Бивариантные когомологии с симметриями (1102402), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Согласно основному результату главы 3 — теореме 3.6,при 1/2 ∈ k, имеют место следующие изоморфизмыHD∗+ (A, B) ∼= HC ∗ (A, B) ∼= HD∗− (A, B).Доказательство теоремы достаточно трудоемко, и ему посвящена большаячасть главы 3. Оно состоит в рассмотрении всевозможных вариантов отоб+ражений f : BD+∗,∗,∗ (A) → BD ∗,∗,∗ (B) и выделении тех из них, которые вносятнетривиальный вклад в когомологии.В пункте 3.2 отображения, перестановочные с периодичностями, описываются в виде бесконечных верхне-треугольных матриц.
Пользуясь такимпредставлением, в теореме 3.9 и следствии 3.10 получены точные последовательности, связывающие различные бивариантные когомологии с симметриями.В главе 4 вводится характер Чженя отображающий бивариантную эрмитову K-теорию ε K(A, B) в нулевую компоненту бивариантных диэдральныхкогомологий.В пункте 4.1 приводится построение бивариантной эрмитовой K-теорииK(A,B) (см. [28]) для пары алгебр с инволюциями (ε — единица основногоεкольца k с условием εε = 1).Назовем ε-эрмитовым A-B-модулем A-B-бимодуль M (то есть M — левыйA-модуль и правый B-модуль, причем правое и левое действия согласованы),снабженный невырожденной полуторолинейной формой hh(y, x) = εh(x, y).Если существует другой ε-эрмитов k-B-модуль (M 0 , h0 ), такой что0 1n002n(M, h) ⊥ (M , h ) = (B ,)ε1n 0для некоторого n, то (M, h) называется проективным ε-эрмитовым A-Bмодулем.
Проективные ε-эрмитовы A-B-модули образуют категорию ε HRep(A, B),группа Гротендика которой и называется бивариантной эрмитовой K-теориейε K(A, B)= K0 (ε HRep, ⊥).Значение бивариантного диэдрального характера ЧженяDch : ε K(A, B) → HD+0 (A, B),на ε-эрмитовом A − B-модуле (P, h) ∈ ε HRep(A, B) определяется в п. 4.2 каккогомологический класс композиции отображенийT r\ ◦ µ\ ◦ λ\P : BD∗,∗,∗ (A) → BD∗,∗,∗ (B).11Отображение инволютивных алгебрλP : A → EndB Pзадается левым модульным действием алгебры A.Отображение µ строится как композицияφ→φ⊕0Ad uµ : EndB P −−−→EndB P ⊕ EndB Q−−−→M2n (B),гдеu : (P, h) ⊥ (Q, h ) ∼= (B ,02n0ε1n1n),0изометрия, существование которой следует из определения ε HRep(A, B); M2n (B)обозначает алгебру квадратных 2n × 2n матриц над B, а отображение Ad uдействует на эндоморфизмах сопряжением с помощью u.ОтображениеT rnr : Mr (A)⊗n → A⊗n(обобщенный след) задается формулойT rnr (m0 a0 ⊗ m1 a1 ⊗ · · · ⊗ mn an ) = T r(m0 · m1 .
. . mn )a0 ⊗ a1 · · · ⊗ an ,где mi ∈ Mr (k), ai ∈ A.Знак \ означает, что отображение заданное на уровне алгебр A1 → A2(как µ и λ) или на уровне столбцов BD∗,∗,∗ -комплексов CH∗ (A1 ) → CH∗ (A2 )(как T r) распространяется на весь BD∗,∗,∗ -комплексBD∗,∗,∗ (A1 ) → BD∗,∗,∗ (A2 ).Основным результатом главы 4 является теорема 4.2, утверждающая, чтокласс Dch(P, h) в диэдральных бивариантных когомологиях не зависит отвыбора отображения u и числа n, участвующих в определении отображенияµ.
Доказательство проводится в несколько этапов (предложение 4.3, следствие 4.4, предложение 4.5) и существенно использует следующую деформационную ретракцию, построенную Р. Маккарти [37]:\Tr−−−−CH∗ (A)←CH∗ (Mr (A)); Φ,−−ι\ →pгде ιp : A → Mr (A) отображение ставящее в соответствие элементу a ∈ Aматрицу с единственным ненулевым элементом a на (p, p)-ом месте.Глава 5 посвящена явному вычислению (ко)гомологий с симметриямиразличных типов (циклические, периодические и т. д.).
