Диссертация (1102398), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Теоремы 1 и 2 из предыдущего раздела используютсяздесь при построении эллипсоидальных оценок множества достижимости этойсистемы из эллипсоидального начального множества X 0 .Наряду с алгоритмами аппроксимации для конкретных нелинейных систем,12имеет смысл исследовать возможность построения однотипных оценок множеств достижимости для целых классов нелинейных управляемых систем.В диссертации рассматривается класс билинейных по состоянию и управлениюсистем, которые в общем виде могут быть записаны в следующем виде:ẋ = Ax,A ∈ A (t),t ∈ [t0 , t1 ],(6)x(t0 ) ∈ X 0 .(7)Здесь x(t) ∈ Rn — состояние системы, A ∈ Rn×n — управление, A (t) — геометрическое ограничение на управление, X 0 — множество начальных состоянийсистемы. Выбор этого класса обусловлен некоторыми его свойствами.
В частности, в разделе 1.4 приведена теорема о глобальной билинеаризации, котораябыла доказана в работе [73]. Согласно этой теореме для достаточно широкого класса нелинейных систем существуют соответствующие билинейные системы, так называемые билинейные реализации. Билинейная реализация позволяет преобразовывать постановку задачи для нелинейной системы в постановкузадачи для соответствующей билинейной системы.В разделе 1.5 для сформулированных в начале главы задач производитсяпреобразование постановок задач к их билинейным аналогам [28]. Здесь обосновывается возможность решения исходной задачи путем решения соответствующей задачи для билинейных систем.
При исследовании задач для билинейных систем оказывается важным понятие звездного множества. МножествоA ⊆ Rn называется звездным с центром ∈ Rn , если из условия x ∈ A следует,что c + λ(x − c) ∈ A для любого числа λ из отрезка [0, 1]. В задачах для билинейных систем имеет смысл в качестве множеств начальных состояний системырассматривать звездные множества с центром в точке 0. Именно к таким множествам приводятся начальные множества из исходных постановок. В этом случаемножества достижимости также являются звездными множествами с центромв нуле.
Аналогичное утверждение оказывается справедливым и в задаче гарантированного оценивания. Необходимо заметить, что простые по форме оценкимножеств достижимости или информационных множеств билинеаризованнойсистемы могут переходить в соответствующие оценки для исходной системы,имеющие весьма сложную форму. Эта форма напрямую зависит от характеранелинейностей в правой части уравнений системы. Таким образом, получение13оценок фиксированного вида с помощью приведенных в этом разделе схем билинеаризации, вообще говоря, затруднительно. Однако, данные схемы позволяют использовать одни и те же формулы вычисления оценок (полученные вследующих главах) для большого числа нелинейных систем.Вторая глава посвящена задаче аппроксимации множеств достижимостидля класса билинейных управляемых систем с геометрическим ограничениемна управление.
Предполагается, что начальное множество в рассматриваемойзадаче является центрально симметричным и звездным относительно нуля.В разделе 2.1 приведены постановки исследуемых в этой главе задач. Рассматриваются различные варианты геометрических ограничений на управление, а именно: ограничения в виде эллипсоидов или параллелепипедов в пространстве Rn×n . В постановках задач используются начальные множества трехвидов: множество уровня положительно однородной липшицевой функции, множество уровня квадратичной формы и объединение эллипсоидов.
Формулируются три задачи аппроксимации множества достижимости билинейной системы(6), (7). В первой задаче необходимо получить внешние и внутренние аппроксимации множества достижимости в виде множеств уровня квадратичных форм.Во второй задаче производится поиск внешних и внутренних аппроксимаций ввиде объединений эллипсоидов. Наконец, в третьей задаче требуется получитьвнутренние аппроксимации множества достижимости в виде множеств уровняследующих функций:w(t, x) = σ(S −1 (t0 )S(t)x) + γ(t)ψ(S(t)x).(8)Здесь σ(x) — липшицевая положительно однородная функция, которая задаетначальное множество X 0 .В разделе 2.2 производится построение оценок множества достижимости,которые представляют собой множества уровня квадратичных форм [28]:{ ⟨⟩}X + (t; t0 , X 0 ) = x x, K + (t)x ≤ 1 ,{ ⟨⟩}X − (t; t0 , X 0 ) = x x, K − (t)x ≤ 1 .Это одна из простейших форм оценок, включающая в себя эллипсоиды и гиперболоиды.
Из того условия, что квадратичная форма является вязкостным субрешением или суперрешением соответствующего уравнения Гамильтона-ЯкобиБеллмана, выведены дифференциальные уравнения для матриц квадратичных14форм. В этих уравнениях присутствуют параметры, выбор которых определяетконкретное субрешение или суперрешение соответственно.Далее в разделе 2.3 исследуется более сложный класс оценок, так называемые кусочно-квадратичные оценки, которые представляют собой объединенияконечного числа эллипсоидов [28, 27]. Такие оценки, наряду с параллелепипедами [58], являются одними из простейших примеров оценок, которые могут бытьопределены как множества уровня негладких функций. Уравнения параметровоценок из этого класса значительно сложнее, чем аналогичные уравнения дляоценок из раздела 2.2.
