Диссертация (1102398), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Действительно, так как 0 < r0 < 1, то()−21 21 < 1 − r0< 4.2Следовательно, α(β) > α( 43 ) = 0. Более того, с одной стороны при ∥q∥ = 1имеем√⟨⟩⟨⟩⟨⟩β−11= 1− r02 . (3.29)q, X 0 q = (α−β) q, q 0 (q 0 )T q +β ≤ 1 ⇔ | q, q 0 | ≥β−α2С другой стороны, если q ∈ Q0 , то выполняется одно из соотношений:⟨⟩⟨⟩q − q 0 , q − q 0 = −2 q, q 0 + 2 ≤ r02 ,⟨⟩⟨⟩q + q 0 , q + q 0 = 2 q, q 0 + 2 ≤ r02 ,что эквивалентно выполнению неравенства⟨⟩1| q, q 0 | ≥ 1 − r02 .2Сравнивая это неравенство с соотношением (3.27), получаем справедливостьуказанных выше включений.Применив аналогичную процедуру к множествам yi + Ri , которые задаютфазовое ограничение в момент τi , получаем включения{ ⟨⟩}q(τi ) ∈ Yi = q q, Yi q ≤ 1 ,Yi > 0,i = 1, m.(3.30)Определим информационное множество{ }X [t] = q q(0; t, q) ∈ X 0 , q(τi ; t, q) ∈ Yi , τi ∈ [0, t] .По построению имеет место равенствоQ[t] = X [t]∩{q | ∥q∥ = 1} .Мы приходим к следующей постановке задачи.(3.31)93Задача 13 Построить параметрическое семейство внешних оценок{}+0Xξ (t; t0 , X ), ξ ∈ Ξинформационного множества Q[t] системы (3.23)-(3.27)Q[t] ⊆Xξ+ [t]∩{q | ∥q∥ = 1}при помощи множеств уровня квадратичных форм{ ⟨⟩}Xξ+ [t] = x x, K(t)x ≤ 1 ,K(t) = K T (t).(3.32)В отличие от общего случая перехода к стандартной постановке задачи гарантированного оценивания для билинейной системы, который был описан в разделе1.5, мы здесь учитываем специфику исходной задачи.

А именно, то ее свойство,что информационное множество лежит на единичной сфере. Как было указано в параграфе 3.2, информационное множество связано с информационнымсостоянием V (t, q) соотношением X [t] = {q | V (t, q) ≤ 1}, причем на каждоминтервале (t0 , τ1 ), . . . , (τn , t1 ) функция V (t, q) является вязкостным решениемуравнения Гамильтона-Якоби-БеллманаVt +3∑|⟨Vq , Aj (t)q⟩| = 0.j=1Кроме того, V (t, q) удовлетворяет начальному условию⟨⟩V (t0 , q) = q, X 0 q(3.33){⟨⟩}V (τi , q) = max V (τi − 0, q), q, Yi q .(3.34)и краевым условиямПусть теперь w(t, q) — гладкое на каждом из интервалов (t0 , τ1 ), . .

. , (τn , t1 )субрешение уравненияVt +3∑j=1()|⟨Vq , Aj (t)q⟩| + ν(t) V (t, q) − ∥q∥2 = 0,(3.35)94удовлетворяющее условиям (3.33), (3.34). Здесь ν(t) — произвольная непрерывная функция. Тогда справедливо включениеQ[t] = {q | V (t, q) ≤ 1}∩{q | ∥q∥ = 1} ⊆ {q | w(t, q) ≤ 1}∩{q | ∥q∥ = 1} .(3.36)Действительно, если q(·) — произвольная траектория системы (3.23), удовлетворяющая начальному условию q(t0 ) ∈ Q0 и фазовым ограничениям (3.30),то, рассматривая последовательно каждый из указанных выше интервалов, получаем цепочку неравенств3∑⟩1⟨dw(t, q(t)) = wt + wq , A(ω)q(t) ≤ wt +|⟨wq , Aj (t)q(t)⟩| ≤dt2j=1≤ ν(t) (1 − w(t, q(t))) ≤ 0.Используя индукцию, получаем соотношения w(t, q(t)) ≤ w(t, q(t0 )) ≤ 1.Таким образом, для решения поставленной задачи мы можем искать такие⟨⟩множества Xξ+ [t] вида (3.37), что функции w(t, q) = q, K(t)q являются субрешениями уравнения (3.35) на каждом из интервалов (t0 , τ1 ), . . .

