Бивариантные когомологии с симметриями (1102402), страница 9
Текст из файла (страница 9)
лемму 3.2) на каждой Rn+ -строке BD+ и равной h− на каждойRn+ -строке BD+ . Получаем специальную деформационную ретракциюp±←−−−(BD+(BC +∗,∗ (A), b, B)−−−∗,∗,∗ (A), b, B, ω ; h).i→Действительно, p ◦ i = idBC + ; “граничные условия” (см. приложение A) следуют из соответствующих условий ретракций (24). Остается проверить соотношение(25)(b + B + ω ± )h + h(b + B + ω ± ) = idBD+ − i ◦ p.Известно, что b + B коммутирует с дифференциалом BD+∗,∗,∗ (A), который мы±обозначали ω (см.
1.3). Следовательно, b + B коммутирует и с h, посколькуh состоит из тех же (сточностью до множителя 1/4) отображений что и ω ± .Таким образом, (25) записывается какω ± h + hω ± = idBD+ − i ◦ p,что является прямым следствием аналогичных соотношений для ретракций(24). Аналогично доказываетсяТеорема 3.3 Пусть элемент 2 обратим в k, тогда комплекс CR+ (A) стягивается к комплексу CH+ (A), а комплекс CR− (A) к CH− (A).3.1.3Следующая теорема является модификацией теоремы 2.5 [35].Теорема 3.4 Пусть элемент 2 обратим в k, тогда кватернионный комплекс BQ∗,∗ (A) стягивается к комплексу BC +∗,∗ (A).Доказательство. Комплекс BQ∗,∗ (A) перепишем с помощью разложения (23)(см. п.
1.5) в виде бикомплекса с периодомBHH HCH− [1]−1−yCH+ [2]∗∗2B(1+y) . . .⊕⊕ CH− [2]⊕∗Степень оператора B равна −2, а степень ±1 − y равна −1, и, следовательно, приведенная диаграмма корректна.+Ограничение 1 − y на CH−∗ (A) и ограничение 1 + y на CH∗ (A) состоят вумножении на 2. Значит подкомплексыCH+∗ 1−yCH+ [1]∗CH−∗1−y−CH−∗ (A)←−−−CH∗ (A)и фактор-комплексы−1−y+CH+∗ (A)←−−−CH∗ (A)BQ∗,∗ (A) стягиваемы. Применяя предложение A.4, получаем, что комплексBQ(A) стягивается к комплексу2B(1+y)BCH+−−CH− [2]∗ (A)←−−−−CH+ [4]∗ (A)←B−− · · · .∗ (A)←50(26)Поскольку ограничение оператора 2B(1 + y) на CH+∗ (A) равно 4B, комплекс(26) изоморфен BC + (A). Рассмотрим на комплексе BC + периодичность TBC степени −4, котораявычеркивает два первых столбца бикомплекса. Отображения, задающие ретракцию, построенную в теореме 3.4 действуют “локально”, то есть будучиограничены на период комплекса BQ или BC + не выводят за пределы периода.
Следовательно, рассматриваемая ретракция является T -совместимой имы приходим к следующему утверждению.Следствие 3.5 Пусть элемент 2 обратим в k, тогда имеет место следующий изоморфизмHQ∗ (A, B) ∼= HT∗ (BC + (A), BC + (B)).3.1.4 Вто же время, для диэдрального случая, гомотопия h, будучи перестановочна с периодичностью SBD , не коммутирует с оператором ΩBD (например, на первом BC-слое hΩBD = 0 6= ΩBD h). Тем не менее верно следующееутверждениеТеорема 3.6 Пусть 1/2 ∈ k, тогдаHD∗+ (A, B) ∼= HC ∗+ (A, B) ⊕ HC ∗− (A, B) ∼= HD∗− (A, B).Доказательство. Рассуждения будем проводить для HD∗+ (A, B), для отрицательных гомологий рассмотрения полностью аналогичны.Как уже отмечалось выше, обратимость 2 приводит к расщеплению ком−плекса BC ∗,∗ (A) на BC +∗,∗ (A) ⊕ BC ∗,∗ (A), то есть каждый BC-слой комплексов+−BD∗,∗,∗ (A) и BD∗,∗,∗ (A) будет состоять из двух слагаемых.
