Диссертация (1102398), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Будем искать вязкостные субрешения w+ уравнения (1.18) в виде квадратичных функций отсостояния системы (1.16):⟨⟩w+ (t, x) = x − x∗ (t), K(t)(x − x∗ (t)) + k(t).33Семейство функций w+ (t, x) параметризуем парой {x̄(·), p̄(·)} — решением характеристической системыẋ1ẋ2ẋ3ẋ4ẋ5= x2 ,= v cos x5 ,= x4 ,= v sin x5 ,= αū,ṗ1ṗ2ṗ3ṗ4ṗ5= 0,= −p1 ,= 0,= −p2 ,= v(p4 cos x5 − p2 sin x5 ),в которой(1.20){1} , p5 > 0,ū ∈ sgn(p5 ) ≡{−1} , p5 < 0,[−1, 1] , p5 = 0Будем искать такие внешние эллипсоидальные аппроксимации X+ [t] множествадостижимости X [t], которые бы при каждом t касались convX [t] в точке x̄(t).Далее для краткости будем писать x̄ и p̄ вместо x̄(t) и p̄(t) соответственно.Для произвольных чисел r1 > 0, λ1 , λ2 справедливо неравенство⟨ () ⟩1p2 cos x5 + p4 sin x5 ≤ r1−1 p, e2 eT2 + e4 eT4 p +2−1+r1 ⟨λ1 e2 + λ2 e4 , p⟩ + λ1 cos x5 + λ2 sin x5 + γ.Здесь λ1 = p̄2 − r1 cos x̄5 , λ2 = p̄4 − r1 sin x̄5 , γ = 12 r1 + 12 r1−1 (λ21 + λ22 ),[e1 , e2 , e3 , e4 , e5 ] = I, где I — единичная матрица.
При этом в точке (x̄, p̄) достигается равенство. Справедливо неравенствоcos ϕ ≤ a(ϕ − ϕ̄)2 + 2b(ϕ − ϕ̄) + c,где{a=()−sin ϕ̄/ 2(ϕ̄ − π) , ϕ̄ ̸= π12,ϕ̄ = π,b = a(ϕ̄ − π),c = cos ϕ̄,ϕ̄ ∈ [0, 2π].Это неравенство обращается в равенство при ϕ = ϕ̄. Тригонометрические функции − cos ϕ, sin ϕ, − sin ϕ можно оценить сверху аналогичным образом. Приме-34няя эти оценки, получаем неравенство:⟨ () ⟩1p2 cos x5 + p4 sin x5 ≤ r1−1 p, e2 eT2 + e4 eT4 p + r1−1 ⟨λ1 e2 + λ2 e4 , p⟩ +2⟨⟩+ x − x̄, (λ1 a1 + λ2 a2 )e5 eT5 (x − x̄) + 2 ⟨(λ1 b1 + λ2 b2 )e5 , x − x̄⟩ + λ1 c1 + λ2 c2 + γ,причем равенство достигается при x = x̄, p = p̄.Используя это соотношение, получаем оценку для функции H(t, x, p):H(t, x, p) = p1 x2 + p3 x4 + vp2 cos x5 + vp4 sin x5 + α|p5 | ≤≤ ⟨p, A(x − x∗ )⟩ + ⟨p, Bp⟩ + ⟨x − x∗ , C(x − x∗ )⟩ ++2 ⟨f, x − x∗ ⟩ + 2 ⟨C(x∗ − x̄), x − x∗ ⟩ + ⟨g, p⟩ + ⟨Ax∗ , p⟩ + µ = H(t, x, p),причем равенство достигается при x = x̄, p = p̄ и любом выборе функцииx∗ = x∗ (t).
Здесь11A = e1 eT2 + e3 eT4 , B = vr1−1 (e2 eT2 + e4 eT4 ) +αe5 eT5 , C = v(λ1 a1 + λ2 a2 )e5 eT5 ,22|p̄5 |f = v(λ1 b1 + λ2 b2 )e5 , g = vr1−1 (λ1 e2 + λ2 e4 ),1µ = α|p̄5 | + ⟨x∗ − x̄, C(x∗ − x̄)⟩ + 2 ⟨f, x∗ − x̄⟩ + v(λ1 c1 + λ2 c2 + γ).2Таким образом, функция w+ (t, x) будет субрешением уравнения (1.18), есливыполняется соотношение⟨⟩x − x (t), K̇(t)(x − x (t)) + k̇ − 2 ⟨x − x∗ (t), K(t)ẋ∗ (t)⟩ +⟨⟩+ x − x∗ (t), (K(t)A + AT K(t) + 4B(t) + C(t))(x − x∗ (t)) +∗∗+2 ⟨K(t)g(t) + C(t)(x∗ − x̄) + KAx∗ + f (t), x − x∗ (t)⟩ + µ(t) ≤ 0.Для справедливости этого неравенства достаточно, чтобы выполнялись следующие уравнения:K̇(t) + K(t)A + AT K(t) + 4KB(t)K + C(t) = 0,ẋ∗ (t) = (A + K −1 (t)C(t))x∗ (t) + K −1 (t) (f (t) − C(t)x̄(t)) + g(t),k̇(t) = µ(t).(1.21)(1.22)(1.23)35⟨⟩Кроме того, используя начальное условие w+ (t, x) = x − x0 , X 0 (x − x0 ) , получаем начальные условия для параметров K, x∗ и k:K(t0 ) = X 0 ,x∗ (t0 ) = x0 ,(1.24)k(t0 ) = 0.Таким образом, мы приходим к следующему утверждению.Теорема 5 Пусть набор параметров {K(·), x∗ (·), k(·)}, в котором K(t) > 0,удовлетворяет при t ∈ [t0 , t1 ] уравнениям (1.21)-(1.24) для некоторого решения {x̄(·), p̄(·)} характеристической системы (1.20).
