Бивариантные когомологии с симметриями (1102402), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1.2.1 является SBC -SCC -совместимой.В дальнейшем, для упрощения обозначений, вместо “SBC -SCC -совместимый”будем писать “S-совместимый”.Доказательство. Из формул предложения A.1 следует, что композиция двухS-совместимых деформационных ретракций будет снова S-совместимой. Ретракция комплекса CC к BC является композицией ретракций (7) и (8), поˆ периодичностью, аналогичнойстроенных в п.
1.2.1. Снабдим бикомплекс BCSBC .S-совместимость ретракции (7) получается из матричного представленияоператоров In , Jn и Sn (см. п. 1.4.1). Рассмотрим, например, матрицу Jn .Действие SCC на Jn справа (Jn ◦ SCC ) состоит в вычеркивании двух первыхстолбцов матрицы Jn . Действие SBC на Jn слева (SBC ◦ Jn ) состоит в вычеркивании первой строки матрицы Jn . Учитывая явный вид матрицы Jn (см.п. 1.4.1) получаемJn ◦ SCC = SBC ◦ Jn .Напомним (см.
предложение A.5), что операторы f , ∇ и ĥ∞ ретракции(8) задаются матрицами000P∞P∞(1, 0),иii0i=0 (hδ) γi=0 h(δh)36соответственно. Перестановочность f с S очевидна. Действие S на ∇ и ĥ∞как справа, так и слева состоит в том, что последнее слагаемое в суммах∞Xi(hδ) γ∞Xилиi=0h(δh)ii=0становится нулевым. Таким образом, ретракция (8) также S-совместима. 2.1.3Периодичности кватернионных комплексов BQ и CQTBQ :BQn (A) → BQn−4 (A),TCQ :CQn (A) → CQn−4 (A)имеют степень −4 и строятся подобно циклическим.
Они состоят в вычеркивании трех (соотв. четырех) первых столбцов образующих период бикомплексов.[n/4]TBQ :M(A⊗n−4i+1 ⊕ A⊗n−4i ⊕ A⊗n−4i−1 ) →i=0[n/4]→M(A⊗n−4i+1 ⊕ A⊗n−4i ⊕ A⊗n−4i−1 ).i=1Предложение 2.2 Деформационная ретракция комплекса CQ к BQ, построенная в п. 1.5 является TBQ -TCQ -совместимой.Доказательство аналогично доказательству предложения 2.1.2.1.4 На рефлексивном комплексе CR = CR+ ⊕ CR− пределена периодичность степени −1ΩCR :−−+CR+n (A) ⊕ CRn (A) → CRn−1 (A) ⊕ CRn−1 (A),вычеркивающая первые столбцы в CR+ и CR− . Оператор ΩCR отображаетCR+ в CR− и CR− в CR+ . Более явно, ограничения ΩCR на CR+ и на CR−являются проекциямиn+1nMM⊗iA →A⊗ii=1i=1372.1.5лимПериодичности “диэдрального” случая более разнообразны.
ОпредеSBD :−−+BD+n (A) ⊕ BD n (A) → BD n−2 (A) ⊕ BD n−2 (A)таким образом, чтобы ограничение SBD на каждый BC-слой комплексов BD+ (A)и BD− (A) совпадает с оператором SBC ; при этом комплекс BD+ (A) отображается в BD− (A), а BD− (A) в BD+ (A).Подобным образом, определяется и операторSCD :−−+CD+n (A) ⊕ CD n (A) → CD n−2 (A) ⊕ CD n−2 (A),совпадающий на каждом CC-слое с оператором SCC и отображающий комплекс CD+ (A) в CD− (A), а CD− (A) в CD+ (A).ОператорыΩBD :ΩCD :−−+BD+n (A) ⊕ BD n (A) → BD n−1 (A) ⊕ BD n−1 (A),−−+CD+n (A) ⊕ CD n (A) → CD n−1 (A) ⊕ CD n−1 (A),соответствуют периодичности комплексов BD(A) и CD(A) в другом направлении.
На каждом CR-слое комплексов BD(A) и CD(A) они совпадают с“рефлексивными” периодичностями ΩCR . Также как SBC и SCC , операторыΩBD и ΩCD отображают положительную часть в отрицательную и наоборот.Поясним структуру периодичностей “диэдрального случая” на примереn = 6.BD−5 (A)AA⊗6⊗5A⊗4⊗3AA A A⊗4 ⊗2A A⊗3 ⊗1A A⊗2A⊗1A⊗1⊗2⊗1A⊗7⊗6⊗5A⊗4ΩBD←−− A⊗3A⊗2A⊗1A⊗nSBD−−−→ BD−4 (A)BD+6 (A)←Ω−BD−−где A = A и A = A ⊗ AAA⊗5⊗4AA⊗3A A⊗2A⊗1A⊗3A⊗1A⊗2⊗1A⊗5⊗4⊗3AASBD−−→ A A⊗2A⊗1A⊗3A⊗1⊗2⊗1,⊗n−1.Предложение 2.3 Деформационная ретракция комплекса CD к BD, построенная в п. 1.4 является SBD ΩBD -SCD ΩCD -совместимой.Доказательство.
