Диссертация (1102398), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Справедливо следующее утверждение [61].Теорема 7 Пусть начальное множество X̃ 0 является звездным ицентрально-симметричным относительно нуля. Тогда этими свойствами обладает множество достижимости X̃ (t; t0 , X̃ 0 ) для билинейной системы (1.26).Для упрощения обозначений далее будем считать, что начальное множество X̃исходной билинейной реализации уже является звездным и центральносимметричным.Рис. 1.3: За счет введения дополнительной переменной образ границы произвольного множества может быть вложен в границу в звездного множества сцентром в нуле.Итак, от исходной постановки задачи достижимости для системы (1.1), (1.2)мы перешли к задаче достижимости для системы (1.26), (1.30).
Предположимдалее, что методами, описанными в параграфе 1.2, были получены аппроксимации множества достижимости X̃ [t] этой системы: внешняя X̃ + [t] и внутренняяX̃ − [t]. Эти аппроксимации представляют собой множества уровня соответствующих вязкостных суб- и суперрешений уравнения (1.9) для билинейной системы(1.26):{}X̃ [t] ⊆ X̃ + [t] = x̃ ∈ Rk w̃+ (t, x̃) ≤ 1 ,{}x̃ ∈ Rm w̃− (t, x̃) ≤ 1 = X̃ − [t] ⊆ X̃ [t].42Тогда соответствующие аппроксимации исходного множества достижимостиX (t; t0 , X 0 ) определяются следующим образом:{}X [t] ⊆ X + [t] = x ∈ Rn w̃+ (t, φ(x)) ≤ 1 ,{}x ∈ Rn w̃− (t, φ(x)) ≤ 1 = X − [t] ⊆ X [t].Кроме того, пусть в условиях теорем 2 и 4 начальная точка x̄(t0 ) траектории x̄(·)билинейной системы выбрана так, что x̄(t0 ) = φ(x0 ) для некоторого x0 ∈ X 0 .Тогда из условия x̄(t) ∈ ∂ X̃ + [t] следует условие C0 x̄(t) ∈ ∂X + [t] ∩ ∂X [t], а изусловия x̄(t) ∈ ∂ X̃ − [t] следует условие C0 x̄(t) ∈ ∂X − [t] ∩ ∂X [t].Таким образом, было показано, что задача аппроксимации множеств достижимости для билинеаризуемых систем может быть решена с помощью решениясоответствующей задачи аппроксимации для билинейной системы.Однако, необходимо заметить, что функция φ(x) может иметь весьма сложныйвид, а значит оценки множества достижимости исходной системы могут иметьсложную форму, даже если соответствующие оценки множеств достижимостибилинейной системы имеют простую форму, например являются эллипсоидамиили параллелепипедами.1.5.2Задачи гарантированного оцениванияВ сформулированных в параграфе 1.1 задачах гарантированного оценивания для перехода к билинейной постановке требуется указать новое начальноемножество X̃ 0 , а также новое фазовое ограничение Y˜ (t) или Y˜i соответственно.
Предположим, что множества допустимых значений помех в уравненияхнаблюдений представляют собой множества уровня некоторых функций:R(t) = {w ∈ Rr | ψ(t, w) ≤ 1} ,(1.31)Ri = {w ∈ Rr | ψi (w) ≤ 1} .(1.32)Для восстановления исходной постановки задачи по билинеаризованной необходимо, чтобы образ φ(∂X 0 ) границы начального множества лежал на границенового начального множества X̃ 0 , а образ границы фазового ограничения — на43границе нового фазового ограничения.
Для этого, в частности, можно положить}{X̃ 0 = x̃ ∈ Rm σ(C0 x̃) + ∥x̃ − φ(C0 x̃)∥2 = σ̃(x̃) ≤ 1 ,{}Y˜ (t) = x̃ ∈ Rm ψ(t, y(t) − g(t, C0 x̃)) + ∥x̃ − φ(C0 x̃)∥2 ≤ 1 ,{}Y˜i = x̃ ∈ Rm ψi (yi − gi (C0 x̃)) + ∥x̃ − φ(C0 x̃)∥2 ≤ 1 .(1.33)(1.34)(1.35)По аналогии с тем, как это было проделано для задачи достижимости, в рассматриваемых задачах гарантированного оценивания за счет добавления фиктивной переменной можно перейти к звездным и центрально-симметричнымотносительно нуля множествам X̃ 0 , Y˜ (t) и Y˜i . Далее считаем, что такой переход уже был произведен.
Справедливо следующее утверждение [61].Теорема 8 Пусть начальное множество X̃ 0 и фазовые ограничения Y˜ (t) являются звездными и центрально-симметричными относительно нуля множествами. Тогда этими свойствами обладает также информационное множество X˜ (t; t0 , X̃ 0 ) для билинейной системы (1.26).Аналогичная теорема справедлива и в задаче с дискретными измерениями.Итак, от исходных постановок задач гарантированного оценивания для нелинейной системы (1.1), (1.2), (1.7) и (1.1), (1.2), (1.8) мы перешли к соответствующим задачам гарантированного оценивания для билинейной системы (1.26),(1.33), (1.34) и (1.26), (1.33), (1.35).
