Дифракция на неоднородностях в волноводе (1102642), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Второй параграф посвящен методусмешанных конечных элементов и его применению к задачамэлектродинамики. При применении проекционно-сеточных методов крешению задач дифракции волн в волноводе в векторных постановкахосновной проблемой является борьба с фиктивными решениями(«духами»), которые не имеют физического смысла и не соответствуютреально распространяющимся модам. Метод смешанных конечныхэлементов является способом предотвращения появления «духов».
Втретьем параграфе формулируются скалярная и векторные вариационноразностные постановки. Отмечается, что математические модели на основескалярной вариационно-разностной формулировки, обладая рядомнесомненных преимуществ (простота реализации, экономичность,отсутствие фиктивных решений и т.д.), не могут быть использованы длярешения определенных классов практически важных задач. В этом случаеприходится переходить к различным векторным вариационно-разностнымформулировкам. В четвертом параграфе рассмотрен случай появлениянефизических решений («духов») при К2- постановке.
Ряд методов,существующих в настоящее время для борьбы с нефизическимирешениями, можно разделить на два больших класса: апостериорные иаприорные. Апостериорные методы представляют собой различныеспособы выделения и отсеивания фиктивных решений. Они весьматрудоемки и зачастую малоэффективны. Обычно используется методпроверки выполнения дивергентного уравнения. Априорные методыпредполагают использование таких формулировок исходной задачи, прикоторых исключалось бы появление фиктивных решений или по крайнеймере определенных видов фиктивных решений. Пятый параграфпосвящен лагранжевым конечным элементам, которые применяются вскалярной постановке задач дифракции, и смешанным конечнымэлементам, применяемым при векторных постановках.Вторая глава диссертации посвящена решению скалярной задачидифракции электромагнитных волн на неоднородности в волноводе.
Впервом параграфе формулируется математическая постановка задачи.Задача дифракции волн на неоднородности в волноводе в скалярномслучае сводится к краевой задаче для уравнения Гельмгольца:∆u + k 2 q u = 0(1)Ω = {z ∈ (− ∞, ∞ ); x ∈ (0,1)} с однороднымиIго рода на боковой поверхности волновода:u x =0 = 0в областиусловиямиграничными(2)u x=1 = 0гдеu ∈W21 (Ω)(3)– поле в волноводе, q ( z ) – неоднородность, имеющая вид:⎧ 1, z < z1 , z > z 2q (z ) = ⎨⎩q ≥ 1, z1 < z < z 2(4)k = ω / c – волновое число.Считаем, что q ( z ) - кусочно-гладкая функция. На поверхностях разрыва⎡ ∂u ⎤⎢⎣ ∂n ⎥⎦ = 0 , где n - нормаль кSповерхности разрыва.
На сечениях волновода плоскостями z = z1 иz = z 2 поставим парциальные условия излучения, которые позволяютрассматривать внутреннюю краевую задачу с нелокальными краевымиусловиями. Приводится полный вывод постановки парциальных условийизлучения,которыеврезультатезаписываютсяввиде:∂u= − ∑ i γ n (u , ψ n ) S1 ψ n + ∑ 2 i γ n (ξ , ψ n ) S1 ψ n ,(5)∂ z z=znnq ставим условия сопряжения:[u ] S = 0 ,1∂u∂zz = z2= ∑ iγ n (u ,ψ n )S ψ n ,2n(6)γ n = k 2 − λn ,где λn , ψ n – собственные значения и собственные функциииндуцированной задачи в сечении, а ξ – поле возбуждения.Также приводится вывод вариационной постановки, которыйокончательно для уравнения Гельмгольца записывается следующимобразом:2 ∞∞− (∇u , ∇v )D + ∑ ∑ iγ n (u ,ψ n )S (v,ψ n )S − k (q u , v) D = 2 ∑ iγ n (ξ ,ψ n )S (v,ψ n )S .l =1 n =12lln =11(7)Второй параграф посвящен построению алгоритма решенияскалярной задачи дифракции, основанный на применении лагранжевыхконечных элементов.
В качестве базисных функций метода выбираются1билинейныеибиквадратныенаэлементахфункциивида:N ij ( x, z ) = X i ( x) Z j ( z ) , x ∈ (0,1) , z ∈ ( z1 , z2 ) . Причем, для билинейныхфункций⎧ x − xi −1x ∈ ( xi −1 , xi ),⎪x − x ,ii −1⎪⎪x −xX i ( x) = ⎨ i +1,x ∈ ( xi , xi +1 ),−xx⎪ i +1 i⎪0,x ∉ ( xi −1 , xi +1 ),i = 1, K N x − 1,⎪⎩⎧ z − z j −1z ∈ ( z j −1 , z j ),⎪z − z ,j −1⎪ j⎪⎪ z j +1 − z,z ∈ ( z j , z j +1 ),Z j ( z) = ⎨−zzj+1j⎪⎪0,z ∉ ( z j −1 , z j +1 ),j = 1, K N z,⎪⎪⎩а для биквадратных:⎧ ( x − xi +1 )( x − xi +1 / 2 ),⎪ ( x − x )( x − x)i +1ii +1 / 2⎪ i⎪ ( x − xi −1 )( x − xi −1 / 2 )X i ( x) = ⎨,−−(xx)(xx)iiii−1−1/2⎪⎪0,⎪⎩⎧ ( z − z j +1 )( z − z j +1 / 2 ),⎪ ( z − z )( z − z)j +1jj +1 / 2⎪ j⎪⎪ ( z − z j −1 )( z − z j −1 / 2 )Z j ( z) = ⎨,(zz)(zz)−−j −1jj −1 / 2⎪ j⎪0,⎪⎪⎩x ∈ ( xi , xi +1 ),x ∈ ( xi −1 , xi ),x ∉ ( xi −1 , xi +1 ),i = 1, K N x − 1 ,z ∈ ( z j , z j +1 ),z ∈ ( z j −1 , z j ),z ∉ ( z j −1 , z j +1 ),j = 1, K N z .Функцию u в вариационной постановке приближаем функцией u~ ,являющейся линейной комбинацией базисных функций()u~ =Nf∑ N k ukk =0,uk = u xi , z j .
