 1 .Àíàëîãè÷íûå îöåíêè ïîëó÷åíû â íåêîòîðûõ áîëåå îáùèõ ñèòóàöèÿõ. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå, êîãäà èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü ÿâëÿåòñÿ îñîáîéè å¼ ïîäìíîæåñòâî, çàïîëíåííîå ïåðèîäè÷åñêèìè òðàåêòîðèÿìè, ñîäåðæèòïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû, à òàêæå â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíûõ, âîîáùåãîâîðÿ íå ãàìèëüòîíîâûõ, äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. êà÷åñòâå ïðèëîæåíèÿ èññëåäóåòñÿ ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâàÿ ñèñòåìà, ÿâëÿþùàÿñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïëîñêîé çàäà÷è N +1 òåë.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òîìàññà îäíîãî òåëà Ñîëíöà ìíîãî áîëüøå ìàññ îñòàëüíûõ òåë ïëàíåòè ñïóòíèêîâ, à ìàññà êàæäîé ïëàíåòû ìíîãî áîëüøå ñóììû ìàññ å¼ ñïóòíèêîâ. Êðîìå òîãî, ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êàæäîé ïëàíåòîé è å¼ ñïóòíèêàìè ìíîãî ìåíüøå ðàññòîÿíèÿ îò Ñîëíöà äî ýòîé ïëàíåòû. Äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðèåñòåñòâåííîì ñîîòíîøåíèè ìåæäó ìàëûìè ïàðàìåòðàìè çàäà÷è ñóùåñòâóåòáîëüøîå ÷èñëî ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû âîâðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå êîîðäèíàò.2Ñîäåðæàíèå1 Ñîõðàíåíèå çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåìïðè âîçìóùåíèÿõ121.11.21.31.41.51.61.7Îöåíêà ÷èñëà çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé .
. . . . . . . .Ìåòîä óñðåäíåíèÿ íà ïîäìíîãîîáðàçèè . . . . . . . .Óñòîé÷èâîñòü çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé . . . . . . . . .Íåïîäâèæíûå òî÷êè ñèìïëåêòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèéÄîêàçàòåëüñòâà òåîðåì î íåïîäâèæíûõ òî÷êàõ . . .Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì î çàìêíóòûõ òðàåêòîðèÿõ . .Íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè . . . . . . . . . . . . . . ....................................2 Íåêîòîðûå îáîáùåíèÿ è äîïîëíåíèÿ2.12.22.312192227546791101Ðîëü ïîñòîÿíñòâà çíà÷åíèé ýíåðãèè, ôóíêöèè ïåðèîäà è ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Íåãàìèëüòîíîâ ñëó÷àé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323 Îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû1363.13.23.33.43.5Ôîðìóëèðîâêè òåîðåì . . . . . . . .
. . . . . .Âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ . . . . . . . . . .Ïëàí äîêàçàòåëüñòâà . . . . . . . . . . . . . . .Äîêàçàòåëüñòâî âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèéÎáîáùåíèÿ. Äâîéíûå ïëàíåòû . . . . . . . . . .3........................................136145160178194ÂâåäåíèåÄàííàÿ äèññåðòàöèîííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ïåðèîäè÷åñêèõòðàåêòîðèé àâòîíîìíûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì è ñâÿçàííûì ñ ýòèì âîïðîñàì.Ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé íàçûâàåòñÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè, îòâå÷àþùàÿ âåêòîðíîìó ïîëþ, çàäàííîìó íåêîòîðîé ãëàäêîé ôóíêöèåé H , êîòîðóþ íàçûâàþò ãàìèëüòîíèàíîì ñèñòåìû. íåêîòîðîé ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (p, q) = (p1 , . .
. , pn , q1 , . . . , qn )ýòà äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà çàäà¼òñÿ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ò.å. ñèñòåìîé âèäàṗ = −∂H(p, q),∂qq̇ =∂H(p, q).∂q(1)Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿ H íå çàâèñèò îò âðåìåíè t, ò.å. ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ àâòîíîìíîé.Íàïîìíèì, ÷òî ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå ýòî ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå M , ñíàáæåííîå çàìêíóòîé íåâûðîæäåííîé äèôôåðåíöèàëüíîé 2ôîðìîé ω 2 , íàçûâàåìîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé. Êàíîíè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè íà M íàçûâàþòñÿ ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû (p, q), â êîòîðûõ ñèìPïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà èìååò âèä ω 2 = dp ∧ dq = ni=1 dpi ∧ dqi . Èçâåñòíî, ÷òî êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû ñóùåñòâóþò â îêðåñòíîñòè ëþáîé òî÷êèñèìïëåêòè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ M ; óðàâíåíèÿ (1) îïðåäåëÿþò îäíó è òóæå ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó íåçàâèñèìî îò âûáîðà êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò.Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ ñèòóàöèÿ.
