Диссертация (1102398), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

С учетом замечания в концепункта 3.1, можно считать, что уравнение измерений (3.6) эквивалентно фазовому ограничению:{ ⟨⟩}x(τ ) ∈ Y (t) = x x, Y (t)x ≤ 1 ,Y (t) = Y T (t).Докажем одну вспомогательную лемму.Лемма 3 Пусть множества Xi , i = 1, 2, 3 являются звездными с центрамив точке 0.

Кроме того, пусть множества X1 и X2 ограничены, а функцияМинковского множества X3 является липшицевой с константой L. Тогдасправедлива оценкаh (X1 ∩ X3 , X2 ∩ X3 ) ≤ (1 + LK)h (X1 , X2 ) ,в котором K = supx∈X1 ∪X2 ∥x∥.Доказательство. Пусть z ∈ X1 ∩ X3 , тогда существует вектор y ∈ X2 такой,что ∥z − y∥ ≤ h (X1 , X2 ). Пусть µ(x) — функция Минковского множества X3 .Заметим, что справедливо тождествоX3 = {x | µ(x) ≤ 1} .Используя условия леммы, получаем оценкуµ(αy) ≤ µ(αz) + αL∥z − y∥ ≤ α(1 + Lh (X1 , X2 )).Таким образом, µ(αy) ≤ 1 при α = (1 + Lh (X1 , X2 ))−1 . Тогда имеет местонеравенство()−1∥y − αy∥ = ∥(1 − α)y∥ ≤ 1 − (1 + Lh (X1 , X2 ))K ≤ LKh (X1 , X2 ) .В результате, αy ∈ X2 ∩ X3 и справедлива оценка∥z − αy∥ ≤ (1 + LK)h (X1 , X2 ) ,85из которой получаем утверждение леммы.Предположение 41. Множество A (t) содержит 0.2.

Для любых t, s ∈ [t0 , t1 ], t ≥ s выполняются неравенства0 < Y (t) ≤ Y (s).3. Либо множество graphY выпукло, либо Y (·) непрерывно дифференцируема.Следующая теорема позволяет аппроксимировать решение задачи 10 с помощью решений задач 11 в случае ограниченной неопределенности в уравненииизмерений. Доказательство следует схемам, предложенным в работах [39, 61]для утверждений такого типа.Теорема 20 Рассмотрим последовательность задач вида 11, параметризованных числом l, в которыхYi = Y (τi ),Yi = Y (τi ),τi = i(t1 − t0 )/(l + 1),i = 1, . . .

, l.Пусть множества X l [t] являются решениями этих задач, а множествоX [t] — решением соответствующей задачи 10. Кроме того, пусть выполняется предположение 4. Тогда справедливы соотношенияX [t] ⊆ X l [t],h(X l [t], X [t]) → 0 при l → ∞,причем сходимость равномерна по t ∈ [t0 , t1 ].Доказательство. Пусть траектория x(·) системы (3.1) такова, что x(t) ∈ X [t].Тогдаx(τi ) ∈ Y (τi ) = Yi , τi ∈ [t0 , t].Таким образом, x(t) ∈ X l [t], откуда получаем включение (20). Введем обозначенияσ = (t1 − t0 )/(l + 1),()zi = h X [τi+1 ], X l [τi+1 ] .86Пусть число L1 > 0 таково, что h(F (t, x), F (t, y)) ≤ L1 ∥x−y∥.

Здесь F (t, x) ={Ax|A ∈ A (t)}. Следовательно, для любого y ∈ E (0, I) и любого числа ε > 0F (t, x + εy) ⊆ F (t, x) + εL1 E (0, I).На множестве компактов X в Rn определим отображение C = Cσ,i :C(X ) = {(x, u)| x ∈ X , u ∈ F (τi , x), x + σu ∈ Y (τi + σ)} .Докажем, что существует такие числа L > 0, H ∗ > 0, что из соотношенийh(X1 , X2 ) < H ∗ , diam C(Xi ) < D∗ следует неравенствоh(C(X1 ), C(X2 )) ≤ Lh(X1 , X2 ).(3.21)Здесь для простоты будем использовать норму∥(x, u)∥ = ∥x∥ + ∥u∥.Пусть z = (x, u) ∈ C(X1 ). Выберемy = (1 − α)(x̃, ũ),где x̃ ∈ X2 , ũ ∈ F (τi , x̃), ∥x + σu − x̃ − σũ∥ ≤ (1 + σL1 )h(X1 , X2 ).

