Диссертация (1102398), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Использование этих различныхформализаций доступной информации позволяет применять при решении задач гарантированного оценивания как теорию многозначного анализа и дифференциальных включений, так и теорию уравнений Гамильтона-Якоби.В теории, разработанной Н.Н. Красовским и его сотрудниками [9, 10, 11,12, 13, 14, 15, 55], предложена формализация дифференциальных игр и подробно исследована их структура. При этом, в частности, указано, каким образомможно построить синтезирующую стратегию управления, удерживающую траекторию системы внутри слабоинвариантных множеств, несмотря на действиявторого игрока, и обеспечивающую таким образом попадание на целевое множество в требуемый момент времени.Важным свойством, которое зачастую имеется у множеств достижимостинелинейных систем, является их невыпуклость даже для выпуклых начальныхмножеств.
Однако, при использовании только лишь выпуклых оценок для построения внешних аппроксимаций невозможно получить более точное решение,чем выпуклая оболочка множества достижимости. В связи с этим представляется важным рассмотреть новые классы невыпуклых оценок, аппроксимируямножества достижимости более точным образом. В настоящей работе, в частности, рассматриваются такие классы невыпуклых оценок, как оценки в видемножеств уровня квадратичных форм и в виде объединений эллипсоидов.Билинейные по управлению и состоянию системы представляют собой важный класс нелинейных управляемых систем, благодаря некоторым их особенностям [23, 49, 42, 54, 60, 61, 70, 73].
Во-первых, нелинейность такого типа,пожалуй, можно считать одной из самых простых. Таким образом, эти системыслужат хорошим примером для испытания новых аналитических конструкций иалгоритмов. Во-вторых, билинейная система может рассматриваться как линейная система с неопределенностью в коэффициентах матрицы системы, а такиемодели часто встречаются в прикладных задачах. В-третьих, в работах А. Кренера, Р.В. Брокетта, А. Исидори, П.М. Пардалоса и В. Яценко (см., например,[42, 60, 54, 73]) была развита теория билинеаризации нелинейных систем, которая посвящена вопросам локальной и глобальной эквивалентности нелинейных8систем соответствующим билинейным системам.
В данной работе результатыэтой теории применяются для распространения полученных результатов на более широкий класс нелинейных систем.Целью данной работы является построение решений задач аппроксимации множеств достижимости, информационных множеств и задачи синтеза дляопределенных классов нелинейных систем, которые могут быть реализованы ввиде эффективных численных алгоритмов.Методы исследования.
Для достижения поставленной цели используется описанный выше подход на основе принципа сравнения для уравненийГамильтона-Якоби, известные результаты из теории гарантированного оценивания, теории позиционных дифференциальных игр, многозначного анализа,методов глобальной билинеаризации.На защиту выносятся следующие основные результаты:1. Построены семейства внешних и внутренних численных аппроксимациймножеств достижимости для билинейных систем.2. Предложен алгоритм решения задач аппроксимации множеств достижимости, информационных множеств и задачи синтеза управлений для класса нелинейных глобально билинеаризуемых систем.3.
Построено семейство внешних численных аппроксимаций множества достижимости для системы уравнений динамического уницикла.Научная новизна работы. Полученные результаты являются новыми.В диссертации рассмотрены малоизученные задачи численной аппроксимациимножеств достижимости и информационных множеств нелинейных систем спомощью семейств оценок простой формы. В частности, настоящая работа продолжает исследования [61, 58, 23] задач достижимости для класса билинейныхпо состоянию и управлению/возмущению систем. Среди построенных семействоценок можно выделить численные оценки в виде множеств уровня квадратичных форм и в виде объединений эллипсоидов, которые являются различнымиобобщениями эллипсоидальных оценок для линейных систем, представленныхв работах [62, 64, 22, 66]. В указанном выше классе методов численной аппроксимации построенные в работе методы дают одни из первых примеров невыпуклых оценок.9Теоретическая и практическая значимость.
Работа имеет, в основном,теоретический характер. Полученные в диссертации результаты по численнойаппроксимации множеств достижимости и информационных множеств билинейных и билинеаризуемых систем могут представлять интерес для дальнейшихисследований. В частности, представляется важным вопрос о получении точного представления множества достижимости произвольной билинейной системыв виде пересечения внешних оценок простой формы.
В то же время, схемы построения аппроксимаций, приведенные во второй и третьей главах, могут бытьреализованы в виде численных алгоритмов и, таким образом, решать задачу доконца. Эти алгоритмы могут быть применены при решении практических задач в таких прикладных областях, как автоматизация транспортных средств,робототехника, навигация, исследование и управление механическими системами.
