Диссертация (1102398), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Решение рассматриваемой за-17дачи синтеза дается в виде стратегии, экстремальной к слабоинвариантныммножествам W − (t), которые строятся с помощью вязкостных суперрешенийуравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана-Айзекса⟨⟩⟨⟩Vt + max Vx , Ax + min Vx , Bx = 0.A∈A (t)B∈B(t)В данном разделе мы ограничиваемся поиском кусочно-квадратичных супер⟨⟩решений вида w(t, x) = mins x, Ks (t)x . Алгоритм конструирования этих суперрешений строится с использованием формул оценивания соответствующихгамильтонианов, полученных во второй главе.В соответствии с результатами первой главы к системам вида (12) благодаряпроцедуре билинеаризации можно отнести также класс линейных управляемыхсистем с неопределенностью в матрице системыẋ = Ax + B(t)u,A(t) ∈ A (t),t ∈ [t0 , t1 ],(13)u(t) ∈ E (0, P (t)),которому посвящена обширная литература (см., в частности, [23, 61]).

Решениезадачи эллипосоидального синтеза для таких систем приведено в разделе 3.7.В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [26, 27, 28,78].Автор приносит искреннюю благодарность своему научному руководителюАлександру Борисовичу Куржанскому за постановку задач, постоянное внимание к работе и ценные советы. Также автор благодарит коллектив кафедрысистемного анализа, на которой он обучался сначала в качестве студента, азатем аспиранта.Работа выполнена при финансовой поддержке программы «Государственнаяподдержка ведущих научных школ» (грант НШ-2692.2014.1).18Основные обозначенияВ этом разделе приведен список обозначений, используемых в работе.R — множество вещественных чиселRn — n-мерное евклидово пространство⟨⟩x, y — скалярное произведение векторов x и y⟨⟩1∥x∥ — евклидова норма вектора x, равная x, x 2compRn — класс всех компактных множеств в пространстве RnintX — внутренность множества X ⊆ Rn в евклидовом пространстве RnL∞ ([t0 , t1 ], U ) — пространство всех измеримых функций u(·), у которыхu(t) ∈ U п.в.diamA — диаметр множества A:diamA = sup ∥x∥x∈AAT — транспонированная матрица AI — единичная матрица, размерность которой ясна из контекстаdiag(λ1 , .

. . , λn ) — диагональная матрица размера n × n с элементамиλ1 , . . . , λn0n×m — нулевая матрица размера n × mA + B — алгебраическая сумма множеств A и B:A + B = {x = a + b | a ∈ A, b ∈ B }graphA — график многозначного отображения A(·) : Rk → compRn{(x, y) ∈ Rk × Rn | y ∈ A(x)coA — выпуклая оболочка множества A}19cof — выпуклая оболочка функции fE (p, P ) — эллипсоид с центром в точке p и матрицей формы P :{ ⟨⟩}E (p, P ) = x x − p, P −1 (x − p) ≤ 1d(x, A) — расстояние от точки x до множества A:d(x, A) = inf ∥x − y∥y∈Ah(X, Y ) — хаусдорфово расстояние между компактами X и Y :{}h(X, Y ) = max max min ∥x − y∥, max min ∥x − y∥x∈X y∈Yẋ(t) — полная производная по времениy∈Y x∈XГлава 1Задачи аппроксимации длянелинейных систем1.1Постановка задачЗадача достижимостиРассматривается управляемая системаẋ = f (t, x, u),t ∈ [t0 , t1 ].(1.1)Здесь x(t) ∈ Rn — состояние системы, u ∈ Rk — управление, стесненное “жестким ограничением” u ∈ U , где U ∈ compRk .

