Бивариантные когомологии с симметриями (1102402), страница 2
Текст из файла (страница 2)
обладает единицей), то, как было установленов [36], комплекс T ot∗ CC(A) квазиизоморфен комплексу T ot∗ BC(A), где...byBC ∗,∗ (A) :...byA⊗AbyA⊗Aby⊗3 B←−− A ⊗Aby⊗2 B...by⊗2 BB←−− A ⊗ A ←−− AbyB←−− A ⊗ A ←−−byBA⊗ A ←−−byA...byA,(2)Aгде A = A/k, аB(a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ an ) =nX(−1)i 1 ⊗ ai ⊗ ai+1 · · · ⊗ an ⊗ a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ ai−1 .i=0Первоначально, в работах А.
Конна, циклические гомологии определялись как гомологии одномерного комплекса C∗λ (A) (см. 1.2.4). При этом рассматривались алгебры над полем нулевой характеристики, и в этом случаекомплексы T ot∗ CC(A), T ot∗ BC(A) и C∗λ (A) оказываются квазиизоморфными(см. [36], [31]). Приведенное нами определение циклических гомологий припомощи бикомплекса (1) является наиболее общим и в настоящее время общепринятым.В 1986-88 годах, в работах Р. Л. Красаускаса, С. В.
Лапина и Ю. П. Соловьева [9] [10] [7] [8], для алгебры A с инволюцией : A → A были введеныдиэдральные гомологии HDε∗ (A) (где ε = −1, 1) как гомологии комплекса6T ot∗ CDε (A). Ассоциированный с ним трикомплекс CDε (A) имеет вид...1−yy∗(A, b)1+yy...−1−yty1−t←−− (A∗ ,−b0 ) ←N−−−1+yty1−t(A∗, −b) ←−−1−yy(A∗ , b)...1+yy∗(A, b)1−yy...−1+yty1−t←−− (A∗ ,−b0 ) ←N−− · · ·−1−yty1−t(A∗, b0 ) ←N−− (A∗, −b) ←−−−1−yt1+yyy1−t←−− (A∗ , −b0 ) ←N−−(A∗ , b)(A∗, b0 )←N−− · · ·−1+yty1−t←−− (A∗ , −b0 ) ←N−− · · · ,где A∗ обозначает градуированный модуль с i-ой компонентой A⊗i ,1yn (a0 ⊗ a1 ⊗ . .
. ⊗ an ) = (−1) 2 n(n+1) εa0 ⊗ an ⊗ an−1 ⊗ . . . ⊗ a1 ,а операторы b, b0 , N и t определялись выше.Гомологии получающиеся при ε = 1 называются положительными, а приε = −1 отрицательными диэдральными гомологиями.В [10] авторами были исследованы основные свойства диэдральных гомологий, в том числе длинные точные последовательности, связь с эрмитовойK-теорией и т.д.Построение диэдральных гомологий существенно использует инволютивную структуру алгебры.
В простейшем случае, когда элемент 2 обратим восновном кольце, циклические гомологии распадаются в прямую сумму положительных и отрицательных диэдральных гомологий (теорема 3.1).Следующим шагом разработки и обобщения конструкции циклическихгомологий явились бивариантные циклические когомологии определяемыедля пары алгебр A и B (обозначение HC ∗ (A, B)). Они были введены Дж. Джонсом и Кр.
Касселем [29] как гомологии комплекса отображений видаf : T ot BC ∗,∗ (A) → T ot BC ∗,∗ (B)удовлетворяющих дополнительным условиям, смысл которых состоит в сохранении периодичностей диаграмм бикомплекса BC ∗,∗ .Бивариантным циклическим гомологиям посвящены работы Кр. Касселя [30], [31] (в них, в частности, построен бивариантный характер Чженя),Ф. Нусса [39], Й. Кунца и Д.