Пусть µ(x)— функция Минковского множества Y (τi + σ), а L2 — оценка ее константыЛипшица. Тогда справедливы соотношенияµ ((1 − α)(x̃ + σũ)) ≤ (1 − α)µ(x + σu) + L2 (1 − α)(1 + σL1 )h(X1 , X2 ) ≤≤ (1 − α) (1 + (1 + σL1 )L2 h(X1 , X2 )) .ПоложимH∗ =1,(1 + (t1 − t0 )L1 )L2α = (1 + σL1 )L2 h(X1 , X2 ) ≤ 1.87Тогда выполняется включение (1 − α)(x̃ + σũ) ∈ Y (τi + σ), а значит y ∈ C(X2 ).При этом по построению∥z − y∥ ≤ ∥(x, u) − (x̃, ũ)∥ + α∥(x̃, ũ)∥ ≤≤ (1 + L1 )h(X1 , X2 ) + (1 + σL1 )L2 (1 + L1 )D∗ h(X1 , X2 ) ≤ Lh(X1 , X2 ),что означает справедливость неравенства (3.21).Далее введем отображение M = Mσ,i :M (X )[ξ] =∪{x + ξu| x ∈ X , u ∈ F (t, x), x + σu ∈ Y (τi+1 )} .Справедливо неравенство [39]:h(M (X1 )[σ], M (X2 )[σ]) ≤ h (M (X1 )[0], M (X2 )[0]) + σh (C(X1 ), C(X2 )) .

(3.22)Кроме того, имеют место оценки() 1∪h X [τi+1 ], {x + σF (t, x)| x ∈ X [τi ]} ∩ Y (τi+1 ) ≤ σψ(σ),() 21∪{}h X l [τi+1 ],x + σF (t, x)| x ∈ X l [τi ] ∩ Y (τi+1 ) ≤ σψ(σ),2в которых ψ(σ) → 0 при σ → 0. Доказательство справедливости первого неравенства в условиях теоремы приведено в работе [61]. Второе неравенство следуетиз эволюционного уравнения для множества достижимости и леммы 3.В результате, мы приходим к следующей оценке:()()zi = h X [τi+1 ], X l [τi+1 ] ≤ h M (X [τi ])[σ], M (X l [τi ])[σ] +()∪+h X [τi+1 ], {x + σF (t, x)| x ∈ X [τi ]} ∩ Y (τi+1 ) +()∪{}ll+h X [τi+1 ],x + σF (t, x)| x ∈ X [τi ] ∩ Y (τi+1 ) ≤≤ (1 + Lσ)h(X [τi ], X l [τi ]) + σψ(σ) ≤ eLσ zi−1 + σψ(σ),z0 = 0.Следовательно, существует число σ ∗ > 0 такое, что для любого σ ∈ (0, σ ∗ ]выполняются соотношенияzk ≤ (1 + eLσ + e2Lσ + · · · + ekLσ )σψ(σ) ≤ σkeLσk ψ(σ) ≤ (t1 − t0 )eL(t1 −t0 ) ψ(σ) → 088при σ → 0.Данное утверждение позволяет аппроксимировать информационное множество X [t], используя оценки, построенные по тем же формулам, что и оценки для информационного множества X l [t].

Заметим также, что теорема 20может быть обобщена на случай неравномерной сетки моментов измерений{}τi , i = 1, l .3.4Пример: несвязное информационное множество двумерной билинейной системыРассмотрим систему вида (3.1) на отрезке [0, 1] с матрицами (d = 1)[]0 2A0 (t) =,−4 2[]0 −1A1 (t) =.1 0Возьмем начальное множество X 0 из (3.2) при[]10K0 =,0 50x0 = 0и уравнение измерений (3.7) с параметрами[Gk = I,]12 −31Rk = k,4 −3 1rk = 0,τ1 = 0.4,k = 1, 2,τ2 = 0.6.Предположим, что поступили следующие измерения:[ ]3k −1,yk =8 1k = 1, 2.При таких измерениях информационное множество X m [1] получается несвязным.