Èìååòñÿ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà,íàçûâàåìàÿ äàëåå íåâîçìóù¼ííîé, ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî êîòîðîé ñîäåðæèò ãëàäêîå ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ⊂ H −1 (h), ñïëîøü çàïîëíåííîå çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè ñèñòåìû. Ïðè ìàëîì âîçìóùåíèè ãàìèëüòîíèàíà H ,à òåì ñàìûì è ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû, ïîäìíîãîîáðàçèå çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé ðàñïàäàåòñÿ, íî íåêîòîðûå èç çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âûæèâàþò.Öåëüþ äèññåðòàöèè ÿâëÿåòñÿ âûÿñíåíèå êàêèå, ñêîëüêî, ãäå ïîÿâëÿþòñÿýòè âûæèâøèå òðàåêòîðèè, êàêèå èç íèõ áûâàþò óñòîé÷èâû? Áîëåå òî÷íî,íóæíî îöåíèòü ÷èñëî ýòèõ òðàåêòîðèé, âûÿñíèòü èõ ðàñïîëîæåíèå, íàéòèóñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ýòèõ òðàåêòîðèé è âûÿñíèòü äðóãèå âîïðîñû, êîòîðûå îáû÷íî ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ äëÿ ïðèëîæåíèé.Îïèñàííàÿ ñèòóàöèÿ ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ â ïðèëîæåíèÿõ, â ÷àñòíîñòè, âçàäà÷àõ î ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ, çàäà÷àõ î äâèæåíèè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, à òàêæå â çàäà÷å î ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìå, êîòîðàÿ èññëåäîâàíà â äàííîé äèññåðòàöèè.
 äàííîé ðàáîòå äîêàçàíà ýôôåêòèâíàÿ îöåíêàäëÿ ÷èñëà ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû âî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå êîîðäèíàò, ïðèâåäåíû óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè â ëèíåéíîì4ïðèáëèæåíèè äëÿ îäíîãî èç ýòèõ äâèæåíèé è îïèñàíû ïîðîæäàþùèå äâèæåíèÿ. Îáû÷íî âîïðîñû òàêîãî ñîðòà ðåøàþòñÿ äëÿ êàæäîé êîíêðåòíîéçàäà÷è îòäåëüíî.  äèññåðòàöèè äåëàåòñÿ ïîïûòêà ïîëó÷èòü îáùèå ïîäõîäû ê å¼ èññëåäîâàíèþ, ïåðå÷èñëèòü îáùèå ìåòîäû, êîòîðûå ãîäÿòñÿ â ýòîéñèòóàöèè.Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç òð¼õ ãëàâ.Ïåðâàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà òðåì âîïðîñàì: ñóùåñòâîâàíèþ, ëîêàëèçàöèèâ ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå è óñòîé÷èâîñòè çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííûõ ñèñòåì. Ïðåæäå âñåãî ôîðìóëèðóåòñÿ åñòåñòâåííîå óñëîâèå íåâûðîæäåííîñòè ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ, ëåæàùåãî íà íåîñîáîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè H −1 (h) è çàïîëíåííîãî çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû.
Äàëåå äà¼òñÿ ýôôåêòèâíàÿ îöåíêà äëÿ ÷èñëà çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû ÷åðåç òîïîëîãèþ ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèÿ B =Λ/S 1 ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ ïî çàìêíóòûì òðàåêòîðèÿì íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû.Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì 1.1 ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 1. Ïóñòü íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè (M 2n , ω 2 ) çàäà-íà ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà ñ ãàìèëüòîíèàíîì H . Ïóñòü Λ ⊂ H −1 (h) êîìïàêòíîå íåâûðîæäåííîå ïîäìíîãîîáðàçèå (áåç êðàÿ), ñïëîøü çàïîëíåííîå çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè ýòîé ñèñòåìû, è ïóñòü íà Λ èìååòñÿãëàäêàÿ ôóíêöèÿ T ïåðèîäà ýòèõ òðàåêòîðèé.
