Бивариантные когомологии с симметриями (1102402), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

В “короткой точной последовательности” (18), точностьверхней строки следует из 5-леммы. Точность и коммутативность остальныхэлементов диаграммы очевидна. Доказательство точности диаграммы (19)проводится так же как и для теоремы 2.4.Точные последовательности вида (19) получаются, в частности в диэдральных гомологиях для наборов периодичностей {S, S}, {Ω, Ω} и {Ω, S}.2.3Бивариантные когомологииРассмотрим теперь следующую общую ситуацию. Пусть на комплексе (L∗ , dL )задан набор периодичностейP L = {P1L , P2L , .

. . , PnL },а на комплексе (M∗ , dM ) набор периодичностейP M = {P1M , P2M , . . . , PnM }степеней (m1 , . . . , mn ). Морфизмы градуированных модулей L∗ в M∗ образуют дифференциально-градуированный модуль Hom(L∗ , M∗ ), элемент f которого имеет градуировку n еслиf : Lk → Mk+n .43Дифференциал в Hom(L∗ , M∗ ) записывается обычным образом:dHom (f ) = dM ◦ f − (−1)|f | f ◦ dL .Выделим в Hom(L∗ , M∗ ) подмодуль HomP L −P M (L∗ , M∗ ), состоящий из P L P M -перестановочных отображений. Поскольку PiL и PiM коммутируют с дифференциалами dL и dM , получаем, что HomP L −P M (L∗ , M∗ ) будет подкомплексом в (Hom(L∗ , M∗ ), dHom ).Определение 2.3 Гомологии комплекса(HomP L −P M (L∗ , M∗ ), dHom )будем называть бивариантными когомологиями пары комплексов L∗ , M∗ )с периодичностями P L , P M :HPn L −P M (L∗ , M∗ ) = H−n (HomP L −P M (L∗ , M∗ ))Таким образом, бивариантными коциклами для когомологий с симметриямиHPn L −P M (L∗ , M∗ ) являются гомоморфизмы модулейL∗ → M∗ ,f:перестановочные с периодичностями P L , P M и коммутирующие с дифференциалами dL и dM .Бивариантными кограницами являются те из них, которые гомотопнынулю, то есть f — кограница, если существует h ∈ HomP L −P M (L∗ , M∗ ), такоечтоf = dHom (h) = dM ◦ h − (−1)|h| h ◦ dL .Следующее предложение обобщает результаты п.

8 [31].00Предложение 2.6 Пусть на комплексах (X∗ , dX ), (X∗0 , dX ), (Y∗ , dY ), (Y∗0 , dY )00заданы наборы периодичностей P X , P X , P Y , P Y соответственно, степени(m1 , . . . , mn ), и пусть деформационные ретракции0f1f2−−−(X∗ , dX ; hX ) и (Y∗0 , dY 0 )←−−−(Y∗ , dY ; hY )(X∗0 , dX )←−−→−−→g−g−120(20)0P X -P X - и P Y -P Y -совместимы.Тогда∗f1∗−−−(HomP X 0 −P Y (X∗0 , Y∗ ), dHom )←∗→(HomP X −P Y (X∗ , Y∗ ), dHom ; hX ),−−g−(21)1f2∗−−−−(HomP X −P Y (X∗ , Y∗ ), dHom ; h∗Y )(HomP X −P Y 0 (X∗ , Y∗0 ), dHom )←−−g ∗→2являются деформационными ретракциями.44(22)Если (20) — специальные деформационные ретракции, то (21) и (21)также специальные деформационные ретракции.Отображения f1∗ , g1∗ , h∗X , f2∗ , g2∗ , h∗Y определяются следующим образомf1∗ : κ1 → (−1)|κ1 |·|f1 | κ1 ◦ f1 ,f2∗ : κ2 → f2 ◦ κ2 ,g1∗ : κ1 → (−1)|κ1 |·|g1 | κ1 ◦ g1 ,g2∗ : κ2 → g2 ◦ κ2 ,κ1 ∈ HomP X 0 −P Y (X∗0 , Y∗ ),κ2 ∈ HomP X −P Y (X∗ , Y∗ );κ1 ∈ HomP X −P Y (X∗ , Y∗ ),κ2 ∈ HomP X −P Y 0 (X∗ , Y∗0 );h∗X : κ → (−1)|κ|·|hX | κ ◦ hX ,h∗Y : κ → hY ◦ κ,κ ∈ HomP X −P Y (X∗ , Y∗ );Доказательство.