Комплекс BD+∗,∗,∗ (A)приобретает при этом следующий вид, где вертикальные линии обозначаютпрямые BC + - и BC − -слагаемые BC-слоев.+−−−++±2BD+1±22−+++−−±23±2 ...4.3Нас будут интересовать S-перестановочные(и, следовательно S -перестановочные, S 2 : BD+ → BD+ ) отображения, которые, таким образом, будут инвариантны относительно сдвигов на два слоя.Это означает что компоненты отображений отличающиеся лишь сдвигом надва слоя будут совпадать.
Компоненты таких отображений однозначно задаются типом прямых слагаемых слоев (обозначаемых на Рис.3 +, −, ++ или−−) из которых исходит отображение и в которых лежит его образ и такжетем, на сколько изменяет отображение номер столбца.Каждому отображению2(f + , f − ) ∈ Hom+S (BC ∗,∗ (A), BC ∗,∗ (B)),51+−−где f + ∈ Hom(BC +∈ Hom(BC −∗,∗ (A), BC ∗,∗ (B)) и f∗,∗ (A), BC ∗,∗ (B)), причемSf + = f − S, поставим в соответствие отображениеJ : (f + , f − ) → (F + , F − ) ∈ Hom+S,Ω (BD ∗,∗,∗ (A), BD ∗,∗,∗ (B)),+−−где F + ∈ Hom(BD+∈ Hom(BD−∗,∗ (A), BD ∗,∗ (B)) и F∗,∗ (A), BD ∗,∗ (B)), котороепереводит n-ый BC-слой в n-ый BC-слой, и ограничение которого на BC + слагаемое совпадает с f + , а ограничение на BC − -слагаемое с f − . Ясно, что(F + , F − ) действительно будет перестановочно с периодичностями S и Ω.
Если (f + , f − ) было циклом в Hom+S (BC ∗ (A), BC ∗ (A)), то циклом будет также(F + , F − ):dBD (F + , F − )= (dBC (F + ) + ω ± (F + ), dBC (F − ) + ω ∓ (F − )) = (ω ± (F + ), ω ∓ (F − )) = 0,поскольку±∓|f | ∓ ±ω ± (F + ) = ωn−|f| f − (−1) f ωn ,а по построению, ωn± = (−1)n (1 ± y).Таким образом, корректно определено отображениеJ ∗ : HC ∗+ (A, B) → HD∗+ (A, B).Докажем его инъективность. Для упрощения обозначений, будем записыватьтолько положительные компоненты: f + и F + ; для отрицательных компонентпредполагаются параллельные рассуждения.Пусть F = J(f ) является границей, то есть существуетH ∈ Hom+S,Ω (BD ∗ (A), BD ∗ (B)),такое что F = dBD (H).
Поскольку H перестановочно с Ω то H не можетповышать номер BC-слоев. (Действительно, если H отображает, скажем, nый BC-слой в (n + k)-ый, то HΩn+1 = 0, в то время как Ωn+1 H 6= 0.) ЗначитF = dBD (H) = dBC (H) + ω(H) = dBC (H),поскольку ω(H) уменьшает номер слоя, а F сохраняет. Пусть h+ – ограничение H на положительную часть первого слоя: f + = dBC h+ + h+ dBC . УчитываяΩ-перестановочность F и H, получаем аналогичную формулу для f − и h− ,где h− — ограничение H на отрицательную часть второго слоя. Действитель−но, применяя к комплексу BD+∗,∗,∗ оператор Ω, получим комплекс BD ∗,∗,∗ длякоторого верны все проведенные выше рассуждения с заменой + на − и −на +.