Тогда функция w+ является вязкостным субрещением уравнения (1.18), и, следовательно, справедливо включение{ }X (t; t0 , X 0 ) ⊆ X + [t] = x w+ (t, x) ≤ 1 ,t ∈ [t0 , t1 ].Более того, x̄(t) ∈ ∂X (t; t0 , X 0 ) ∩ ∂X + [t].Последнее утверждение следует из того, что по построению x̄(t) ∈ ∂X + [t].Ниже представлены иллюстрации, вычисленные для параметров:α = v = 1,X 0 = E (0, I),x0 = 0,t0 = 0,t1 = 1.Граница точного множества достижимости (рис. 1.2) и трубки достижимости(рис.
1.1) обозначена красным цветом, а граница соответствующих внешнихаппроксимаций — зеленым.36Рис. 1.1: Внешняя эллипсоидальнозначная аппроксимация трубки достижимости.Рис. 1.2: Внешняя аппроксимация множества достижимости в конечный моментвремени t = 1, состоящая из трех эллипсоидов.371.4Алгоритм глобальной билинеаризацииВ работе [73] представлен метод так называемой глобальной билинеаризации управляемой системы. Использование идеи билинеаризации позволяет длянекоторых систем вида (1.1) преобразовать задачи, сформулированные выше,к соответствующим задачам для билинейных систем.Наряду с системой (1.1) введем уравнение выходных параметров(1.25)z(t) = r(t, x, w).Рассмотрим билинейную системуx̃˙ = (A0 (t) + u1 A1 (t) + · · · + ud Ad (t))x̃,t ∈ [t0 , t1 ],z̃(t) = (C0 (t) + w1 C1 (t) + · · · + wq Cq (t))x̃(t).(1.26)(1.27)Здесь x̃(t) — состояние системы, z̃(t) — выход этой системы, u и w — входныепараметры.
Следуя [73], введем следующееОпределение 13 Билинейная система (1.26), (1.27) называется билинейнойреализацией нелинейной системы (1.1), (1.25), если существуют матрицыA0 (t), . . . , Ad (t) и C0 (t), . . . , Cq (t), а также функция φ : Rn −→ Rk , такиечто отображения (x0 , u(·), w(·)) → z(·) и (φ(x0 ), u(·), w(·)) → z̃(·) совпадают, то есть z(t; x0 , u(·), w(·)) = z̃(t; φ(x0 ), u(·), w(·)) при всех x0 , u(·) и w(·).В таком случае системы (1.1), (1.25) и (1.26), (1.27) называются динамически эквивалентными.Для полноты изложения сформулируем далее предложенный в работе [73]критерий билинеаризуемости нелинейной системы.
Он относится к нелинейнымсистемам, линейным по входам:ẋ = f (x(t)) + G(x(t))u,(1.28)z(t) = h(x(t)) + Q(x(t))w.(1.29)Здесь функции f (x), h(x), G(x) и Q(x) предполагаются бесконечно дифференцируемыми. Заметим, что это не ограничивает общность рассмотрения только автономными системами, так как при должной гладкости функций f (t, x),h(t, x), G(t, x) и Q(t, x) неавтономная система вида (1.27), (1.28) может быть38приведена к автономной системе такого вида за счет введения дополнительнойпеременной xn+1 = t и соответствующего уравнения ẋn+1 = 1.Для нелинейной системы (1.27), (1.28) рассматривается билинейная система (1.26), (1.27) с постоянными матрицами Ai и Cj . Предполагается, что длянекоторых чисел Mi , i = 0, q выполняется соотношение[rank C0T , AT0 C0T , .
. . , (AT0 )M0 −1 C0T , C1T , AT0 C1T , . . . , (AT0 )M0 −1 C1T ,]. . . , CqT , AT0 CqT , . . . , (AT0 )M0 −1 CqT = dimA0 .Введем дифференциальный оператор L, определенный для скалярных, векторных и матричных функций от n переменных следующим образом:⟨∂⟩g(x), f (x) при g : Rn → R,∂x[⟨⟩⟨∂⟩]T∂L(g(x)) = ∂x g1 (x), f (x) . . . ∂x gm (x), f (x)при g : Rn → Rm ,⟨ ∂⟩⟨∂⟩g(x),f(x)...g(x),f(x)∂x 11∂x 1knm×kL(g(x)) = .......... при g : R → R⟩⟨∂⟩⟨∂.
