Бивариантные когомологии с симметриями (1102402), страница 15
Текст из файла (страница 15)
. . (всего n слагаемых)ĥn = h − hδh + hδhδh − . . . (всего n слагаемых)fˆn = f − f δh + f δhδh − . . . (всего n слагаемых)ˆ n = ∇ − hδ∇ + hδhδ∇ − . . . (всего n слагаемых)∇dˆLn = dL + f δˆn ∇Теорема A.2 (Лемма о возмущении) [15],[27]а)Пустьf−−−−M ; h,L←−−∇→92специальная деформационная ретракция M к L, δ — возмущение дифференциала d. Тогда, пользуясь введенными выше обозначениями,fn dˆ − dˆLn fn = 0dLn dLn = 0ˆ n − ∇n dˆL = 0d∇n(mod I n ),(mod I n ),ˆ n fˆn + idL = 0(mod I n ),dˆn (ĥn ) = dˆn ĥn + ĥn dˆn − ∇ˆ n − idL = fˆn ĥn = ĥn ∇ˆ n = ĥn ĥn = 0.fˆn ∇По-другому говоря,(mod I n ),fˆnˆ hn )−−−(M, d;(L, dˆLn )←−−ˆ−→∇nявляется специальной деформационной ретракцией по модулю I n .б) Если для любого x ∈ M существует натуральное число n такое что(hδ)n = 0 (или, эквивалентно, для любого x ∈ M существует натуральное m такое что (δh)m = 0), то корректно определен оператор dˆL∞ принимающий на элементе x значение lim dˆLn (x) и операторы fˆ∞ = lim fˆn (x),n→∞n→∞ˆ ∞ = lim ∇ˆ n (x) и ĥ∞ = lim ĥn (x), причем∇n→∞n→∞fˆ∞ˆ h∞ )−−−(M, d;(L, dˆL∞ )←−−ˆ−→∇∞является специальной деформационной ретракцией.Доказательству предпошлем следующую простую лемму, сводящую стягивание одного модуля к другому к стягиванию подмодулей.Лемма A.3 Пусть (C∗ , d) дифференциально-градуированный модуль, h : C∗ →C∗ отображение степени −1, причем h2 = 0 и hdh = h.
Тогда D = hd + dh =d(h) — проектор и (C∗ , d) = (Ker D, d)⊕(Im D, d), причем комплекс (Im D, d)входящий в прямую сумму ацикличен. Эквивалентно,1−D−−−−C ; h(Ker D, d)←−−1→ ∗является специальной деформационной ретракцией.Доказательство.D2 = (hd + dh)(hd + dh) = hdhd + hd2 h + dh2 d + dhdh = D.Далее,d(dh + hd) = dhd = (hd + dh)d,и, следовательно, операторы D и D − 1 являются морфизмами комплексови дополнительными проекторами. Доказательство леммы о возмущении.
Пункт а) теоремы A.2 являетсячастным случаем пункта б).93б) Введенные выше операторы h, d, ∇, f , δ, fˆ, δ̂hh = 0,hdh = h(∇f − id − hd) = h,ĥĥ = 0,ĥdˆĥ = ĥ(d + δ)ĥ = (h − hδh + hδhδh − . . .)(d + δ)(h − hδh + hδhδh − . . .),учитывая, что hdh = h получаемĥdˆĥ = ĥ(1 − δh + δhδh − . . .) + ĥ(δh − δhδh + . . .) = ĥ.ˆ ĥ применима лемма A.3. ПриТаким образом, к наборам (M, d), h и (M, d),этом получаются специальные деформационные ретракцииππ̂ˆ ĥ)←−−−−M ; h и Ker d(−−−−M ; ĥ,Ker d(h)←−−−−1→1→ˆ ĥ).где π = 1 − d(h) = ∇f , а π̂ = 1 − d(Докажем несколько вспомогательных тождествhh = hĥ = ĥh = ĥĥ = 0,πh = ∇f h = 0,hπ = h∇f = 0;π̂h = (1 − dh − hd)h = 0 = h(1 − dh − hd) = hπ̂,ˆ ĥ = 0 = ĥ(1 − dˆĥ − ĥd)ˆ = ĥπ̂;π̂ ĥ = (1 − dˆĥ − ĥd)В двух последних тождествах мы воспользовалось тем, что hdh = h и ĥdˆĥ =ĥ.