Объединение эллипсоидов ∪mi=1 Ei может быть представлено как множество уровня следующей функции:⟨⟩w(t, x) = min x, Ki (t)x .1≤i≤m⟨⟩Важно подчеркнуть, что отдельные квадратичные формы x, Ki (t)x сами могут не являться вязкостными суб- или суперрешениями. Это означает, чтокусочно-квадратичные оценки представляют собой более богатый класс оценок, чем оценки в виде эллипсоидов. Данный пример оценок показывает, какможно из оценок более простого вида получать более сложные оценки.
Однако,новые оценки описываются значительно более сложными уравнениями.Наконец, в разделе 2.4 рассматривается весьма широкий класс внутреннихоценок множеств достижимости вида (8), которые также строятся с помощьютеорем сравнения. В отличие от оценок из других классов, построенных ранеев этой главе, эти оценки определяются как множества уровня некоторых положительно однородных функций довольно общего вида. Задача по построениюсуперрешений уравнения Гамильтона-Якоби в этом случае сводится к оценкеконстанты Липшица некоторой функции [26]. При этом сконструированные вэтом параграфе семейства оценок позволяют аппроксимировать множество достижимости изнутри с произвольной точностью.В разделе 2.5 представлено несколько примеров, иллюстрирующих предложенные в этой главе алгоритмы аппроксимации множеств достижимости.Третья глава диссертации посвящена задаче гарантированного оценивания для билинейных систем, а также задаче синтеза управлений при неопределенности.
Здесь алгоритмы аппроксимации, представленные в главе 2, используются для решения указанных задач.15В разделе 3.1 приведена постановка задачи гарантированного оцениваниядля билинейной система (6). Здесь множество X 0 представляет собой неопределенность в начальном состоянии системы. Рассматриваются два варианта уравнения измерений, представляющие собой частные случаи уравнений (2) и (3).Дискретное уравнение измерений имеет видy(τi ) = yi = Gi x(τi ) + wi ,wi ∈ Ri ,i = 1, . . .
, l,(9)t0 = τ 0 < τ 1 < · · · < τ l ≤ t1 .Предполагается, что множество Ri является эллипсоидом. По аналогии непрерывное уравнение измерений записывается следующим образом:y(t) = G(t)x(t) + w(t),w(t) ∈ R(t),t ∈ [t0 , t1 ].(10)Здесь множество R(t) также является эллипсоидом. Формулируется задача построения семейств внешних оценок информационных множеств X l (t; t0 , X 0 ) иX (t; t0 , X 0 ).Раздел 3.2 посвящен решению задачи аппроксимации информационного множества X l (t; t0 , X 0 ) при дискретных измерениях. В этом параграфе алгоритмывнешней аппроксимации множеств достижимости, приведенные во второй главе, модифицируются таким образом, чтобы их можно было применить к рассматриваемой задаче гарантированного оценивания и получить соответствующие внешние оценки информационного множества.В этой задаче множество X l (t; t0 , X 0 ) может иметь весьма сложную структуру.
В частности, оно может состоять из нескольких компонент связности.Однако, применяя предложенный в главе 1 подход, эту задачу можно преобразовать в задачу со звездным информационным множеством, что позволяетиспользовать оценки той же формы, что и в главе 2.Существуют различные подходы к решению задачи гарантированного оценивания с непрерывными измерениями, сформулированной в разделе 3.1.
Одиниз таких подходов, как было указано выше, заключается в использовании понятия информационного состояния системы V (t, x), которое связано с информационным множеством соотношениемX (t; t0 , X 0 ) = {x | V (t, x) ≤ c}16для некоторого числа c ∈ R. Информационное состояние может быть определено различными способами, что приводит к различным уравнениям или вариационным неравенствам типа Гамильтона-Якоби [21, 65, 66].
В разделе 3.3применяется несколько иной подход, в котором уравнение измерений дискретизируется, что позволяет воспользоваться результатами предыдущего параграфа для решения задачи аппроксимации информационного множества принепрерывных измерениях. Основным результатом этого раздела является теорема 20, в которой утверждается, что рассматриваемую задачу гарантированного оценивания с непрерывными измерениями при некоторых дополнительныхпредположениях можно представить как последовательность задач с дискретными измерениями. При этом последовательность информационных множеств{ l}∞X (t; t0 , X 0 ) l=1 сходится к множеству X (t; t0 , X 0 ).В разделе 3.4 приведен простой пример задачи гарантированного оценивания для двумерной билинейной системы, в которой информационное множествоX l (t; t0 , X 0 ), как и построенные для него оценки Xξl,+ (t; t0 , X 0 ) представляютсобой несвязные множества.Далее в разделе 3.5 рассматривается пример задачи гарантированного оценивания для четырехмерной билинейной системы, называемой кинематическимуравнением для кватернионов (см., например, [4, 41])11q̇ = A(ω)q = [ω1 A1 + ω2 A2 + ω3 A3 ] q,22t ∈ [0, T ],(11)в котором в качестве неизвестной помехи выступает вектор угловой скоростиω.
Стохастическому аналогу этой задачи посвящена обширная литература (см.,в частности, [41]). Для построенных оценок информационных множеств далееформулируется и решается задача их проецирования на координатные оси, чтопозволяет получить более грубые, но простые по форме, оценки.Наконец, в разделе 3.6 исследуется задача синтеза управлений для билинейных систем при неопределенности, частный случай задачи из раздела 1.1первой главы. Здесь рассматривается система видаẋ = Ax + Bx,A(t) ∈ A (t),t ∈ [t0 , t1 ],(12)B(t) ∈ B(t),в которой A — это помеха, а B — управление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