В качестве основногопримера рассматривается кольцо√Ad = Z(Q[ d])12целых элементов квадратических расширений рациональных чисел, то естькольцо корней уравненийx2 + px + q = 0,√вида a d + b, где p, q ∈ Z, а a, b ∈ Q.В пункте 5.1 в матричной форме вычисляются дифференциалы циклического комплекса BC(Ad ). В предложениях 5.1 и 5.2 обосновывается алгоритмприведения матриц дифференциалов к диагональному виду и вычисляютсясоответствующие диагональные элементы. Результаты вычислений сформулированы в теореме 5.5, утверждающей, что циклические гомологии кольцаAd вычисляются по формуламHC2n (Ad |Z) ∼= Z ⊕ Z,HC2n+1 (Ad |Z) = Z/g1 Z ⊕ · · · ⊕ Z/gn Z,при d = 4k + 1,HC2n+1 (Ad |Z) = Z/g1 Z ⊕ · · · ⊕ Z/gn Z ⊕ (Z/2Z)n ,при d = 4k + 3 или d = 4k + 2, где gi =kk−1Vi = (d , dak , ..., dk−iiYVi,Vi−1ak−j+1 , ...,j=1kYaj ),ai = 2i − 1.j=1Круглые скобки обозначают наибольший общий делитель.В предложении 5.6 показано, что система базисов, в которых матрицыдифференциалов имеют диагональный вид (построенные в предложении 5.3)удовлетваряет условию Миттаг-Леффлера, и, как следствие, получаются явные формулы для вычисления периодических циклических гомологий (теорема 5.7).Пункт 5.3 посвящен вычислению бивариантных периодических когомологий пары колец Ad1 , Ad2 (теорема 5.8).
В доказательстве используютсярезультаты п. 5.1.В пунктах 5.4 и 5.5 вычисления,приведенным в п. 5.1 про√ аналогичные√делываются для кольца AD = Z(Q[ D, −1]), где D ∈ Z[i] — элемент кольцагауссовых чисел Γ = Z[i].В пункте 5.4 в зависимости от D строится базис кольца AD как Γ-модуля(теорема 5.12). В пункте 5.5 в матричном виде вычисляются дифференциалыциклического комплекса BC(AD ).
Пусть D = d1 +id2 . Результаты вычисленийсформулированы в теореме 5.14, утверждающей, что циклические гомологииалгебры AD задаются формуламиHC2n (AD |Γ) = Γ ⊕ Γ,13HC2n−1 (AD |Γ) = Γ/g 1 Γ ⊕ · · · ⊕ Γ/g n Γ ⊕ (Γ/2Γ)n ,при d2 = 2k + 1,HC2n−1 (AD |Γ) = Γ/g 1 Γ ⊕ · · · ⊕ Γ/g n Γ,при {d1 , d2 } = {4k + 1, 4l},Γ/g 1 Γ ⊕ · · · ⊕ Γ/g n Γ ⊕ (Γ/(i + 1)Γ ⊕ Γ/(i + 1)Γ)n ,при {d1 , d2 } = {2k + 1, 4l + 2}, где g i =kV i = (D , Dk−1ak , ..., Dk−iiYVi,V i−1ak−j+1 , ...,j=1kYaj ),ai = 2i − 1.j=1Как и ранее, круглые скобки обозначают наибольший общий делитель.Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались насеминаре "Алгебраическая топология"под руководством М. М.
Постникова,Ю. П. Соловьёва, А. В. Чернавского, на семинаре "Геометрические методы"под руководством А. Т. Фоменко, на семинаре математического факультета университета Б. Паскаля (Клермон-Ферран, Франция).Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двухработах автора1.Солодов Н.