Как и в доказательстве предложения 2.1, ретракция раскладывается в композицию двух последовательных ретракций: комплексаˆ ∞ (A) и комплекса BCˆ ∞ (A) к BD(A) (см. п. 1.4).BD(A) к BC38Доказательство SΩ-совместимости второй ретракции дословно повторяетвторую часть доказательства предложения 2.1. Чтобы проверить, что перваяретракция также SΩ-совместима нужно показать, что Iˆ∞ , Jˆ∞ и Ŝ ∞ (см.п.
1.4) коммутируют с периодичностями S и Ω. Докажем это для Ŝn∞ , дляостальных операторов рассуждения аналогичны.Оператор Ŝn∞ задается матрицейSn Sn δn Sn−1Sn−1Sn−1 δn−1 Sn−2···Sn−2······ ···,···· · · S1 δ1 S0 S0 0составленной из блоковBln,k = SnkY(δn−i Sn−i−1 ).i=0Перестановочность Ŝ ∞ с Ω означает, что вычеркивая первый столбец и первую∞строку в блочном представлении Ŝn∞ мы приходим к матрицу Ŝn−1, что оче∞видно.
Перестановочность Ŝ с периодичностью S означает, что вычеркивая две первые строки и два первых столбца в каждом блоке матрицы Ŝn∞∞получаем матрицу Ŝn−2. Действительно, из явного вида операторов Si и δiследует, что вычеркивая две первые строки и два первых столбца в блокеBln,k получаем блок Bln−2,k .
2.2Свойства комплексов с периодичностями2.2.1 Рассмотрим некоторые простейшие свойства комплексов с периодичностями. Пусть в комплексе (C∗ , d) задана периодичность P степени i. Изэпиморфности P следует точность диаграммы0−−−→ Ker P∗ −−−→C∗ −−P−→C[i]∗ −−−→0(13)из которой вытекает наличие длинной точной последовательности в гомологиях комплексов. . . −−→Hn−i (C∗ )−−→Hn−1 (Ker P∗ )−−→Hn−1 (C∗ )−−→Hn−i−1 (C∗ )−−→ . . .обобщающей точную последовательность Конна в циклических гомологиях.Более общо́:39Теорема 2.4 Пусть в комплексе (C∗ , d) заданы коммутирующие периодичности P1 , P2 , .
. . , Pn степеней i1 , i2 , . . . , in соответственно. Рассмотрим nмерную кубическую диаграмму по каждому из n направлений в которойбудет идти последовательности вида (13). Каждая плоскость кубическойдиаграммы является квадратной диаграммой с точными строками и столбцами следующего вида.0y0−−→ Ker P1∗ ∩ Ker P2∗ι1y0−−→KerP2∗P1y0−−→Ker P2 [i1 ]∗y00yι2−−→ KerP1∗ι1yι2−−→ι2−−→C∗P1yC[i1 ]∗y00yP2−−→ Ker P1 [i2 ]∗ι1y−−→0P2−−→C[i2 ]∗P1y−−→0P2−−→C[i1 + i 2 ]∗y0−−→0,(14)где ι1 и ι2 — включения.Тогда n-мерная “короткая точная последовательность” (14) приводитк n-мерной же “длинной точной последовательности”, плоскости которойимеют вид.........P1∗P1∗P1∗yyy∗∂2−−→∗Hn−i1 +1Ker P2∂1∗y∗ι2−−→∗Hn−i1 +1 C∂1∗y2P2−−→∗Hn−i1−i2 +1 C∂1∗y∗∂2−−→∗∂2−−→ Hn Ker P1 ∩ Ker P2∗ι1yι2−−→ Hn Ker P1∗ι1yP2−−→ Hn−i2 Ker P1∗ι1y∂2−−→∂2−−→Hn Ker P2∗P1yι2−−→Hn CP1∗yP2−−→Hn−i 2C∗P1y∂2−−→Hn−i1 Ker P2∂1∗y...ι2−−→Hn−i 1C∂1∗y...P2−−→Hn−i1 −i2 C∂1∗y...∂2−−→∗∗∂2−−→∗∗22∗∗(15)Диаграмма коммутативна, и все входящие в нее строки и столбцы точны.Доказательство.
Точность и коммутативность диаграммы (14) следует изэпиморфности и перестановочности между собой периодичностей.Что касается диаграммы (15), точность строк и столбцов является стандартным следствием точности соответствующих строк и столбцов диаграммы (14).40Перестановочность операторов ι∗k и Pk∗ следует из перестановочности ιk иPk . Требуют проверки лишь коммутационные соотношения со связывающими гомоморфизмами.Докажем, что если x – элемент C∗ [i1 ], причем dx = 0, то P2∗ ∂1∗ x и ∂1∗ P2∗ x являются представителями одного и того же гомологического класса в H∗ C[i1 +−1i2 ].