Изображенная на рисунке 3.1 внешняя оценка информационного множе-89ства отвечает параметрамl = [−1.4123, 0.0105]T ,µ1 = 0.1673,L(t) = I.µ2 = 0.7109.Соответствующая оценка информационной трубки X m [·] представлена на рисунке 3.2.Рис. 3.1: Информационное множество и его внешняя оценка при t = 1.Рис. 3.2: Информационная трубка и ее внешняя оценка.3.5Пример: определение ориентации объекта понеточным измерениямВ этом параграфе рассматривается пример построения гарантированнойоценки состояния конкретной нелинейной системы. Изложенная выше теория90применяется к задаче определения ориентации объекта (твердого тела) в пространстве, заданной с помощью кватерниона — вектора q ∈ R4 . Изменениеориентации подчиняется системе уравнений, так называемому кинематическому уравнению для кватернионов (см., например, [4, 41]):11q̇ = A(ω)q = [ω1 A1 + ω2 A2 + ω3 A3 ] q,22t ∈ [0, T ].(3.23)Здесь ω = [ω1 , ω2 , ω3 ]T — вектор угловой скорости, а матрицы Ai заданы следующим образом:0 −1 0 01 0 0 0 A1 = 0 0 0 −1 ,0 0 1 00 0 −1 00 0 0 1A2 = 1 0 0 0 ,0 −1 0 000A3 = 010 0 −10 −1 0 .1 0 00 0 0Стохастическому аналогу этой задачи посвящена обширная литература (см., вчастности, [41]).

При такой постановке считается, что ошибки измерений кватерниона q и ошибки измерений угловой скорости ω имеют определенное статистическое описание. Здесь же рассматривается задача гарантированного оценивания, в которой предполагается, что вся доступная информация о вектореω содержится во включенииω ∈ Ω = {ω| |ωi | ≤ 1} .(3.24)Кроме того, пусть начальное состояние q(0) содержится во множестве{ {}}Q0 = q min ∥q − q 0 ∥2 , ∥q + q 0 ∥ ≤ r02 , ∥q∥ = 1 ,(3.25)где r0 < 1, ∥q 0 ∥ = 1.

Выбор такого начального множества обусловлен тем, чтокватернионы вида αq при α ∈ R \ {0} отвечают одной и той же ориентации,что и кватернион q.Будем считать, что L∞ ([t0 , t]; [−1, 1]3 ) является множеством допустимых реализаций угловой скорости ω(·).Предположим, что в известные дискретные моменты времени τi поступают91измерения состояния системы с векторами ошибки wi :yi = q(τi ) + wi ,∥yi ∥ = 1,(3.26)i = 1, lО векторах wi известно лишь, что они содержатся в шаре{ }Ri = w ∥w∥2 ≤ ri2 .(3.27)Информационное множество}{ Q[t] = q q(0; t, q) ∈ Q0 , yi − q(τi ) ∈ Ri , τi ∈ [0, t]всех состояний системы, совместимых с измерениями и ограничениями на неопределенность, является в данном случае замкнутым подмножеством единичнойсферы в R4 .

Будем предполагать, что множество Q[t] в каждый момент времениt ∈ [t0 , t1 ] имеет внутреннюю относительно единичной сферы точку.В результате мы получаем к следующую задачу гарантированного оценивания.Задача 12 Построить внешнюю аппроксимацию информационного множества Q[t] системы (3.23)-(3.27).Для решения этой задачи приведем ее к виду задачи 10 из раздела 3.1.Во-первых, необходимо заменить множество возможных начальных значенийQ0 на компактное, звездное и симметричное относительно нуля множество X 0 ,которое может быть выбрано следующим образом:{ ⟨⟩}X 0 = q q, X 0 q ≤ 1 ,α 0 0 0[0β00T00T X =S  S, S S = I4 , Sq = 10 0 β 00 0 0 β()−21 2α = β − (β − 1) 1 − r0, 1<β<2(3.28)]T0 0 0,4.3Покажем, что X 0 является эллипсоидом, который удовлетворяет включениям92Q0 ⊆ X 0 и ∂Q0 ⊆ ∂X 0 .

Характеристики

Список файлов диссертации