Функция f (t, x, u) непрерывнапо совокупности переменных и липшицева по x с константой Lf : ∥f (t, x, u) −f (t, y, u)∥ ≤ Lf ∥x − y∥. Эти условия обеспечивают существование, единственность и продолжимость решений системы (1.1) на отрезок [t0 , t1 ] для любогоначального условия x0 и любого допустимого управления u(·) [37].В качестве класса всех допустимых управлений выбрано множествоu(·) ∈ U(t) = L∞ ([t0 , t1 ], U ).Определение 1 Множеством достижимости из произвольного начальногомножества X 0 для системы (1.1) называется множество{ }X (t; t0 , X 0 ) = x ∃u(·) ∈ U(t) : x(t0 ; t, x, u(·)) ∈ X 0 .2021Трубкой достижимости будем называть многозначное отображение X (·; t0 , X 0 ).В дальнейшем будут рассматриваться начальные множества, заданные какмножества уровней непрерывных функций σ(x):x(t0 ) ∈ X 0 = {x | σ(x) ≤ 1} .(1.2)Задача 1 Построить параметрическое семейство внешних оценок{Xξ+ (t; t0 , X 0 ),ξ∈Ξ}множества достижимости:X (t; t0 , X 0 ) ⊆ Xξ+ (t; t0 , X 0 ).Задача 2 Построить параметрическое семейство внутренних оценок{Xξ− (t; t0 , X 0 ),ξ∈Ξ}множества достижимости:X (t; t0 , X 0 ) ⊆ Xξ− (t; t0 , X 0 ).Решения данных задач, полученные в настоящей работе, представляют собой алгоритмы построения оценок Xξ+ (t; t0 , X 0 ) и Xξ− (t; t0 , X 0 ), основанные начисленном решении задач Коши для некоторых специально сконструированныхсистем обыкновенных дифференциальных уравнений.Задача гарантированного оцениванияРассматривается система (1.1), в которой u ∈ U представляет собой неизвестную помеху в уравнении динамики, а множество X 0 — неопределенность в начальном состоянии системы.В систему поступают измерения, которые рассматриваются в несколькихразличных вариантах формализации.1.

Задано уравнение непрерывных измерений состояния системыy(t) = g(t, x) + w(t),t ∈ [t0 , t1 ].(1.3)22Здесь известная функция g и неизвестная помеха w предполагаются непрерывными. Величины w(t) удовлетворяют геометрическим ограничениямw(t) ∈ R(t) ⊆ Rr ,t ∈ [t0 , t1 ].Функция y(·), представляющая собой доступные измерения, предполагается известной.2. Измерения состояния системы поступают в дискретные заранее заданныемоменты времени:y(τi ) = yi = gi (x(τi )) + wi ,i = 1, .

. . , l,(1.4)t0 = τ0 < τ1 < · · · < τl ≤ t1 .Здесь непрерывные функции gi считаются известными, неизвестные векторы wi представляют собой помеху в измерениях. Предполагается, чтона величины wi наложены геометрические ограниченияwi ∈ Ri ⊆ Rr ,i = 1, . . . , l.Значения yi , которые представляют собой доступные измерения, предполагаются известными.Уравнения измерений могут быть представлены как фазовые ограниченияна состояние системы, поступающие в реальном времени.

А именно, для непрерывных измерений уравнение (1.3) эквивалентно ограничениюx(t) ∈ Y (t) = {x | y(t) − g(t, x) ∈ R(t)} ,t ∈ [t0 , t1 ].(1.5)а в случае дискретных измерений уравнение (1.4) эквивалентно ограничениюx(τi ) ∈ Yi = {x | yi − gi (x) ∈ Ri } ,i = 1, . . . , l.Введем обозначения для доступных к моменту t измерений:yt = {y(τ ), τ ∈ [t0 , t]} ,ytl = {yi , τi ∈ [t0 , t]} .(1.6)23Определение 2 Информационным множеством из произвольного начальногомножества X 0 для системы (1.1) при доступных измерениях yt называетсямножество{ }X (t; t0 , X 0 ) = x ∃u(·) ∈ U(t) : x(t0 ; t, x, u(·)) ∈ X 0 , x(τ ) ∈ Y (τ ) ∀τ ∈ [t0 , t] .Определение 3 Информационным множеством из произвольного начальногомножества X 0 для системы (1.1) при доступных измерениях ytl называетсямножество{ }X (t; t0 , X 0 ) = x ∃u(·) ∈ U(t) : x(t0 ; t, x, u(·)) ∈ X 0 , x(τi ) ∈ Yi ∀i : τi ∈ [t0 , t] .Информационной трубкой будем называть многозначное отображениеX (·; t0 , X 0 ).