Перестановочность f1 , g1 , hX и f2 , g2 , hY c периодичностями обеспечивает корректность отображений f1∗ , g1∗ , h∗X и f2∗ , g2∗ , h∗Y . Условияh∗X f1∗ = 0 g1∗ h∗X = 0 h∗X h∗X = 0f2∗ h∗Y = 0 h∗Y g2∗ = 0 h∗Y h∗Y = 0 f2∗ g2∗ = idсразу следуют из соответствующих условий на f1 , g1 , hX и f2 , g2 , hY . Изравенства f1 g1 = id следует, что |f1 | = −|g1 |. Значит,g1∗ f1∗ (κ) = (−1)|κ|·|f1 | (−1)|κ|·|f1 |·|g1 | κf1 g1 = κ,и аналогичное равенство справедливо для f2 и g2 . Остается проверить соотношенияf1∗ g1∗ − id = d(h∗X ) и g2∗ f2∗ − id = d(h∗Y ).Запишемd(h∗X )(κ) = (−1)|κ| d(κhX ) + h∗X d(κ) == (−1)|κ| dκhX − (−1)|κ|+1 (−1)|κ| κhX d ++(−1)|κ|−1 dκhX − (−1)|κ| (−1)|κ|−1 κdhX == κ(hX d + dhX ) = κ(f1 g1 − 1) = (g1∗ f1∗ − id)(κ).Далее,d(h∗Y )(κ) = d(hY κ) + h∗Y d(κ) = dhY κ − (−1)|κ|+1 hY κd++hY dκ − (−1)|κ| hY κd == (hY d + dhY )κ = (f2 g2 − 1)κ = (f2∗ g2∗ − id)(κ)Теорема 2.7 При выполнении условий предложения 2.6 имеет место следующий изоморфизмHPn X −P Y (X∗ , Y∗ ) ∼= HPn X 0 −P Y 0 (X∗0 , Y∗0 ).452.4Основные определенияРассмотрим основные частные случаи бивариантных когомологий с симметриями.Определение 2.4 [29] Бивариантными циклическими когомологиями пары алгебр A, B называются бивариантные когомологии пары комплексовCC(A), CC(B) с периодичностью SCC ,HC ∗ (A, B) = HS∗CC (CC(A), CC(B)).Замечание.

Как следствие предложения 2.1 и теоремы 2.7 получаем изоморфизмHC ∗ (A, B) ∼= HS∗BC (BC(A), BC(B)).Определение 2.5 [28] Бивариантными кватернионными когомологиями пары алгебр A, B называются бивариантные когомологии пары комплексовCQ(A), CQ(B) с периодичностью TCQ ,HQ∗ (A, B) = HT∗CQ (CQ(A), CQ(B)).Замечание. Как следствие предложения 2.2 и теоремы 2.7 получаем изоморфизмHQ∗ (A, B) ∼= HT∗BQ (BQ(A), BQ(B)).Определение 2.6 Бивариантными диэдральными когомологиями пары алгебр A, B называются бивариантные когомологии пары комплексов CD(A),CD(B) с периодичностями SCD и ΩCD ,HD∗ (A, B) = HS∗CD ΩCD (CD(A), CD(B)).Замечание. Как следствие предложения 2.3 и теоремы 2.7 получаем изоморфизмHD∗ (A, B) ∼= HS∗CD ΩCD (BD(A), BD(B)).Определение 2.7 Бивариантными рефлексивными когомологиями пары алгебр A, B называются бивариантные когомологии пары комплексов CR(A),CR(B) с периодичностью ΩCR ,HR∗ (A, B) = HΩ∗ CR (CR(A), CR(B)).Замечание.

Каждый элементf ∈ HomSBD ,ΩBD (BD∗,∗ (A), BD∗,∗ (B))состоит из четырех компонент−f+− : BD+∗,∗ (A) → BD ∗,∗ (B),+f++ : BD+∗,∗ (A) → BD ∗,∗ (B),46−f−− : BD−∗,∗ (A) → BD ∗,∗ (B),+f−+ : BD−∗,∗ (A) → BD ∗,∗ (B).Отображения f с нулевыми компонентами f+− , и f−+ образуют подкомплексHom+SBD ,ΩBD (BD ∗,∗ (A), BD ∗,∗ (B))в комплексе SΩ-перестановочных отображений. Отображения с нулевымикомпонентами f++ , и f−− образуют подкомплексHom−SBD ,ΩBD (BD ∗,∗ (A), BD ∗,∗ (B)).Таким образом, диэдральные когомологии уже на уровне гомоморфизмовмодулей распадаются на два прямых слагаемых:HDn (A, B) = HDn+ (A, B) ⊕ HDn− (A, B),гдеHDn+ (A, B) = H−n (Hom+SBD ,ΩBD (BD ∗,∗ (A), BD ∗,∗ (B))),аHDn− (A, B) = H−n (Hom−SBD ,ΩBD (BD ∗,∗ (A), BD ∗,∗ (B))).Аналогичное разложение имеет место и в рефлексивных когомологиях:HRn (A, B) = HRn+ (A, B) ⊕ HRn− (A, B).2.5ПроизведениеВ бивариантных когомологиях с симметриями можно определить операцию∪, которая когомологическим классам с представителями φ1 и φ2 ставит всоответствие класс[φ1 ] ∪ [φ2 ] = [φ2 ◦ φ1 ].Независимость [φ1 ]∪[φ2 ] от выбора представителей φ1 и φ2 следует из простойвыкладки:(φ1 + dψ) ◦ φ2 = φ1 ◦ φ2 + dψ ◦ φ2 − (−1)|ψ| ψ ◦ dφ2 = φ1 ◦ φ2 + d(ψ ◦ φ2 ),ибо dφ2 = 0.4733.1Случай 1/2 ∈ kРедукция комплексов3.1.1 До сих пор на коммутативное кольцо k не накладывалось никакихспециальных ограничений.