Перестановочность с Ω позволяет перенести эти выкладки обратно в+−BD+∗,∗,∗ во второй BC-слой. Таким образом, F = dBD J(h , h ). Инъективностьдоказана.Докажем простое техническое утверждение, которым мы будем пользоваться в дальнейшем.52Предложение 3.7 Если dBC (g) = 0, то dBC (gω −1 ) = dBC (ω −1 g) = 0. Здесь−1g ∈ Hom+– отображение обратное к ω ± опредеS,Ω (BD ∗ (A), BD ∗ (B)), а ωленное на тех компонентах BC-слоев на которых оно имеет смысл.Доказательство.
Заметим, что dBC (g) = dBC g−(−1)|g| gdBC . СледовательноdBC (gω −1 ) = dBC gω −1 − (−1)|g|+1 gω −1 dBC = (dBC g − (−1)|g| gdBC )ω −1 = 0,dBC (ω −1 g) = dBC ω −1 g − (−1)|g|+1 ω −1 gdBC = −ω −1 (dBC g − (−1)|g| gdBC ) = 0.Мы воспользовались тем, что dBC ω −1 = −ω −1 dBC .Скажем, что f ∈ Hom+S,Ω (BD ∗ (A), BD ∗ (B)) имеет Ω-фильтрацию n, еслиn – максимальное уменьшение номера BC-слоя под действием f . Число nвсегда положительно, так как f коммутирует с Ω (подробные рассужденияприведены в доказательстве инъективности J).Будем придерживаться следующей схемы доказательства теоремы.1. Выделим в нулевой фильтрации Hom+S,Ω (BD ∗ (A), BD ∗ (B))0 существенную часть (коциклы нулевой фильтрации, не являющиеся кограницами) и исключим ее из дальнейшего рассмотрения.2.
Докажем, что остальные коциклы нулевой фильтрации являются кограницами с точностью до отображений старших фильтраций.3. Шаг индукции: докажем, что если отображения фильтрации меньшейn являются кограницами с точностью до отображений фильтрации n,то отображения фильтрации n являются кограницами с точностью доотображений старших фильтраций.1) Наряду с коциклами, образами при отображении+J : Hom+S (BC ∗ (A), BC ∗ (B)) → HomS,Ω (BD ∗ (A), BD ∗ (B)),в существенную часть нулевой фильтрации входят также отображения видаg − : − → ++g + : + → −−,(см.
Рис. 3) (компоненты ++ и – отображаются в ноль), задающие гомоморфизм+J 0 : Hom−S (BC ∗ (A), BC ∗ (B)) → HomS,Ω (BD ∗ (A), BD ∗ (B)).При этом коциклы переходят в коциклы. Действительно, если dBC g + = dBC g − =0, то dBD J(g + , g − ) = ω ± (J(g + , g − )) = 0, поскольку±0 + −±ω ◦ J (g , g ) = ω =0 и−−∪++J (g , g ) ◦ ω = J (g , g )0+−±053+−−−∪++= 0.Если J 0 (g + , g − ) оказалось кограницей, то есть J 0 (g + , g − ) = dBD (H), то обозначая через h+ и h− компоненты H отображающие + → −− и − → ++соответственно, получимJ 0 (g + , g − ) = dBD (J 0 (h+ , h− )),поскольку из структуры комплекса BD+ (см.
Рис. 3) следует, чтоdBD (H − J 0 (h+ , h− )) = 0.Таким образом, существенными компонентами оказались(+ → +, − → −) и (+ → −−, − → ++),являющиеся прямыми слагаемыми в модуле Hom+S,Ω (BD ∗ (A), BD ∗ (B)). Легко видеть, что они будут также подкомплексами. Учитывая, что остальныекомпоненты Hom+S,Ω (BD ∗ (A), BD ∗ (B)) не дают вклада в бивариантные когомологии (этому факту посвящена оставшаяся часть доказательства), получаем, что соответствующие когомологии: + HC ∗ (A, B) и − HC ∗ (A, B) войдутв + HD∗ (A, B) как прямые слагаемые.2) а) Рассмотрим отображениеg0 : −− → −− ∈ Hom+S,Ω (BD ∗ (A), BD ∗ (B))0равное нулю на остальных компонентах.