Предположим далее, что были получены аппроксимации информационного множества X˜ [t] в билинеаризованной задаче:внешняя X˜ + [t] и внутренняя X˜ − [t], представляющие собой множества уровнянекоторых функций:{}X˜ [t] ⊆ X˜ + [t] = x̃ ∈ Rm w̃+ (t, x̃) ≤ 1 ,{}x̃ ∈ Rm w̃− (t, x̃) ≤ 1 = X˜ − [t] ⊆ X˜ [t].Тогда соответствующие аппроксимации исходного информационного множества X (t; t0 , X 0 ) определяются следующим образом:{}X [t] ⊆ X + [t] = x ∈ Rn w̃+ (t, φ(x)) ≤ 1 ,{}x ∈ Rn w̃− (t, φ(x)) ≤ 1 = X − [t] ⊆ X [t].44Точно такие же формулы перехода справедливы и для оценок информационныхмножеств в задаче с дискретными измерениями.Таким образом, мы показали, что задача аппроксимации информационныхмножеств для билинеаризуемых систем также может быть решена путем решения соответствующей задачи аппроксимации для билинейной системы.Заметим, что информационные множества X [t] и X l [t] в исходной постановке могут быть несвязными.
Однако, информационные множества в итоговойбилинейной постановке являются звездными [61] и, следовательно, связными.1.5.3Задача синтеза управленийДалее рассмотрим схему решения задачи синтеза управлений для нелинейных систем, сформулированную в разделе 1.1, ограничившись случаем системлинейных по управлению и помехе:ẋ = f (x(t)) + G1 (x(t))u + G2 (x(t))v,t ∈ [t0 , t1 ].(1.36)Входом этой системы считаем вектор [uT , v T ]T . Если такая система оказаласьбилинеаризуемой, то ее билинейная реализация будет иметь вид:x̃˙ = (A0 + u1 A1 + · · · + ud1 Ad1 + v1 B1 + · · · + vd2 Bd2 )x̃.(1.37)Новое целевое множество M̃ выбирается совершенно аналогично тому, как этобыло сделано выше с начальным множеством в задаче достижимости.
Так какмежду траекториями исходной системы и определенным подмножеством траекторий ее билинейной реализации существует взаимооднозначное соответствие,которое определяется равенствамиx = C0 x̃,x̃ = φ(x),то для позиционного управления ũ(x̃), которое решает задачу синтеза для билинейной реализации, соответствующее позиционное управление, решающее исходную задачу, определяется равенством u(x) = ũ(φ(x)).Глава 2Задача достижимости длябилинейных системуправления2.1Постановка задачРассматривается билинейная управляемая системаẋ = Ax,A ∈ A (t),t ∈ [t0 , t1 ],(2.1)x(t0 ) ∈ X 0 ,(2.2)в которой x ∈ Rn — состояние системы, а A(t) ∈ Rn×n — управление. Многозначное отображение A (·) предполагается непрерывным в метрике Хаусдорфасо значениями в множестве выпуклых компактов. В этой главе будут рассмотрены следующие варианты множеств A (t).1.
A (t) — параллелепипед в пространстве матриц. В этом случае имеет место представлениеA(t) = A0 (t) + u1 A1 (t) + · · · + ud Ad (t),(2.3)в котором Aj (·) являются непрерывными функциями при j = 1, d, а функции u(·) лежат в классе L∞ ([t0 , t1 ], [−1, 1]d ).45462. A (t) — эллипсоид в пространстве матриц:{⟨⟩⟨⟩}A (t) = E (0, P (t)) = A ∈ Rn×n | A, P −1 (t) ◦ A F = A, P −1 (t)A ≤ 1 .(2.4)22Здесь P (·) является непрерывной функцией со значениями в Rn ×n ,⟨ ⟩P (t) = P T (t) ≥ 0, а ·, · F — скалярное произведение, порожденное нормой Фробениуса. Операция ◦ действует следующим образом:K ◦A=Bгде A, B ∈ Rn×n , K ∈ Rnпо строкам матрицы C:2×n2⇔KA = B,2, а вектор-столбец C ∈ Rn есть вытягивание[]TC = C11 . .