Далееˆ =πππ̂π = π(1 − dˆĥ − ĥd)πпо предыдущему, и аналогично π̂ππ̂ = π̂ и, таким образом, π и π̂ оказываются взаимнообратными изоморфизмами модулей Im π и Im π̂. Хотя, вообще говоря, они не являются морфизмами комплексов. Ввиду того, что Im πизоморфен (как комплекс) комплексу (L, dL ) (ибо π = ∇f , и значит π коммутирует с дифференциалами) и наличия изоморфизма между Im π и Im π̂,мы можем снабдить L новым дифференциалом, взятым из Im π̂:πf−−−− Im π ←−−−− Im π̂.L←−−−−∇→π̂ →Руководствуясь приведенной диаграммой определим∇0 = π̂∇,f 0 = f ππ̂,ˆd0L = f π dπ̂∇.ˆ Для завершения доказательстваПри этом (L, d0L ) будет изоморфен (Im π̂, d).0леммы нам остается проверить, что ∇ = ∇, f 0 = f и d0L = dˆL .
Действительно,ˆ =∇0 = π̂∇ = (1 − dˆĥ − ĥd)∇ˆ − dˆĥ∇ = ∇ − ĥd∇ˆ =∇ˆ − ĥd∇ = ∇ˆ − ĥ∇dL = ∇ˆ= ∇ − ĥd∇94f 0 = f ππ̂ = f (1 − dh − hd)π̂ =ˆ == (f − f dh)π̂ = (f − dL f h)π̂ = f π̂ = f (1 − dˆĥ − ĥd)= f − f δ ĥ − f dĥ = f − f δ ĥ − dL f ĥ = f − f δ ĥ = fˆd0L = f π(d + δ)π̂∇ = (как и в предыдущей выкладке) =ˆ = dL f ∇ˆ + f δ∇ˆ == f (d + δ)π̂∇ = f (d + δ)∇ˆ = dL + f (δ − δhδ + δhδhδ)∇ = d0L= dL f ∇ + f δ ∇Теорема доказана. Рассмотрим следующие частные случаи леммы о возмущении.Предложение A.4 (ср. лемма 2.1.6 [34]) Пусть комплекс (X∗ , D) распадается как k-модуль в прямую сумму X∗0 и X∗00 :α β000(X∗ , D) = (X∗ ⊕ X∗ ,),γ δПричем δ 2 = 0. Пусть h — стягивающая гомотопия для комплекса (X 00 ∗ , δ),тогдаf0−−−−(X 0 ∗ , α − βh0 γ)←−−g →(X∗ , D; h ),где h0 = hδh, а отображения f и g заданы матрицами10f = (1, −βh )g=.−h0 γЗамечание.
Гомотопию h0 можно переписать в виде h0 = h − h2 δ.Пусть как и в предложении A.4 X∗ = X∗0 ⊕ X∗00 . Предположим, что комплекс X∗ снабжен возрастающей, ограниченной снизу фильтрацией F∗ X, тоесть[Fn X = X.0 = F0 X ⊂ F1 X ⊂ . . .иnПредположим далее, что дифференциал D комплекса X∗ представляется вматричной форме как d1 + α0d1 0α 0D==+γd2 + δ0 d2γ δ(как следствие (X∗00 , D) — подкомплекс), причем первое слагаемое сохраняетфильтрациюd1 0: Fn X → Fn X,0 d2а второе уменьшаетα 0: Fn X → Fn−1 X.(54)γ δСледующий частный случай леммы о возмущении представляет собой модификацию леммы 1.3 [32].95Предложение A.5 Сохраняя введенные обозначения, предположим дополнительно, что d21 = d22 = 0 (то есть что (X∗0 , d1 ) и (X∗00 , d2 ) — цепные комплексы), и что (X∗00 , d2 ) стягиваем со стягивающей гомотопией h.
Тогдаf−−−−(X∗ , D; ĥ)(X∗0 , d1 + α)←−−∇→является специальной деформационной ретракцией. Морфизмы f , ∇ и гомотопия ĥ задаются матрицами000∞∞XX(1, 0),(hδ)i γ ,0h(δh)ii=0i=0соответственно.Замечание. Условие (54) можно заменить на более слабое: δ уменьшаетфильтрацию, то есть0 0: Fn C → Fn−1 C.0 δ96BПриложение: Гауссовы числаОпределение B.1 : Гауссовыми числами называют множество целых комплексных чисел: Γ = {a + bi | a, b ∈ Z}, являющееся кольцом относительнообычных операций сложения и умножения.Четыре гауссова числа: {1, −1, i, −i} являются единицами, т.е.
делят всеэлементы Γ.Элемент γ ∈ Γ делящийся только на единицу и на самого себя называетсяпростым.Теорема B.1 Любая пара ненулевых гауссовых чисел a, b имеет ровно 4наибольших общих делителя: {z, −z, iz, −iz}. Их обозначают через (a, b).Теорема B.2 Гауссовы числа a, b взаимно просты тогда и только тогда,когда существуютu, v ∈ Γ : au + bv = 1Теорема B.3 Если a, b, c ∈ Γ,делит c.a , b взаимно просты и b делит ac, то bТеорема B.4 Число γ ∈ Γ является простым лишь в следующих трех случаях:1.