Условно ∂1∗ можно представлять как ι−11 dP1 . Учитывая это, рассмотримциклы z ∈ ZC∗ [i1 ] и P2 z ∈ ZC∗ [i1 + i2 ]. Пусть P1−1 z – прообраз z при сюръективном отображении P1 , тогда P2 P1−1 z – прообраз элемента P2 z. Еще разиспользуя перестановочность рассматриваемых отображений можно запи−1−1сать P2 dP1−1 z = dP2 P1−1 z. И, наконец, если ι−11 dP1 z – прообраз dP1 z при−1отображении ι1 , то из перестановочности операторов следует, что P2 ι−11 dP1 z−1будет прообразом элемента P2 dP1 z, то есть−1−1−1−1−1−1−1P2 ∂1 z = P2 ι−11 dP1 z = ι1 P2 dP1 z = ι1 dP2 P1 z = ι1 dP1 P2 z = ∂1 P2 z.Остальные соотношения доказываются аналогично.2.2.2 Частными случаями доказанного утверждения являются следующиеточные последовательности.1.
Точная последовательность Конна в циклических гомологиях· · · ←−−HC n (A)←−−HC n+2 (A)←−−HH n+2 (A)←−−HC n+1 (A)←−− · · ·(рассматривается одна периодичность S).2. Точная последовательность в рефлексивных гомологиях−· · · ←−−HH n ⊕ HH n ←−−HR+−−n ⊕ HRn ←−←−−HR+−−HH n+1 ⊕ HH n+1 ←−− · · ·n+1 ⊕ HRn+1 ←(16)(периодичность Ω).3. Точная последовательность в кватернионных гомологиях· · · ←−−Hn−1 Q(A)←−−HQn−4 (A)←−−HQn (A)←−−Hn Q(A)←−− · · ·(периодичность T ), где Q∗ – комплекс, вводившийся в (п. 1.5.1) придоказательстве стягиваемости CQ∗,∗ к BQ∗,∗ .4. Точная последовательность в диэдральных гомологиях41yy←−HH n ⊕ HH n ←−y←−HC n ⊕ HC n ←−yyy−HR+− HR−⊕ HR+− HH n+1⊕ HH n+1←−n ⊕n+1n+1← HRn ←yyy−HD+− HD−⊕ HD+−n ⊕n+1n+1← HDn ←yyHC n+1⊕ HC n+1←−y←−HC n−2− HD+⊕ HD−− HD−⊕ HD+− HC n−1⊕ HC n−1←−n−2n−2←n−1n−1←⊕ HC n−2←yyyy←−HH n−1− HR+⊕ HR−−n−1n−1←⊕ HH n−1←yy+HR−−n ⊕ HRn ←yHH n ⊕− HH n ←y(17)(периодичности S и Ω).Замечание.
Поскольку операторы периодичностей в рефлексивном и диэдральном случае переводят положительные компоненты в отрицательные инаоборот, и это свойство сохраняется и для отображений в гомологиях:∗SHD+−→HD−n−n−2 ,− S∗HDn −−→HD+n−2 ,∗ΩHD+−→HD−n−n−1 ,− Ω∗HDn −−→HD+n−1 ,∗ΩHR+−→HR−n−n−1 ,− Ω∗+HRn −−→HRn−1 ,то диаграммы (16) и (17) распадаются в прямую сумму диаграмм, в которыхположительные и отрицательные компоненты расположены в шахматном порядке.Теорема 2.5 Пусть в комплексе (C∗ , d) заданы периодичности P1 и P2 степеней i1 и i2 соответственно. Тогда P1 ◦ P2 также будет периодичностью(степени i1 + i2 ); диаграмма0y0y0y0 −−→ KerP1∗idy−−→ Ker P2 P1∗y−−→ Ker P2 [i1 ]∗y−−→ 00 −−→ KerP1∗y−−→P1−−→C[i1 ]∗P2y−−→ 00 −−→−−→C[i1 + i 2 ]∗y0−−→ 00y0C∗P2 P1yC[i1 + i2 ]∗y0id−−→(18)будет точна, и будет точна также соответствующая ей “длинная точная42последовательность”y−→0y−→yyidHn+1−i→ 1 −i2 C −yyHn+1−i→ 1 −i2 C −y0y−→−→ Hn Ker→ Hn Ker→ Hn−i1Ker P2 −→ Hn−1 Ker P1 −→ P2 P 1 − P1 −ididyy,yy−→ Hn Ker→ P1 −y−→0y−→∗P1Hn C−→(P2 P1 )∗yidHn−i1 −i2 C −→yHn−i 1C∗P2y−→Hn−i1 −i2 Cy−→Hn−1 Ker P1 −→y0y−→(19)которую, учитывая отождествление экземпляров Hn C и Hn Ker P1 можнозаписать в виде косы.- Hn−i+1 KerP2 @R@Hn KerP1HCn−i +11@@R-HCn+1@R@-HCnHn KerP2 P1-@R@HCn−i −i1 2HCn−i1-@R@ @ @ @R@R@R@- HCn−i1 −i2 +1- Hn−i1 KerP2 - Hn+1 KerP1 -Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