, (τn , t1 ). Как и впараграфе 3.2, предполагаем, что функция K(·) непрерывна на отрезках [t0 , τ1 ),[τ1 , τ2 ), . . . , [τm , t1 ], непрерывно дифференцируема во внутренних точках этихотрезков, а краевые условия имеют видK(t0 ) = X 0 ,K(τi ) = (1 − µi )K(τi − 0) + µi Yi ,µi ∈ [0, 1],i = 1, l. (3.37)Для того, чтобы получить дифференциальное уравнение для функции K(t)на интервалах (t0 , τ1 ), .

. . , (τn , t1 ), мы оцениваем слагаемые |⟨Vq , Aj (t)q⟩| такимже образом, как это было сделано в разделе 2.2.1. Тогда, подставляя w(t, q) =⟨⟩q, K(t)q в неравенство из определения субрешения, получаем3⟨⟨⟩ ∑⟩⟨⟩| q, (KAj (t) + ATj (t)K)q | + ν(t) q, (K − I)q ≤q, K̇(t)q +j=13⟨⟩ ∑⟨⟩⟨⟩≤ q, K̇(t)q +q, QTj (t)Abs(Λj (t))Qj (t)q + ν(t) q, (K − I)q ≤ 0.j=195Последнее неравенство справедливо, если выполняется уравнениеK̇ +3∑QTj (t)Abs(Λj (t))Qj (t) + ν(t)(K(t) − I) = 0.(3.38)j=1⟨⟩При этом, если | q̄(t), (KAj (t) + ATj (t)K)q̄(t) | < ε для некоторого заранее выбранного числа ε > 0, то соответствующую матрицу Qj (t) будем вычислять недля вектора q̄(t), а для такого вектора q̃(t), который обеспечивает выполнениесоотношений⟨⟩ ⟨⟩ε = q̄(t), QTj (t)Abs(Λj (t))Qj (t)q̄(t) ≤ q̃(t), QTj (t)Abs(Λj (t))Qj (t)q̃(t) .При такой модификации можно обеспечить непрерывность слагаемыхQTj (t)Abs(Λj (t))Qj (t) в уравнении (3.38) по совокупности переменных (t, K).Число ε здесь может быть выбрано произвольно.Покажем, что функция ν(t) может быть выбрана таким образом, что существует положительно определенное решение K(t) > 0 уравнений (3.37), (3.38)на отрезке [t0 , t1 ].

Во-первых, заметим, что если K(τ ) ≥ 0 при τ ∈ [t0 , t), товеличина ∥K(t)∥ ограничена. Это непосредственно вытекает из условия существования внутренней точки. Выберем далее функцию ν(·) следующим образом:ν(t) = λmax(∑3)QTj (t)Abs(Λj (t))Qj (t) .(3.39)j=1Здесь выражение λmax (A) обозначает максимальное собственное значение матрицы A = AT . Так определенная функция ν(·) непрерывно зависит от (t, K), азначит при K(t) ≥ 0 она ограничена сверху некоторым числом ν ∗ > 0. Такимобразом, при ν(t) ≤ ν ∗ имеем неравенстваK̇ ≥ −ν ∗ K(t),K(t0 ) > 0,которые вместе с ограниченностью ∥K(t)∥ при K(t) ≥ 0 обеспечивают существование положительно определенного решения уравнений (3.37), (3.38).В качестве параметров оценки используется набор чисел µi ∈ [0, 1], величинаε > 0 и траектория системы q̄(·), которая отвечает управлению, выбранному всоответствии с теоремой 2 на каждом из интервалов (t0 , τ1 ), (τ1 , τ2 ), .

