Бивариантные когомологии с симметриями (1102402), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

любой морфизм ∆G однозначно записывается в виде композиции φ · g,где φ ∈ Hom∆ ([m], [n]), а g ∈ Aut∆G [n] = Gn .На содержательном уровне, скрещенные симплициальные группы — это группы действующие на симплициальных объектах, причем действие коммутирует (слева) с симплициальной структурой: для любых g ∈ Gn и φ ∈ Hom∆ ([m], [n])существуют единственные φ∗ (g) ∈ Gm и g ∗ (φ) ∈ Hom∆ ([m], [n]) такие чтоg · φ = φ∗ (g) · g ∗ (φ).Наиболее простым примером скрещенных симплициальных групп являются симплициальные группы, то есть симплициальные объекты в категориигрупп. Для них g · φ полагается равным φ · φ∗ (g) т.е.

g ∗ = id.Другой пример доставляет семейство циклических групп C∗ = {Zn }∞n=1 ,ему соответствует категория ∆C в которой к морфизмам ∆ добавляютсяτn : [n] → [n], причем выполнены соотношенияτn+1 δi = δi−1 tn , i = 1..n, τn+1 δ0 = δn ,2τn+1 σi = σi−1 tn+2 , i = 1..n, τn+1 σ0 = σn τn+2,n+1τn+1= id.В работе [6] приводится следующая полная классификация скрещенныхсимплициальных групп.Теорема 1.2 Для любой скрещенной симплициальной группы G∗ существует единственная с точностью до изоморфизма точная последовательность0−−→G0∗ −−→G∗ −−→G00∗ −−→0,где G0∗ симплициальная группа, а G00∗ одна из следующих семи “основных”скрещенных симплициальных групп {1}, C∗ , Σ∗ (семейство симметрическихгруп), {Z2 }, D∗ (семейство диэдральных груп), Z2 × Σ∗ , H∗ = Z∗2×|Σ∗ (Σnдействует на Zn2 перестановками прямых сомножителей). 23Таким образом, скрещенные симплициальные группы исчерпываются “основными”с точностью до симплициальных групп.Каждой скрещенной симплициальной группе G∗ можно сопоставить гомологии ∆G op -модулейHGn (M ) = Tor∆Gn (k, M ).Здесь M является ∆G op -модулем, то есть функтором из ∆G op в категориюмодулей.

Например, {A⊗n }∞n=1 — модуль над Σ∗ , которая действует на тензорном произведении перестановками множителей.Семейство {A⊗n }∞n=1 такжеявляется модулем над C∗ ; действие определяется как частный случай предыдущего. Получающиеся с помощью C∗ гомологии совпадают с циклическими,определявшимися выше.Тем не менее, над остальными “основными” скрещенными симплициальными группами {A⊗n }∞n=1 , вообще говоря, модулем не является, то есть егосимплициальная структура беднее чем у эталонного ∆∗ (геометрический симплекс). Это наводит на мысль о следующей модификации.1.3.2Пусть A — алгебра с инволюцией, то есть задано линейное отображение : A → A для которого a = a и a · b = ba (коммутативную алгебру всегда можно считать наделенной тривиальной инволюцией a = a).При этом {A⊗n }∞n=1 становится модулем над всеми “основными” скрещенными симплициальными группами.

В случае H∗ действие i-го экземпляраZ2 задается инволюцией на i-ом сомножителе тензорного произведения. Востальных случаях Z2 действует на A⊗n с помощью оператора“отражения”rn (a0 , . . . , an ) = (an , an−1 , . . . , a1 , a0 ).Из получающихся таким образом гомологических теорий наиболее полноизучены две: соответствующая {Z2 } (положительные и отрицательные ре−флексивные гомологии: HR+∗ (A) и HR∗ (A)) и соответствующая D∗ (поло−жительные и отрицательные диэдральные гомологии HD+∗ (A) и HD ∗ (A)).Ввиду их важности приведем соответствующие определения.1.3.3Определение 1.4 [8] Положительными рефлексивными гомологиями алгебры A называются гомологии бикомплекса:CR+∗,∗ (A) :...by...−by...by...−by⊗2 1−y⊗2 1+y⊗2 1−y⊗2 1+yA ←−−− A ←−−− A ←−−− A ←−−− · · ·b−bb−byyyyA←1−y−−−A←1+y−−−24A←1−y−−−A←1+y−−− · · · ,где11yn (a0 , a1 , .