Подстановкой ее в вариационную постановку задачиполучаем линейное матричное уравнение Akl u k = Bl , где Akl – элементыматрицы A .В третьем параграфе представлены результатыприменения данного алгоритма к решению скалярной задачи дифракции. Вкачестве падающей волны берется первая собственная волна, т.е.ϕ1 = 2 sin π xeiγ 1 z , которая распространяется вдоль оси z вположительном направлении. По оси перпендикулярной плоскости ( z, x )отложена действительная часть функции u . А в качестве пробной задачидля проверки правильности работы алгоритма был исследован полыйволновод – без неоднородности. Результаты решения задачи приведеныдля ряда неоднородностей, в частности на рис.
1 представленораспределение поля в волноводе с простой вставкой, когда неоднородностьимеет вид «пробки», т.е. при x ∈ (0 ,1) , z ∈ ( z1, z2 ) , q = 2 . В отсутствиепоглощения амплитуда практически не изменяется.a)б)Рис. 1. Распределение поля в волноводе с простой вставкой: вставка в виде «пробки» сq = 2 : а) конечные элементы первого порядка, б) конечные элементы второго порядка.Четко видно влияние поглощения на изменение амплитудыраспространяющейся по волноводу волны на рис. 2 (в данном случаеq = 2 + i ):a)б)Рис.
2. Распределение поля в волноводе со вставкой в виде «пробки» с q = 2 + i :а) конечные элементы первого порядка, б) конечные элементы второго порядка.Введениесильногопоглощения:Im q / Re q = 1 / 2приводиткзначительному ослаблению интенсивности поля (здесь Im q – мнимаячасть диэлектрической проницаемость, а Re q – ее вещественная часть).a)б)Рис. 3. Распределение поля в волноводе со вставкой в верхней половине:а) конечныепервогопорядка,б) конечные элементыпорядка.На рис. элементы3 показанакартинараспределенияполя в второговолноводев случаерасположения неоднородности в верхней половине волновода –x ∈ (1 / 2 ,1) , z ∈ ( z1 , z 2 ) , q = 2 + i .
При наличии такой несимметричнорасположенной вставки появляется эффект втягивания поля в область сбольшей оптической плотностью. Поглощение в данном случае являетсяпричиной относительного выравнивания амплитуды поля в областинеоднородности.a)б)Рис. 4. Распределение поля в волноводе со вставкой в центральной части:а) конечные элементы первого порядка, б) конечные элементы второго порядка.На рис. 4 показана картина распределения поля в волноводе в случаерасположения неоднородности по середине волновода, q = 2 + i . Четковидно, что при прохождении волны по волноводу поле концентрируется вцентральной области.На рис. 5 поле распределяется по волноводу, в котором две вставки, перваяиз которых с q1 = 2 + i расположена в нижней половине волновода, а втораяс q2 = 4 + i – в верхней половине.
Интенсивность поля тем больше, чембольше значение действительной части q . Для каждого извышеперечисленных случаев рассчитаны и представлены графическизависимости коэффициентов прохождения (T ) и отражения ( R ) отчастоты. В четвертом параграфе проведен анализ точности результатоврасчетов путем сравнения их с точными значениями, полученными изаналитических формул. Коэффициенты отражения и прохождения –основные характеристики, по которым проводилось сравнение. Такжепроверялось выполнение энергетического соотношения при вещественных22значениях q : R + T = 1 . Отмечается достаточно малая погрешностьполученных результатов порядка 1-3%.Было проведено сравнение с результатами, полученными с помощьюметода интегральных уравнений, и с точным решением, из которого можносделать вывод, что результаты, полученные с применением методаконечных элементов, сравнимы по точности с результатами, полученнымис применением метода интегральных уравнений, а в ряде случаев являютсяболее точными.Третья глава диссертации посвящена решению задачи дифракцииэлектромагнитных волн на неоднородности в волноводе в полнойвекторнойпостановке.Впервомпараграфеформулируетсяматематическая постановка задачи.
В связи с решением задачи дифракциина неоднородности в волноводе рассматривается задача для уравнения:rot ε −1 rot H − k 2 H = 0(8)div H = 0в области Ω = {z ∈ (− ∞, ∞ ); x ∈ [0,1]} с однородными граничными условиямина боковой поверхности волновода, т.е. при х=0 и х=1:[rot H × n] = 0(9)H – поле с компонентами: H = {H z , H x }, ε ( z ) – диэлектрическаяпроницаемость:z < z , z > z2⎧ 1,1ε (z ) = ⎨⎩ε ≥ 1, z1 < z < z 2(10)k – волновое число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