Òîãäà äëÿ ëþáîé ôóíêöèèH̃ , C 2 áëèçêîé ê ôóíêöèè H , ñèñòåìà ñ ãàìèëüòîíèàíîì H̃ èìååò ïîìåíüøåé ìåðå îäíó çàìêíóòóþ òðàåêòîðèþ íà ïîâåðõíîñòè H̃ −1 (h). Áîëåå òîãî, ÷èñëî òàêèõ òðàåêòîðèé íå ìåíüøå, ÷åì ìèíèìàëüíîå ÷èñëîêðèòè÷åñêèõ òî÷åê ãëàäêîé ôóíêöèè íà ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèè B = Λ/S 1 .Ñ ó÷¼òîì êðàòíîñòåé ÷èñëî òàêèõ òðàåêòîðèé íå ìåíüøå ìèíèìàëüíîãî÷èñëà êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ìîðñîâñêîé ôóíêöèè íà B .Òåîðåìà 1 îáîáùàåò ðåçóëüòàòû ðàáîò Ì. Áîòòêîëà [14] è Ï. Ë. Ãèíçáóðãà [4].  ðàáîòå Áîòòêîëà [14] íà Λ íàêëàäûâàåòñÿ áîëåå ñèëüíîå óñëîâèåíåâûðîæäåííîñòè, à òàêæå ïðåäïîëàãàþòñÿ îãðàíè÷åíèÿ íà ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó (åå òî÷íîñòü) ëèáî íà òîïîëîãèþ ìíîãîîáðàçèÿ B (òðèâèàëüíîñòü ãðóïïû åãî îäíîìåðíûõ ãîìîëîãèé).
Îäíàêî ïîäõîä Áîòòêîëàî÷åíü áëèçîê ê ïîäõîäó, ïðåäëàãàåìîìó â äàííîé äèññåðòàöèè.  ðàáîòåÃèíçáóðãà [4] ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà âñå òðàåêòîðèè íåâîçìóù¼ííîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû íà èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè çàìêíóòû, èäîêàçûâàåòñÿ áîëåå ñëàáàÿ îöåíêà äëÿ ÷èñëà çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû. À èìåííî, îöåíêà Ãèíçáóðãà ôîðìóëèðóåòñÿ â òåðìèíàõêðèòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé ãëàäêèõ ôóíêöèé ñïåöèàëüíîãî âèäà íà âñ¼ìΛ, êîòîðûå âêëþ÷àþò â ñåáÿ ôóíêöèè, ÿâëÿþùèåñÿ ïîäúåìîì ãëàäêèõôóíêöèé íà B . Êðîìå òîãî, Ãèíçáóðã ðàññìàòðèâàë ëèøü ñëó÷àé, êîãäà5ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ëîêàëüíî-òðèâèàëüíî ðàññëîåíî íà çàìêíóòûå òðàåêòîðèè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, à ðåçóëüòàòû äàííîé äèññåðòàöèè ïðèìåíèìûòàêæå â ñëó÷àå ðàññëîåíèé áîëåå îáùåãî âèäà, à èìåííî, äëÿ ìíîãîìåðíûõðàññëîåíèé Çåéôåðòà.
Òàêèå ðàññëîåíèÿ âîçíèêàþò, íàïðèìåð, ïðè èçó÷åíèè çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âáëèçè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íåâîçìóù¼ííîéçàäà÷è (ñì. ðàáîòû À. Âåéíñòåéíà [34, 35, 36] è Þ. Ìîçåðà [25]). äåéñòâèòåëüíîñòè, òåîðåìà 1 áûëà ïîëó÷åíà â ðàáîòå [37] Âåéíñòåéíà.Îäíàêî ïðåäëàãàåìîå â äèññåðòàöèè äîêàçàòåëüñòâî áîëåå ïðîñòîå, ãåîìåòðè÷åñêîå è êîíñòðóêòèâíîå. Ðàçâèâàÿ èäåè À. Ïóàíêàðå [28], ìû îïèðàåìñÿíà êëàññè÷åñêóþ òåîðåìó î íåÿâíîé ôóíêöèè.  ÷àñòíîñòè, ìû íå ðàññìàòðèâàåì áåñêîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà ïåòåëü, èñïîëüçîâàâøèåñÿ â ðàáîòå[37].Òåîðåìó 1 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è êàê ÷àñòè÷íî ïîäòâåðæäàþùóþ èçâåñòíóþ ãèïîòåçó Â. È.