. . , (τm , t1 ).96Из вышесказанного следует существование оценки, отвечающей каждомутакому набору параметров на всем отрезке [t0 , t1 ]. Мы приходим к следующейтеореме.Теорема 21 Множество (3.37) с функцией K(·), определенной в соответствии с условиями (3.37), (3.38), представляет собой внешнюю оценку информационного множества Q[t]:Q[t] ⊆ Xξ+ (t; t0 , X 0 )∩{q | ∥q∥ = 1} .Такая оценка определена на всем интервале [t0 , t1 ].Такая форма аппроксимации информационного множества позволяет эффективно выяснять принадлежность конкретной точки q к множеству Q[t].Однако, использование оценок в таком виде для решения других практическихзадач может быть не всегда удобным из-за операции пересечения с единичнойсферой. В связи с этим имеет смысл рассмотреть следующую задачу.Задача 14 Вычислить проекции Prk Q множества{ ⟨⟩}∩Q = q q, Kq ≤ 1{q | ∥q∥ = 1} ,K>0(3.40)на отдельные координатные оси qk , k = 1, 4.Приведем решение для k = 1.

Предполагаем, что K − I ̸≥ 0 и K − I ̸≤ 0. Таким образом, множество Q представляет собой двумерную поверхность. Пустьвектор q представлен в виде q = [x, x̄T ]T , x ∈ R, x̄ ∈ R3 . Проекция на осьx симметрична относительно точки x = 0. Поэтому далее рассмотрим случайx ≥ 0. Тогда из условия ∥q∥ = 1 следует, чтоx=√1 − ∥x̄∥2 .(3.41)⟨⟩Подставляя это выражение в неравенство q, Kq ≤ 1, получаем√⟨⟩⟨⟩x̄, K2 x̄ + 2 1 − ∥x̄∥2 k12 , x̄ + k1 (1 − ∥x̄∥2 ) ≤ 1,где[]Tk1 k12K=,k12 K2k1 ∈ R, k12 ∈ R3 , K2 ∈ R3×3 .(3.42)97√Сделав замену z = x̄/ 1 − ∥x̄∥2 , получаем, что при ∥x̄∥ ̸= 1 неравенство (3.42)эквивалентно условию⟨⟩⟨⟩z, (K2 − I)z + 2 k12 , z + k1 ≤ 1.Заметим, что искомая проекция имеет вид [−xmax , −xmin ] ∪ [xmin , xmax ]. В силусоотношения (3.41) число xmax соответствует вектору x̄, который удовлетворяет неравенству (3.42) и минимизирует величину ∥x̄∥.

В силу указанной вышеэквивалентности получаем задачу оптимизации∥z∥2 −→ min,⟨⟩⟨⟩z, (K2 − I)z + 2 k12 , z + k1 ≤ 1.√Тогда xmax = 1/ 1 + γ̃min , где γ̃min — решение указанной задачи оптимизации.Случай xmax = 0 невозможен, так как K > 0. Аналогичным образом, если√xmin > 0, то справедливо равенство xmin = 1/ 1 + γ̃max , в котором число γ̃maxявляется решением задачи∥z∥2 −→ max,⟨⟩⟨⟩z, (K2 − I)z + 2 k12 , z + k1 ≤ 1.⟨⟩Если же xmin = 0, то существует вектор x̄ такой, что ∥x̄∥ = 1 и x̄, K2 x̄ ≤ 1.Откуда следует, что неравенство K2 > I не выполняется. Указанные две задачи могут быть сведены к стандартным задачам выпуклой оптимизации (см.,например [43]):γmin = min trZ,⟨⟩tr((K2 − I)Z) + 2 k12 , z + k1 ≤ 1,[]Z z≥0zT 1(3.43)(3.44)(3.45)98иγmax = max trZ,⟨⟩tr((K2 − I)Z) + 2 k12 , z + k1 ≤ 1,][Z z≥ 0.zT 1(3.46)(3.47)(3.48)Окончательно получаем, что решение задачи 14 определяется следующим образом:Prk Q = [−xmax , −xmin ] ∪ [xmin , xmax ],1xmax = √,1 + γmin{√ 1, γmax < +∞,1+γmaxxmin =0,γmax = +∞.Ниже приведем иллюстрации проекций аппроксимации информационногомножества на координатные оси при случайной помехе wi в уравнении измерений для двух случаев: m = 10 и m = 100.

Характеристики

Список файлов диссертации