γ = 1 + i2. γ = a + bi причем (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 = p, где p целое простое вида4n + 1.3. γ = p, где p целое простое вида 4n − 1.Теорема B.5 Каждый элемент γ ∈ Γ раскладывается на простые множители, причем, такое разложение единственно с точностью до порядкамножителей и умножения на единицу.Теорема B.6 Пусть p – целое простое число. Тогда p имеет вид 4n + 1 втом и только том случае если существуют a, b ∈ N такие что a2 + b2 = p.Доказательство этих стандартных утверждений можно найти, например,в [40].Модуль гауссова числа понимается в смысле комплексных чисел: |z|2 =2a + b2 .Предложение B.7 Если d = a + bi, d ∈ Γ свободно от квадратов (средиделителей нет квадратов неединиц) и |d| делится на p, простое целое, тоp|a и p|b.97Доказательство: Если p = 4n − 1 и p|(a + bi)(a − bi) то поскольку p просто, pделит один из двух множителей, а следовательно и другой (т.к.
они являютсясопряженными и их делители также сопряжены, но p̄ = p). Откуда p|a и p|b.Если p = 4n + 1 и p | |d|, то по теореме B.6 существуют p1 и p2 такие чтоp = (p1 + p2 i)(p1 − p2 i) и (p1 + p2 i)2 (p1 − p2 i)2 делит |d|2 = (a + bi)(a − bi).Следовательно, по теореме B.5 либо (p1 + p2 i)(p1 − p2 i) = p|(a + bi) и, как иранее p|(a − bi) и p|a, p|b, либо (p1 − ip2 )2 делит один нз двух множителей,и мы приходим к противоречию с тем что a + bi (а следовательно и a − bi)свободны от квадратов.Остается рассмотреть случай p = 2:22 |(a + bi)(a − bi) ⇒ i2 (1 − i)4 |(a + bi)(a − bi)и значит d не может быть свободно от квадратов.Предложение доказано.Предложение B.8 Пусть γ = a + bi ∈ Γ, тогда Z-модуль Γγ = Γ/γΓизоморфен Zk(a2 +b2 ) ⊕ Zk где k = (a, b).Доказательство: Геометрически Γγ можно представить в виде множестваточек с целыми координатами внутри квадрата, построенного на векторах(a, b) и (−b, a).Если γ = j ∈ Z, то Γγ ∼= Zj ⊕ Zj (обе координаты можно разделить состатком j).
Иначе, легко подсчитать, что порядок Γγ равен k 2 (a2 + b2 ).Пусть гомоморфизмφ : Γγ → Zkтакой что φ(g1 + ig2 ) = g2 (modk) (здесь g2 обозначает класс вычетов помодулю k). Корректность определения очевидна:φ(g1 + ig2 + γ(c + id)) ≡ φ(g1 + ig2 )(mod k)Несложно видеть, что ядроKer(φ) = {g1 + ig2 ∈ Γγ | k делит g2 }является циклической подгруппой Γγ порожденной единицей. Действительно, если g1 + ig2 k ∈ Γγ и ua + vb = 1, тоg2 ub − g2 va + g1 ∼ g2 ub − g2 va + g1 + i(a + ib)ug2 + (a + ib)vg2 == g1 + i(au + bv)g2 = g1 + ig2 k222Порядок Ker(φ) равен k(a2 + b2 ) = k (ak+b ) .Долее, каждый элемент Γγ записывается как линейная комбинация 1 и i;мы видели, что порядок 1 есть k(a2 + b2 ); аналогично можно показать, чтои i имеет тот же порядок. Значит порядок каждого элемента g ∈ Γγ делитсяна k(a2 + b2 ).
Одну подгруппу этого порядка (Ker(φ)) мы уже предъявили,кроме того Γγ /Ker(φ) ∼= Zk . Откуда и следует требуемый результат.98Список литературы[1] Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру.—М.: Мир,1972.—160 с.[2] Браун К. С. Когомологии групп.— М.: Наука, 1987.— 384с.[3] Гильберт Д. Избранные труды, Т. 1.— М.: Факториал, 1998.— 575 с.[4] Горинов А. Г. О когомологиях двойных комплексов // Вестник Моск.Ун-та. Сер. 1, матем., мех.— 1997.— No 5.— С. 54-56[5] Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра.— М.: Издательствоиностранной литературы, 1960.— 510 с.[6] Красаускас Р.Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