В. О циклических гомологиях некоторых колец алгебраическихчисел// Вестник МГУ. Серия I. Математика, механика — 2000 г.— No 6. —С. 56-592.Солодов Н. В. Бивариантные диэдральные когомологии// Вестник МГУ.Серия I. Математика, механика — 2003 г.— No 2. — С. 54-58Кроме того, по теме диссертации опубликован препринтSolodov N. V. Cohomologies bivariantes de type cyclique//Prépublication del’Université Blaise Pascal, Clermont-Ferrand (France), 2003.Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Юрию Петровичу Соловьеву за постановку задачи и за неустанную иблагожелательную поддержку на всех этапах работы над диссертацией.1411.1Основные конструкцииГомологии Хохшильда1.1.1Пусть A – унитальная алгебра над коммутативным кольцом k. Обозначим через A⊗n n-ую тензорную степень A и через(a0 , a1 , · · · , an ) = a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ anмономиальный элемент A⊗n+1 .Определение 1.1 Гомологиями Хохшильда HH ∗ (A) алгебры A называются гомологии комплексаCH∗ (A):bbbA←−−A⊗2 ←−−A⊗3 ←−−...,где A⊗n обозначает n-тую тензорную степень алгебры A, а дифференциалзадается формулойb(a0 , a1 , · · · , an ) =n−1X=(−1)i (a0 , · · · , ai−1 , ai · ai+1 , · · · , an ) + (−1)n (an · a0 , a1 , · · · , an−1 ).i=0Выделим в CH∗ (A) подкомплекс D∗ (A) = (Dn (A), b) порожденный мономамиa0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ an такими, что среди элементов {a1 , · · · , an } есть хотя бы одинравный единице.
Заметим, что D∗ (A) стягиваем. В работе [21] показано, чтоD∗ (A) стягиваем и построена стягивающая гомотопия h.Таким образом, гомологии Хохшильда определяются эквивалентно исходя из комплексаCH∗ (A) = CH∗ (A)/D∗ (A):⊗2bbbA←−−A ⊗ A←−−A ⊗ A ←−−...,где A = A/k.Рассмотрим некоторые другие способы определения гомологий Хохшильда.op1.1.2Прежде всего, HH n (A) = TorA⊗A(A, A); при таком подходе комnплекс CH∗ (A) получается из бар-резольвентыBar∗ (A):000b−A ⊗ A ⊗ A←b−A ⊗ A ⊗ A ⊗ A←b− . . . ,−−A ⊗ A←−а CH∗ (A) из нормализованной бар-резольвентыBar∗ (A):000b−A ⊗ A ⊗ A←b−A ⊗ A ⊗ A ⊗ A←b− .
. . ,A ⊗ A←−−−15при помощи тензорного умножения на A, рассматриваемого как A ⊗ Aop модуль. Оператор b0 отличается от определявшегося выше оператора b отсутствием последнего слагаемого: b = b0 + bn ,0b (a0 , a1 , · · · , an ) =n−1X(−1)i (a0 , · · · , ai−1 , ai · ai+1 , · · · , an ),i=0bn (a0 , a1 , · · · , an ) = (−1)n (an · a0 , a1 , · · · , an−1 ).Рассмотрим аугментированные бар-резольвентыBar+∗ (A):+0b−Bar (A) и Bar (A):A←−∗∗0b−Bar (A).A←−∗Заметим, что стягивающей гомотопией для них является оператор s,s(a0 , a1 , · · · , an ) = (1, a0 , a1 , · · · , an ).Выполнение условия sb0 + b0 s = 1 проверяется простым вычислением.1.1.3Рассмотрим градуированную алгебру некоммутативных дифференциальных форм над алгеброй A:∗Ω (A) =∞MΩi (A),i=0где Ω0 (A) = A, A-бимодуль Ω1 (A) порожден символами вида da, где a ∈ A,причем выполнены следующие соотношенияd1 = 0,(4)d(ab) = da · b + a · db,(5)d(αa + βb) = αda + βdb,α, β ∈ k,a, b ∈ A;(6)НаконецΩn (A) = Ω1 (A) ⊗A · · · ⊗A Ω1 (A).Умножение в Ω∗ (A) задается присоединением:00(ω1 , ω2 , .
. . , ωn ) · (ω10 , ω20 , . . . , ωm) = (ω1 , ω2 , . . . , ωn , ω10 , ω20 , . . . , ωm),где ωi , ωi0 ∈ Ω1 (A). Используя соотношения (4)-(6) любой элемент Ω∗ (A) можно переписать в виде линейной комбинации мономов a0 da1 da2 . . . dan . Каж⊗nдому такому моному можно однозначно сопоставить элемент A ⊗ A :τ:a0 da1 da2 . . . dan ←→ (a0 , a1 , a2 , . . . , an ),16при этом левое модульное действие сохраняется и значит, Ωn (A) изоморфен⊗nA ⊗ A как левый A-модуль. Правое A-модульное действие на Ωn (A) имеетследующий вид:a0 da1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