Квиллена [20] и другие. П. Гуррола [28], распространил построения [30], [31] (в том числе и конструкцию бивариантногохарактера Чженя) на случай бивариантных кватернионных когомологий (см.п. 2.4).Методика исследования. При доказательстве многих утверждений диссертации (предложения 1.1, теорем 1.3 и 1.4, теорем 3.1 и 3.4 и т.д.) существенно используется так называемая “лемма о возмущении” (теорема A.2),7смысл которой состоит в следующем (обсуждение вариантов формулировкилеммы и ее доказательство приводится в приложении A).Пусть для комплексов (L, dL ) и (M, dM ) заданы морфизмы комплексовf:M → L,∇:L→Mи гомотопия h комплекса (M, dM ), такие чтоf ∇ = idL ,dh + hd = ∇f − idM ,h∇ = f h = hh = 0.(3)Набор данных (L, M, f, ∇, h) удовлетворяющий условиям (3) называется специальной деформационной ретракцией и обозначается символическиf−−−−(M, dM ; h);(L, dL )←−−∇→говорят также, что комплекс (M, dM ) стягивается к комплексу (L, dL ), или,если комплекс L — нулевой, говорят, что комплекс (M, dM ) стягиваем.Пусть δ — возмущение дифференциала d, то есть такое отображение δ :M∗ → M∗−1 , что dˆ = δ + d снова является дифференциалом (δ + d)2 = 0, ипусть для любого x ∈ M существует натуральное число n такое что (hδ)n = 0(условие локальной нильпотентности).
Тогда существуют операторы dˆ∞ , fˆ∞ ,ˆ ∞ , ĥ∞ (процедура их построения описана в п. A.2), такие что∇fˆ∞ˆ ĥ∞ )−−−(M, d;(L, dˆ∞ )←−−ˆ−→∇∞будет специальной деформационной ретракцией.Основные результаты. Настоящая диссертация посвящена дальнейшему развитию “бивариантной” теории. Получены следующие основные результаты.1. Систематически записаны деформационные ретракции между парамикомплексов CC и BC ([31]), CQ и BQ ([28]) и построены деформационныеретракции между комплексами CD и BD (теорема 1.3).2.
Разработана теория комплексов с периодичностями (пп. 2.1, 2.2); в частности, получены точные последовательности выражающие взаимосвязикомплексов с периодичностями одного типа (теоремы 2.4, 2.5).3. Определены бивариантные когомологии пар комплексов с с периодичностями одного типа (п.2.3); в частности, определены бивариантныедиэдральные и рефлексивные когомологии для алгебр с инволюциями,над произвольным коммутативным кольцом (п.2.4).4. Установлено, что бивариантные когомологии, соответствующие бикомплексам CD∗,∗,∗ и BD∗,∗,∗ будут изоморфны (теоремы 1.3 и 2.7), а приусловии 1/2 ∈ k изоморфными будут бивариантные когомологии, соответствующие BC +∗,∗ и BQ∗,∗ (теоремы 3.4 и 2.7).85.
При 1/2 ∈ k установлен изоморфизмHD∗+ (A, B) ∼= HC ∗+ (A, B) ⊕ HC ∗− (A, B) ∼= HD∗− (A, B) ∼= HC(A, B)(теорема 3.6).6. Построены точные последовательности, связывающие различные типыкогомологий с симметриями (теорема 3.9).7. Построен бивариантный диэдральный характер Чженя, отображающийгруппой бивариантной эрмитовой K-теории ε K(A, B) (см. определение4.2) в нулевую компоненту диэдральных бивариантных когомологий.8. Явно вычислены циклические, циклические периодические гомологии√ ициклические бивариантные периодическиекогомологии кольца Z(Q[ d])√ √и циклические гомологии Z(Q[ D, −1]), где d ∈ Z, D ∈ Z[i].Обзор содержания диссертации. Глава 1, имеющая вводный характер, посвящена построению основных примеров гомологических теорий ссимметриями: циклических, диэдральных, кватернионных и рефлексивныхгомологий.
Используемые для определений комплексы приводятся к наиболее простому виду. Основной результат главы (теорема 1.3) — редукциядиэдрального трикомплекса CD∗,∗,∗ (A) к меньшему: BD∗,∗,∗ (A).В пунктах 1.1 и 1.2 обсуждаются различные подходы к определению гомологий Хохшильда и циклических гомологий: производные функторы, некоммутативные дифференциальные формы, простейшие геометрические интерпретации. В явном виде приводится деформационная ретракция комплексаCC(A) к BC(A). В пункте 1.3 циклические гомологии рассматриваются какчастный случай гомологий с коэффициентами в скрещенной симплициальной группе.