. . ∂x gmk (x), f (x)∂x gm1 (x), f (x)L(g(x)) =Теорема 6 Нелинейная система (1.27), (1.28) динамически эквивалентна билинейной системе (1.26), (1.27) тогда и только тогда, когда существуютчисла Mi , i = 0, q для k = 1, . . . , q выполняются соотношенияLM0h(x) =M0 −1∑iA(0, 0, i + 1)L h(x) +q Mj −1∑∑i=0LMkQk (x) =M0 −1∑i=0A(0, j, i + 1)Li Qj (x),j=1 i=0iA(k, 0, i + 1)L h(x) +q Mj −1∑∑A(k, j, i + 1)Li Qj (x),j=1 i=0и каждый столбец матриц (Li h(x))x G(x) и (Li Qj (x))x G(x) при j = 1, .
. . , q,i = 0, . . . , Mj − 1 является линейной комбинацией векторов Ls h(x) и Ls Ql (x)39при l = 1, . . . , q, s = 0, . . . , Ml − 1:i((L h(x))x G(x))k =M0 −1∑B0 (k, i, 0, s + 1)Ls h(x)+s=0+q Ml −1∑∑B0 (k, i, l, s + 1)Ls Ql (x),l=1 s=0i((L Qj (x))x G(x))k =M0 −1∑Bj (k, i, 0, s + 1)Ls h(x)+s=0+q Ml −1∑∑Bj (k, i, l, s + 1)Ls Ql (x).l=1 s=0Замечание 1 Заметим, что при доказательстве достаточности в качестве состояния x̃(t) динамически эквивалентной билинейной системы выбирается конкатенация векторов Ls h(x(t)) и Ls Ql (x(t)) при l = 1, . .
. , q,s = 0, . . . , Ml − 1.Замечание 2 Для билинеаризуемой системы вида (1.28), (1.29) минимальная размерность k ее билинейной реализации может быть сколь угодно большой. При z(t) = x(t) число k не меньше размерности n исходной нелинейнойсистемы.Переход от различных задач, сформулированных в параграфе 1.1, к соответствующим билинейным постановкам рассматривается в следующем разделе.1.5Схемы решения задачВ этом параграфе будут рассмотрены схемы приведения сформулированныхв разделе 1.1 задач для билинеаризуемых нелинейных систем к соответствующим стандартным задачам для билинейных систем [28], решению которых посвящены главы 2 и 3. Основное предположение этого параграфа заключается втом, что рассматриваемые нелинейные системы имеют вид (1.28), а их билинейные реализации строятся в соответствии с замечанием 1.
Кроме того, считаем,что intX 0 ̸= ∅, intY (t) ̸= ∅, intYi ̸= ∅.Для того, чтобы был возможен обратный переход от билинейной задачи кисходной нелинейной постановке выберем уравнение (1.29) в виде z(t) = x(t).40Предположим, что система (1.1), (1.29) оказалась билинеаризуемой, и ее билинейная реализация имеет вид (1.26). Тогда, в соответствии с указанным предположением, уравнение (1.27) принимает вид z̃(t) = C0 x̃(t), где[]C0 = In×n 0n×(k−n) .1.5.1Задача достижимостиДля перехода к билинейной постановке задачи достижимости требуется указать новое начальное множество X̃ 0 .
При этом для восстановления исходной постановки задачи по билинеаризованной необходимо, чтобы образ φ(∂X 0 ) границы начального множества лежал на границе нового начального множестваX̃ 0 . В частности, можно выбрать{}X̃ 0 = x̃ ∈ Rk σ(C0 x̃) + ∥x̃ − φ(C0 x̃)∥2 = σ̃(x̃) ≤ 1 .(1.30)При таком выборе компактному множеству X 0 соответствует компактное множество X̃ 0 .
Задача достижимости для системы (1.26), (1.30) может быть далееприведена к стандартному виду, когда начальное множество X̃ 0 является звездными и центрально-симметричным относительно нуля (см. рис. 1.3). Для этогоможно перейти к другой билинейной реализации исходной системы:x̃˙ = (A0 (t) + u1 A1 (t) + · · · + ud Ad (t))x̃,x̃˙ 0 = 0.При этом вместо матрицы C0 используется матрица [C0 , 0n×1 ], вместо функцииφ — отображение φ̃, которое определяется равенством[]φ(x)φ̃(x) =,1а начальное множество может иметь вид}{11(x̃T , x̃0 )T ∈ Rk σ̃(x̃ + (1 − x̃0 )v) + x̃20 ≤ 1 .2241Здесь вектор v содержится в множестве intX̃ 0 , которое не пусто в силу непустоты множества intX 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