. C1n C21 . . . C2n . . . Cn1 . . . Cnn .Далее будут рассматриваться начальные множества X 0 следующих видов.1. Начальное множество X 0 задано в виде множества уровня липшицевойположительно однородной функции:X 0 = {x| σ(x) ≤ 1} .(2.5)2. Начальное множество X 0 ограничено поверхностью второго порядка:{⟨⟩}X 0 = x| σ(x) = x, X 0 x ≤ 1 ,X 0 = (X 0 )T .(2.6)3. Начальное множество X 0 представляет собой объединение конечного набора эллипсоидов:{X =0}⟨⟩0x| σ(x) = min x, Xk x ≤ 1 ,1≤k≤mXk0 = (Xk0 )T > 0.(2.7)Класс допустимых на отрезке [t0 , t] управлений U(t) состоит из измеримыхфункций A(·) таких, что A(t) ∈ A (t) почти всюду:U(t) = L∞ ([t0 , t]; A (·)).47Таким образом, множество достижимости X (t; t0 , X 0 ) в момент t из начальногомножества X 0 задается следующим равенством:{ }X (t; t0 , X 0 ) = x ∃A(·) ∈ U(t) : x(t0 ; t, x, A(·)) ∈ X 0 .Сформулируем далее задачи, которые будут рассматриваться в этой главе[26, 28, 27].Задача 7 Построить параметрические семейства внутренних и внешнихоценок{}{}+0−0Xξ (t; t0 , X ), ξ ∈ Ξ ,Xξ (t; t0 , X ), ξ ∈ Ξмножества достижимости X [t] = X (t; t0 , X 0 ) системы (2.1), (2.2), (2.3),(2.6)Xξ− [t] ⊆ X [t] ⊆ Xξ+ [t]при помощи множеств уровня квадратичных форм{ ⟨⟩}Xξ+ [t] = x x, K + (t)x ≤ 1 ,{ ⟨⟩}Xξ− [t] = x x, K − (t)x ≤ 1 .(2.8)В дальнейшем для краткости будем называть оценки такого вида квадратичными оценками.Задача 8 Построить параметрические семейства внутренних и внешнихоценок{}{}+0−0Xξ (t; t0 , X ), ξ ∈ Ξ ,Xξ (t; t0 , X ), ξ ∈ Ξмножества достижимости X [t] = X (t; t0 , X 0 ) системы (2.1), (2.2), (2.4),(2.7)Xξ− [t] ⊆ X [t] ⊆ Xξ+ [t]при помощи объединений эллипсоидов (Kj± (t) > 0)Xξ+ [t]m∪{ ⟨⟩}=x x, Ks+ (t)x ≤ 1 ,s=1Xξ− [t]m∪{ ⟨⟩}=x x, Ks− (t)x ≤ 1 .
(2.9)s=1Оценки вида (2.9) будем также называть кусочно-квадратичными.48Задача 9 Оценить изнутри множество достижимости X [t] = X (t; t0 , X 0 )системы (2.1), (2.2), (2.3), (2.5)X − [t] ⊆ X [t]при помощи множеств вида{ }X − [t] = x σ(S −1 (t0 )S(t)x) + γ(t)ψ(S(t)x) ≤ 1 .Отметим, что множество достижимости X [t], как и оценки X − [t], X + [t] вуказанных выше задачах, является центрально-симметричным и звездным относительно нуля [23, 61].Справедливо следующее утверждение (см., например, [51]).Теорема 9 Пусть функция σ(x) определена в соответствии с одной формул(2.5)-(2.7), а многозначное отображение определяется формулой (2.3) или(2.4). Тогда функция ценыV (t, x) =infA(·)∈U(t)()σ x(t0 ; t, x, A(·))непрерывна и является единственным вязкостным решением уравнения⟨⟩Vt + max Vx , Ax = 0,A∈A (t)2.2V (t0 , x) = σ(x).Квадратичные аппроксимации множеств достижимостиЭтот раздел посвящен решению задачи 7.
Рассматривается билинейная система (2.1), (2.2), (2.3), (2.6):[]ẋ = A0 (t) + u1 (t)A1 (t) + · · · + ud (t)Ad (t) x, t ∈ [t0 , t1 ],⟨{⟩}0nx(t0 ) ∈ X = x ∈ Rx, X 0 x ≤ 1 .Функция цены в данном случае имеет видV (t, x) = infu(·){⟨⟩}x(t0 ), X 0 x(t0 ) x(t) = x .(2.10)(2.11)49Она является вязкостным решением уравнения Гамильтона-Якоби-БеллманаVt + ⟨Vx , A0 (t)x⟩ +d∑|⟨Vx , Aj (t)x⟩| = 0(2.12)j=1с начальным условием⟨⟩V (t0 , x) = x, X 0 x .(2.13)Далее будем искать вязкостные субрешения и вязкостные суперрешения уравнения (2.12), удовлетворяющие начальному условию (2.13), которые представляют собой квадратичные формы по переменной x:w(t, x) = ⟨x, K(t)x⟩ ,K(t0 ) = X 0 .(2.14)Здесь функция K(·) предполагается непрерывно дифференцируемой, а матрицы K(t) — симметричными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