Если предположить что число 2 обратимо в кольце k, приведенные выше конструкции значительно упрощаются.Ввиду наличия двух взаимнодополняющих проекторов p1 = 21 (1 − y) иp2 = 12 (1 + y), причем p1 + p1 = id, модули A⊗n раскладываются в прямуюсуммуA⊗n = Im(1 − y) ⊕ Im(1 + y).Далее, поскольку оператор (1 − y) коммутирует с дифференциалом комплекса Хохшильда и с дифференциалами циклического комплекса BC, комплексХохшильда раскладывается в прямую сумму−(CH∗ (A), b) = (CH+∗ (A), b) ⊕ (CH∗ (A), b),(23)гдеCH+n (A) = Im(1 + y)|A⊗n+1иCH−n (A) = Im(1 − y)|A⊗n+1 ,а комплекс BC(A) раскладывается в прямую сумму−BC ∗,∗ (A) = BC +∗,∗ (A) ⊕ BC ∗,∗ (A),где BC + (A) и BC − (A) записываются какbbbbyyyy+CH2by+CH1by−←B−− CH1by←B−− CH−0←B−− CH+0и−CH2by−CH1byyb+←B−− CH1byyb←B−− CH−0←B−− CH+0CH−0CH+0соответственно (см.

[34]).−3.1.2 Бикомплексы BC +∗,∗ (A) и BC ∗,∗ (A) являются прямыми слогаемыми+−комплексов BD∗,∗,∗ (A) и BD∗,∗,∗ (A) соответственно. Более того, имеет местоследующая теорема.−Теорема 3.1 Комплексы BD+∗,∗,∗ (A) и BD ∗,∗,∗ (A) стягиваются к комплек−сам BC +∗,∗ (A) и BC ∗,∗ (A) соответственно.48Для упрощения рассуждений введем следующие объекты.+−+n− −iiПусть (Rn+∗ , d ) и (R∗ , d ), где di = 1 − (−1) y и di = 1 + (−1) y,комплексы следующего видаRn+ :1−y ⊗n 1+y ⊗n 1−yA⊗n ←−−A ←−−A ←−− · · · ,Rn− :1+y ⊗n 1−y ⊗n 1+yA⊗n ←−−A ←−−A ←−− · · · .Заметим, что Rn+ et Rn+ образуют строки комплексов CD(A) и CR(A).n−Пусть (R̂n+∗ , 0) и (R̂∗ , 0) комплексы, такие что⊗nR̂n+/ Im (1−y)0 = A2⊗nи R̂n−/ Im (1+y)0 = A2и R̂n+= 0, Rn−= 0, для i > 0.iiПростые выкладки доказывают следующее утверждение.Лемма 3.2 Имеет место следующая специальная деформационная ретракция.pp++−−←−−−(Rn+←−−−(Rn−(R̂n+(R̂n−(24)∗ , 0)−−−∗ ,d ;h )∗ , 0)−−−∗ , d ; h ),i→i→где p и i обозначают очевидную проекцию и включение.

Гомотопии задаются соотношениямиn±h±→ Rn±j : Rjj1jh+j = (1 − (−1) y),41jh−j = (1 + (−1) y).4Замечание. Прямая сумма ретракций (24) представляет собой ретракциюn−комплекса Rn+∗ ⊕ R∗ к тривиальному комплексу с единственной ненулевойсоставляющей в нулевой размерности A⊗n .Доказательство (теоремы 3.1). Рассуждения быдем проводить для “положительного” комплекса BD+∗,∗,∗ (A), рассуждения для “отрицательного” комплекса аналогичны.+Каждый BC-слой BD+∗,∗,∗ (A) раскладывается в прямую сумму BC ∗,∗ (A) иBC −∗,∗ (A). Пусть+i : BC +∗,∗ (A) → BD ∗,∗,∗ (A)— включение, отображающее BC + на соответствующее прямое слагаемое впервом BC-слое BD+ , и пустьp:+BD+∗,∗,∗ (A) → BC ∗,∗ (A)проекция, тождественная на BC + -слагаемом первого BC-слоя и равная нулюна дополнении.Положим+h : BD+∗,∗,∗ (A) → BD ∗,∗,∗ (A)49равной h+ (см.

Характеристики

Список файлов диссертации