Информационное множество содержит неизвестное настоящее состояние x(t) системы (1.1), являясь тем самым его гарантированной оценкой.Таким образом, текущее состояние всей системы, которое вычисляется по измерениям y(τ ) (или по измерениям yi ) из отрезка [t0 , t], может быть представлено{}парой {t, X [t]} (парой t, X l [t] ). Естественно, это состояние также тривиаль{}ным образом представимо парой {t, yt } (соответственно, парой t, ytl ).Задача 3 Построить параметрическое семейство внешних оценок{}+0Xξ (t; t0 , X ), ξ ∈ Ξинформационного множества:X (t; t0 , X 0 ) ⊆ Xξ+ (t; t0 , X 0 ).Задача 4 Построить параметрическое семейство внешних оценок{Xξ+,l (t; t0 , X 0 ),}ξ∈Ξинформационного множества:X l (t; t0 , X 0 ) ⊆ Xξ+,m (t; t0 , X 0 ).Как и в случае задачи достижимости, решения данных задач, получен-24ные в настоящей работе, представляют собой алгоритмы построения оценокXξ+ (t; t0 , X 0 ) и Xξ+,l (t; t0 , X 0 ), основанные на численном решении задач Кошидля некоторых специально сконструированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Необходимо также заметить, что решение задачи 3 вслучае билинейных систем получено путем аппроксимации ее последовательностью задач 4, то есть путем дискретизации уравнения измерений y(t).Задача синтеза управленийРассматривается управляемая системаẋ = f1 (t, x, u) + f2 (t, x, v),t ∈ [t0 , t1 ].(1.7)Здесь x(t) ∈ Rn — состояние системы, u ∈ Rk — управление, стесненное “жестким ограничением” u ∈ U , где U ∈ compRk , v ∈ Q ⊆ Rl — неизвестноевозмущение.

Функции fi (t, x, u) предполагаются непрерывными по совокупности переменных и такими, что выполняются стандартные условия существования, единственности и продолжимости решений системы (1.7) на отрезок [t0 , t1 ]для любого начального условия x0 и любых реализаций u(·) ∈ L∞ ([t, t1 ], U ),v(·) ∈ L∞ ([t, t1 ], Q). Задано целевое множество M.Рассматриваемая здесь постановка задачи синтеза следует подходу представленному в книгах [14, 30]. Управление u рассматривается в классе позиционных стратегий U (t, x), которые принимают значения в множестве U . Символом ∆ обозначим некоторое разбиение}{∆ = τi , i = 0, l + 1 ,t0 = τ0 < τ1 < · · · < τl+1 = t1 .Пусть функция u(t) определена по следующему правилу с помощью стратегииU (t, x):u(t) = U (τi , x(τi )), τi ≤ t < τi+1 , i = 0, l.Тогда решение уравнения замкнутой системыẋ = f1 (t, x, u(t)) + f2 (t, x, v(t))(1.8)существует, единственно и продолжимо при любой реализации неопределенности v(·) ∈ V(t) = L∞ ([t, t1 ], Q).Приведем следующие определения [14, 30].25Определение 4 Многозначное отображение W(·) называется слабо инвариантным (в прямом времени) относительно дифференциального включенияẋ ∈ F (t, x), если для любых (τ, y) ∈ graphW существует траекторияx(·) : [τ, t1 ] → Rn , которая удовлетворяет этому дифференциальному включению, начальному условию x(τ ) = y и следующему условию выживаемости:x(t) ∈ W(t) для всех t ∈ [τ, t1 ].Определение 5 Многозначное отображение W − [·] = W − (·; t1 , M) называется стабильным мостом, если оно слабо инвариантно относительно дифференциального включения ẋ ∈ cof1 (t, x, U ) + f2 (t, x, v) при любом v ∈ Q, выполняется включение W − [t1 ] ⊆ M, а график этого многозначного отображенияgraphW − замкнут в [t0 , t1 ] × Rn .Максимальный по включений стабильный мост называется множеством разрешимости.

Характеристики

Список файлов диссертации