. . , an ) = (−1) 2 n(n+1) (a0 , an , an−1 , . . . , a1 ) = (−1) 2 n(n−1) tn rn .Обозначение HR+∗ (A).Отрицательные рефлексивные гомологии определяются исходя из биком+плекса CR−∗,∗ (A), который получается из CR∗,∗ (A) заменой yn на −yn . Отметим, что по строкам CR+ и CR− стоят резольвенты группы Z2 . КомплексыCR+ и CR− рассматриваются обычно не поотдельности, и тогда их объединяют в один комплекс−CR∗ (A) = CR+∗ (A) ⊕ CR∗ (A).1.3.4Диэдральные группыDn =< p, q | pn = q 2 = 1, qpq −1 = p−1 >не имеют, вообще говоря, периодической резольвенты;Определение 1.5 [8] Положительными диэдральными гомологиями алгебры A называются гомологии трикомплекса CD+∗,∗,∗ :...1−yy∗(A, b)1+yy...−1−yty1−t←−− (A∗ ,−b0 ) ←N−−−1+yty1−t(A∗, −b) ←−−1−yy(A∗ , b)...1+yy∗(A, b)1−yy...−1+yty1−t←−− (A∗ ,−b0 ) ←N−− · · ·−1−yty1−t(A∗, b0 ) ←N−− (A∗, −b) ←−−−1−yt1+yyy1−t←−− (A∗ , −b0 ) ←N−−(A∗ , b)(A∗, b0 ) ←N−− · · ·−1+yty1−t←−− (A∗ , −b0 ) ←N−− · · ·Стандартное обозначение HD+∗ (A).Строки CD+∗,∗,∗ (A) — (с точностью до знака) обычные циклические комплексы CC ∗,∗ (A), а операторы y и yt, определяющие вертикальные морфизмызадают "отражения"элементов A⊗n .

Такая структура CD+∗,∗,∗ соответствуетразложению Dn в полупрямое произведение Z/nZ и Z/2Z. В слое CD+∗,∗,∗ (A)⊗nсоставленном из A стоят резольвенты группы Dn с коэффициентами в A⊗n .Аналогично CD+ (A) строится CD− (A), гомологии которого равны отрицательным диэдральным гомологиям, получающийся, как и в случае рефлексивных гомологий, сменой знака при y. Как и рефлексивные, диэдральныекомплексы часто объединяют в один−CD∗,∗,∗ (A) = CD+∗,∗,∗ (A) ⊕ CD ∗,∗,∗ (A).251.3.5Иногда рассматривают также кватернионные гомологии, соответствующие скрещенной симплициальной группе {Q∗ },Qn =< p, q | pn = q 2 , qpq −1 = p−1 >,которая получается из {D∗ } расширением с помощью {Z2 }. В отличие от Dnобобщенные кватернионные группы Qn допускают 4-периодическую резольвенту для любого n ∈ N [5, стр.309].Рассмотрим следующий бикомплекс, обозначаемый CQ∗,∗ (A)...by...−b0 ⊕−by...b⊕b0yσ⊗2 θ⊗2⊗2⊗2A←−− A⊗2 ⊕ ←−− A ⊕AAb−b0 ⊕−bb⊕b0yyyθA ←−−A⊕Aσ←−−A⊕A...−b0y...byφ⊗2 NQ⊗2 θ←−− A ←−− A ←−− · · ·−b0byyNQφθ←−− A ←−− A ←−−···.Столбцы CQ(A) повторяются с периодом 4, первый столбец образован комплексом Хохшильда CH∗ (A), четвертый — бар-резольвентой Bar+ (A), а второй и третий являются, с точностью до знаков дифференциалов, прямойсуммой CH(A) ⊕ Bar+ (A).

Горизонтальные дифференциалы задаются матрицамиN1 + yt1−tθ = (1 − t, 1 − y), σ =, φ=.−(1 + y) t − 1yt − 1НаконецNQ (a) =3 XnXy i tj (a) =i=0 j=0Xg(a),a ∈ A⊗n .g∈QnТаким образом, по строкам комплекса CQ(A) стоят резольвенты кватернионных групп (см. [5]).Определение 1.6 [35] Кватернионными гомологиями алгебры A называются гомологии бикомплекса CQ∗,∗ (A). Обозначение HQ∗ (A).1.4Диэдральный комплекс BD∗,∗,∗ (A)Как и циклический бикомплекс CC ∗,∗ (A), комплексы CD±∗,∗,∗ (A) и CQ∗,∗ (A)содержат стягиваемые столбцы (CH∗ , b0 ), избавившись от которых с помощью леммы о возмущении и процесса нормализации, подобному проведенному в п. 1.2.1 можно перейти к гораздо меньшим комплексам BD±∗,∗,∗ (A) иBQ∗,∗,∗ (A).