Здесь же вводятся диэдральные, кватернионные и рефлексивныегомологии алгебр.В пунктах 1.4 и 1.5 введенные в п. 1.3 комплексы CD±∗,∗,∗ (A) и CQ∗,∗ (A),определяющие (соответственно) диэдральные и кватернионные гомологииалгебры A, заменяются эквивалентными и более удобными для вычисленийкомплексами BD±∗,∗,∗ (A) (см. п. 1.4) и BQ∗,∗ (A) (см. п.
1.5) (это составляетутверждение теорем 1.3 и 1.4).В главе 2 рассматривается общий случай комплексов с периодичностями, изучаются их основные свойства и вводятся бивариантные когомологиикомплексов с периодичностями (бивариантные когомологии с симметриями).Будем говорить, что комплекс (C∗ , d) обладает периодичностью степениm, если задано эпиморфное отображение P : C∗ → C∗+m , изменяющее градуировку на m и коммутирующее с дифференциалом d (определение 2.1).Комплексами с периодичностями являются, в частности, “циклические”комплексы: CC ∗,∗ (A) и BC ∗,∗ (A); “кватернионные” комплексы: CQ∗,∗ (A), BQ∗,∗ (A);“диэдральные” комплексы: BD∗,∗,∗ (A), CD∗,∗,∗ (A); “рефлексивный” комплекс:9CR∗,∗ (A), (см. п. 2.1). Например, периодичностью комплекса BC ∗,∗ (A) является отображение S степени −2, состоящее в “вычеркивании” первого столбца(см.
диаграмму (2)).Деформационная ретракция называется совместимой с периодичностями,если задающие ее операторы коммутируют с операторами периодичностей.В предложениях 2.1, 2.2 и 2.3 доказывается, что деформационные ретракции между циклическими, кватернионными и диэдральными комплексами,построенные в пп. 1.2, 1.4 и 1.5 совместимы с соответствующими периодичностями.В пункте 2.2 доказаны простейшие свойства комплексов с периодичностями, выраженные на языке точных последовательностей (теоремы 2.4, 2.5);как частные случаи получаются точная последовательность Конна вциклических гомологиях, точная последовательность в диэдральных гомологиях инекоторые другие точные последовательности.Пункт 2.3 посвящен введению бивариантных когомологий для пары комплексов L = (L∗ , dL ) и M = (M∗ , dM ) с набором периодичностей P = {P1 , ..., Pn }.По определению, это гомологии комплекса составленного из отображенийкомплекса L в комплекс M (отображения рассматриваются как морфизмыградуированных модулей) перестановочных с операторами периодичностейP:HomP (L∗ , M∗ ) = {f : L∗ → M∗ | f Pi = Pi f }.Здесь же (предложение 2.6 и теорема 2.7) доказывается, что так определенные бивариантные когомологии не меняются при замене комплексов надругие, стягиваемые к исходным, если соответствующие деформационныеретракции совместимы с периодичностями.В пункте 2.4 общие конструкции п.
2.3 применяются к циклическим, диэдральным, кватернионным и рефлексивным комплексам, и, тем самым, мыполучаем определения бивариантных циклических (обозначение HC ∗ (A, B)),диэдральных (обозначение HD∗ε (A, B), где ε = 1, −1), кватернионных (обозначение HQ∗ (A, B)) и рефлексивных (обозначение HR∗ (A, B)) когомологийпары алгебр A, B.
В пункте 2.5 в бивариантных когомологиях с симметриямивводится произведение.Глава 3 посвящена исследованию конструкций глав 1 и 2 в случае, когдаэлемент 2 основного кольца обратим. Построения значительно упрощаются.Так, гомологии Хохшильда распадаются в прямую сумму положительныхи отрицательных рефлексивных гомологий (теорема 3.3) циклические гомологии распадаются в прямую сумму положительных и отрицательных диэдральных гомологий (теорема 3.1). Кватернионные гомологии стягиваютсяк положительным диэдральным (теорема 3.4), причем деформационная ретракция оказывается совместимой с "кватернионными” периодичностями, и,значит, соответствующие бивариантные когомологии изоморфны (следствие3.5). Несколько иная ситуация складывается с бивариантными диэдральны10ми когомологиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