Àðíîëüäà î òîì, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêàÿ òåîðåìà Ïóàíêàðå [28, 1, 7] äîïóñêàåò îáîáùåíèå íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíûõ ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé è ïðîèçâîëüíûõ (íå îáÿçàòåëüíî ìàëûõ) âîçìóùåíèé.  ãåîìåòðè÷åñêîé òåîðåìå Ïóàíêàðå èçó÷àåòñÿ ñîõðàíÿþùåå ïëîùàäèîòîáðàæåíèå ïëîñêîãî êðóãîâîãî êîëüöà íà ñåáÿ, ãîìîòîïíîå òîæäåñòâåííîìó è ïîâîðà÷èâàþùåå ãðàíè÷íûå îêðóæíîñòè êîëüöà â ðàçíûå ñòîðîíû. Òåîðåìà Ïóàíêàðå óòâåðæäàåò, ÷òî ëþáîå òàêîå îòîáðàæåíèå èìååòïî ìåíüøåé ìåðå äâå íåïîäâèæíûå òî÷êè. Ýòà òåîðåìà áûëà äîêàçàíà Ïóàíêàðå êàê ðàç â ñèòóàöèè, ðàññìàòðèâàåìîé â äàííîé äèññåðòàöèè: êîãäàîòîáðàæåíèå ïîëó÷åíî ìàëûì âîçìóùåíèåì îòîáðàæåíèÿ, èìåþùåãî öåëóþîêðóæíîñòü íåïîäâèæíûõ òî÷åê. Äîêàçàòåëüñòâî áàçèðîâàëîñü íà èäåå îñîâïàäåíèè íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ ñ êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè åãîïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè, êîòîðàÿ ëåæèò è â îñíîâå èññëåäîâàíèé, ïðîâåä¼ííûõ â äàííîé äèññåðòàöèè.
(Ëèøü çàòåì ãåîìåòðè÷åñêàÿ òåîðåìà Ïóàíêàðåâ ïîëíîé ôîðìóëèðîâêå, ò.å. áåç òðåáîâàíèÿ áëèçîñòè ê èíòåãðèðóåìîìóîòîáðàæåíèþ, áûëà äîêàçàíà Áèðêãîôîì, îäíàêî ýòî äîêàçàòåëüñòâî áûëîíåïðîñòûì è èñïîëüçîâàëî ñîâñåì äðóãèå èäåè.)Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïîëó÷åííûé â äèññåðòàöèè ðåçóëüòàò íå ïðåòåíäóåò íà ïîëíîå îáîáùåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé òåîðåìû Ïóàíêàðå íà ñëó÷àéïðîèçâîëüíûõ âîçìóùåíèé.
Îáîáùåíèå ýòîé òåîðåìû äîêàçàíî çäåñü ëèøüäëÿ ìàëûõ âîçìóùåíèé. Âîçìîæíî, íàø ðåçóëüòàò äîïóñêàåò óñèëåíèå, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ òåõíèêîé ðàáîò [3, 4, 1517, 23, 24, 27, 3133, 37, 38].Ðåçóëüòàòîì 1.2 ÿâëÿåòñÿ ìåòîä óñðåäíåíèÿ íà ïîäìíîãîîáðàçèè. Èçó÷àåòñÿ âîïðîñ î òîì, ãäå èìåííî â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ðàñïîëîæåíû ôàçîâûå òðàåêòîðèè âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû. Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ çàâèñèò îòêîíêðåòíîãî âîçìóùåíèÿ, è â ñëó÷àå âîçìóùåíèÿ îáùåãî ïîëîæåíèÿ îòâåòäà¼òñÿ â òåðìèíàõ óñðåäíåíèÿ ýòîãî âîçìóùåíèÿ ïî çàìêíóòûì òðàåêòîðè6ÿì èñõîäíîé ñèñòåìû.
 ÷àñòíîñòè, äîêàçàíà ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 2 (ìåòîä óñðåäíåíèÿ íà ïîäìíîãîîáðàçèè). Ïóñòü, â óñëîâèÿõòåîðåìû 1, ïîäìíîãîîáðàçèå Λ íåâûðîæäåíî, íî íå îáÿçàòåëüíî êîìïàêòíî. Ïóñòü âîçìóù¼ííûé ãàìèëüòîíèàí ãëàäêî çàâèñèò îò ìàëîãî ïàðàìåòðà ε, ò.å. èìååò âèä H̃ = H + εH1 + o(ε). Ðàññìîòðèì íà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ ãëàäêóþ ôóíêöèþH̄(m) =Z T (m)0H(γ(m, t)) dt,m ∈ Λ, óñðåäíåíèå âîçìóùåíèÿ H = H1 |Λ ïî çàìêíóòûì òðàåêòîðèÿì γ =γ(m, t) ⊂ Λ íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, 0 ≤ t ≤ T (m). Ïóñòü òðàåêòîðèÿγ0 ⊂ Λ ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêèì êðèòè÷åñêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì ôóíêöèèH̄.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