Для того чтобы g0 вошло в составBD-коцикла необходимо чтобы dBC g0 −(−1)|g| g0 dBC = 0, и чтобы существовалоf ∈ Hom+S,Ω (BD ∗ (A), BD ∗ (B)) фильтрации большей нуля, такое что dBD (f +g) = 0. Из структуры комплекса BD ясно, что f = f1 + f 0 , где f1 : − → −−отображение фильтрации 1 равное нулю на остальных компонентах (толькотакие отображения имеют кограницами отображения −− → −− фильтрации0), а f 0 — отображение фильтрации 2 или больше, которые на данном этапенас не интересуют.(Здесь и далее мы будем изображать отображения одного комплекса вдругой на одной схеме).−+++−−+−−@If1I@g0 @6@−1ωПоскольку никакая другая компонента коцикла f + g,кроме f1 + g не имеет кограницей отображения − → −− первой фильтрацииили −− → −− нулевой фильтрации.4(−1)|g| ω ± + dBC f1 − (−1)|f |f dBC = 0.Пусть f˜ = (−1)|f | f ω −1 , тогдаdBD f˜ = ω ± (f˜) + dBC (f˜) =˜ω ± f˜ − (−1)|f | f˜ω ± + (−1)|f | (dBC f ω −1 − (−1)|f |+1 f ω −1 dBC )54(27)Воспользовавшись тем, что dBC ω = −ωdBC и, следовательно dBC ω −1 = −ω −1 dBC ,˜равенствами |g| = |f | (следствие условия коцикла) и |f | = |f | + 1, и тем, чтоω ± f˜ = ω ± = 0, выражение (27) можно переписать в виде−−−(−1)|f |+1 dω −1 ω + (−1)|f | (dBC f − (−1)|f | f dBC )ω −1 = g + fи, таким образом, g+f является кограницей и отображение −− → −−нулевойфильтрации в когомологии не входит.б) Пусть g0 : −− → + или g0 : ++ → − (для определенности рассмотримпервый случай).
Необходимым условием вхождения g0 в коцикл являетсяналичие f : − → +, такого что gω ± + dBC f − (−1)|f | f (dBC = 0 (ибо толькотакие отображения имеют компонентами кограницы отображения − → +первой фильтрации) и равенство dBC (g0 ) = 0.−+++−−+−−I@@IL @f1g0L@@@−1Положим f˜ = (−1)|f | f ω −1 (как и выше |f | = |g|), тогдаdBD f˜ = g + f + (−1) ωf ω −1 .
Таким образом, из коцикла содержащего g0в качестве слагаемого всегда можно вычесть кограницу dBD f˜. При этом g0исчезнет, а измененя произойдут лишь в фильтрациях начиная с первой.3) Пусть отображения фильтрации меньше n, входящии в коциклы ужеликвидированы с помощью добавления соответствующих кограниц. Пусть gn— отображение из n-ой фильтрации из Hom+S,Ω (BD ∗ (A), BD ∗ (B)). Возможночетыре случая.а)ω.5|f |BHYHHHHgn H... ... ... HПусть gn идет из B в A, как показано на рисунке.Тогда dBC (gn ) = 0, ибо из B в A могут идти только дифференциалы отображений фильтраций n и n + 1, но последние отсутствуют по предположению.Пусть fn = ω −1 gn , тогда по предложению (3.7) dBC (fn ) = 0 и, следовательно, dBD (fn ) = ωω −1 gn = gn , то есть gn представляется в виде кограницы.HAC.6Z}ωZB...Z I}ZeeZ Z@@ZeZ@ gnZ Z@0geZe ZZ@ZeF Z f @ZA...ZZEб)Пусть gn выбрано как показано на рисунке 7..7Тогда dBC (gn ) = 0 и, если gn входит в состав коцикла, в коцикл входит такжеотображение f из E в C и (если n = 1) отображение gn0 из F в C, причем55dBC (gn0 ) = 0 и, в любом случае,ωgn − (−1)|g| g 0 ω + dBC (f ) = 0.(28)Положим h = (−1)|g| gn ω −1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