При нахождении аппроксимаций могут эффективно использоваться параллельные вычисления, так как отдельные оценки простой формы для множествдостижимости и информационных множеств строятся независимо.Апробация работы. Результаты диссертации были представлены в видедокладов на научно-исследовательских семинарах кафедры системного анализафакультета ВМК МГУ (рук. академик А.Б. Куржанский), ежегодной научнойконференции “Тихоновские чтения” (Москва, МГУ, ф-т ВМК, октябрь 2013 г.и октябрь 2014 г.) и международной конференции по нелинейным системамуправления NOLCOS (Тулуза, сентябрь 2013 г.)Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, из них 2 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК.
Работы из журналов,рекомендованных ВАК, подготовлены автором самостоятельно.Первая глава диссертации посвящена описанию ряда методов, которыемогут быть использованы для решения поставленных в этой главе задач аппроксимации.В разделе 1.1 представлены общие постановки исследуемых в диссертациизадач достижимости, гарантированного оценивания и синтеза управлений.В задаче достижимости рассматривается нелинейная управляемая системаẋ = f (t, x, u),t ∈ [t0 , t1 ],x(t0 ) ∈ X 0 .(1)10Здесь x(t) ∈ Rn — состояние системы, u ∈ Rk — управление. Предполагается, что управление стеснено “жестким” или геометрическим ограничениемu ∈ U , в котором U — выпуклый компакт в пространстве Rd .
Ставится задачапостроения семейств внутренних и внешних оценок множества достижимостиX (t; t0 ; X 0 ).В задаче гарантированного оценивания рассматривается система (1), в которой u ∈ U — неопределенность в динамике системы, а x(t0 ) ∈ X 0 — неопределенность в начальном состоянии. Задано также уравнение наблюдений, котороеможет быть дискретным или непрерывным. Дискретное уравнение наблюденийимеет видy(τi ) = yi = gi (x(τi )) + wi ,wi ∈ Ri ,i = 1, . . .
, l,(2)t0 = τ 0 < τ 1 < · · · < τ l ≤ t1 .Ставится задача внешней аппроксимации информационного множестваX l (t; t0 , X 0 ) системы (1) и уравнением наблюдения (2). Уравнение наблюдения в непрерывном случае выглядит следующим образом:y(t) = g(t, x) + w(t),w(t) ∈ R(t),t ∈ [t0 , t1 ].(3)Для системы (1), (3) также ставится задача внешней аппроксимации информационного множества X (t; t0 , X 0 ).Наконец, в задаче синтеза управлений рассматривается нелинейная системаẋ = f1 (t, x, u) + f2 (t, x, v),t ∈ [t0 , t1 ].(4)Здесь x(t) ∈ Rn — состояние системы, u ∈ Rk — управление, стесненное “жестким ограничением” u ∈ U , где U ∈ compRk , v ∈ Q ⊆ Rl — неизвестное возмущение. Задача заключается в том, чтобы построить внутреннюю оценку W − [t],также иногда называемую стабильным мостом (см., например, [30]), множестваразрешимости и предъявить позиционную стратегию u(t, x), которая для любого состояния системы x(τ ) ∈ W − [τ ] и любой допустимой реализации помехиv(t) приводит замкнутую систему в состояние x(t1 ) ∈ M, где M — целевоемножество.
Здесь используется указанная выше формализация позиционныхдифференциальных игр, предложенная в работах Н.Н. Красовского и его со-11трудников (см., например, [55]).В разделе 1.2 приведен ряд теорем об аппроксимации множеств достижимости. Внешние и внутренние аппроксимации конструируются методами гамильтонова формализма с использованием таких понятий, как вязкостные субрешения и вязкостные суперрешения соответствующего уравнения ГамильтонаЯкоби-Беллмана.
Сформулированные в этом разделе теоремы служат в последующих главах основными инструментами для получения конкретных вычислительных алгоритмов аппроксимации. В частности, теоремы 2 и 4 используются в дальнейшем для получения соответственно внешних и внутреннихоценок множества достижимости X (t; t0 ; X 0 ), границы которых пересекаютсяс границей множества достижимости. В некоторых случаях удается получитьдостаточно богатое семейство таких оценок, что для множества достижимостиоказывается справедливо представлениеX (t; t0 , X 0 ) =∪Xξ− (t; t0 , X 0 )ξили, соответственно,X (t; t0 , X 0 ) =∩Xξ+ (t; t0 , X 0 ).ξРаздел 1.3 посвящен одному примеру аппроксимации множества достижимости для конкретной нелинейной системы, так называемого динамическогоуницикла [78], который описывается уравнениями:ẋ1ẋ2ẋ3ẋ4ẋ5= x2 ,= v cos x5 ,= x4 ,= v sin x5 ,= αu.(5)Здесь u — управление, принимающая значения из отрезка [−1, 1], а v и α — положительные константы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