Проделаем это сначала для диэдрального случая.261.4.1В п. 1.2.1 нами была получена следующая специальная деформационная ретракцияˆ ∗,∗ (A)←−J−−−CC ∗,∗ (A); S.BC(9)−−I→Положим s̃ = sb0 s. Операторамˆ n → CC nIn : BCˆnJn : CC n → BCиSn : CC n → CC n+1соответствуют следующие матрицы. Матрица Jn с [ n+1] строками и (n + 1)2столбцом1 (t − 1)s̃1 (t − 1)s̃······.··· ···1 (t − 1)s̃)] столбцамиМатрица In с (n + 1) строкой и [ n+121−s̃N1−s̃N1.············−s̃N 1Матрица Sn с (n + 2) строками и (n + 1) столбцом.0s̃0.s̃...0Дальнейшие рассуждения будем проводить для комплекса CD+∗,∗,∗ (A); соот−ветствующие рассуждения для CD∗,∗,∗ (A) совершенно аналогичны.271.4.2Трикомплекс CD+∗,∗,∗ (A) можно считать состоящим из CC ∗,∗ -слоев.Полагая дифференциалы, идущие из одного CC ∗,∗ -слоя в другой равныминулю получаем комплекс∞G∞CC ∗,∗ =CC i∗,∗ ,i=0для которого ретракцияJˆ∞←−−− ∞ ∞ ,BC∞→CC ∗,∗ ; S∗,∗ −−I−∞совпадающая на каждом слое с ретракцией (9), будет специальной деформационной ретракцией.

Операторы∞∞ˆJn∞ : CC ∞n → BC nˆ n → CC ∞In∞ : BCn∞Sn∞ : CC ∞n → CC n+1можно записать в виде матрицIn In−1..Jn , .Jn−1...J0I0Sn , Sn−1...S0 0соответственно.Рассматривая дифференциалы между CC-слоями как возмущение∆n :+CD+n+1 (A) → CD n (A)задаваемое матрицей∆n :0 δnδn−1..,.δ0гдеδ2n = diag{1 − y, yt − 1, 1 + y, −(yt + 1), 1 − y, . . .}δ2n−1 = diag{1 + y, −(yt + 1), 1 − y, yt − 1, 1 + y, . . .}4-периодичные диагональные матрицы размера 2n × 2n и (2n − 1) × (2n −1) соответственно.

Выполнение “граничных условий” следует из выполнениясоответствующих условий для ретракции (9).Поскольку Sn∞ ∆n является квадратной верхнетреугольной матрицей, условие локольной нильпотентности — (Sn∞ ∆n )m = 0 для некоторого m — выполнено, и мы можем воспользоваться леммой о возмущении (теорема A.2).28Таким образом получаем специальную деформационную ретракциею∞ˆ∞J −−ˆˆ ←−CD∗,∗,∗ (A); Ŝ ∞ .(BC∗,∗,∗ (A), b + B̂, ∆)−−∞→ˆ−Iˆ n является блочной верхнетреугольной матриДобавка к дифференциалу ∆цей следующего вида0n+1 Jn δn In Jn δn Sn−1 δn−1 In−1···Jn−1 δn−1 In−1 Jn−1 δn−1 Sn−2 δn−2 In−2 · · ·,Jn−2 δn−2 In−2···(10)...J0 δ0 I0где 0n+1 обозначает нулевую матрицу [ n+1] × [ n+1].22ˆБлочная диагональ матрицы ∆n начинающаяся блоком 0n+1 состоит изнулевых блоков. Следующая диагональ, начинающаяся блоком Jn δn In будемназывать “первой”.∞ˆ∞1.4.3Выделим в BC∗,∗ (A) подмодуль DC , состоящий из вырожденныхэлементов.

Мы уже видели, что b и B̂ переводят вырожденные наборы в выˆ ∞ намрожденные. Чтобы установить, что DC ∞ является подкомплексом BCˆ переводит вырожденные элементы в вырожденные.остается доказать, что ∆Элемент любого блока матрицы (10) состоит из композиции операторов перестановок N , t, y и вырождений s̃.

Характеристики

Список файлов диссертации