Диссертация (1102398), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Многозначное отображение A (·) предполагается липшицевым. Реализации A(·) неопределенности в динамике системы лежат в классе измеримыхфункций:A(·) ∈ L∞ ([t0 , t1 ], A (·)).Ограничения на неопределенность в начальном состоянии и динамике системырассматриваются в двух вариантах:77781. Неопределенность в начальном состоянии является множеством уровняквадратичной формы, а неопределенность в динамике — параллелепипедом в пространстве матриц:{ ⟨⟩}X 0 = x x − x0 , X 0 (x − x0 ) ≤ 1 ,X 0 = (X 0 )T ,(3.2)A (t) = {A | A(t) = A0 (t) + u1 A1 (t) + · · · + ud Ad (t)} .(3.3)2.
Неопределенность в начальном состоянии представляет собой объединение эллипсоидов, а неопределенность в динамике — эллипсоид в пространстве матриц:{ }⟨⟩X 0 = x min x − x0k , Xk0 (x − x0k ) ≤ 1 , Xk0 = (Xk0 )T > 0, (3.4)1≤k≤mA (t) = E (0, P (t)).(3.5)Уравнение измерений в сформулированных далее задачах гарантированногооценивания также представлено в двух вариантах.1.
Задано уравнение непрерывных измерений состояния системыy(t) = G(t)x(t) + w(t),t ∈ [t0 , t1 ].(3.6)Здесь известная функция G(·) и неизвестная помеха w(·) предполагаютсянепрерывными. Величины w(t) удовлетворяют геометрическим ограничениям{}w(t) ∈ R(t) = w ∈ Rk |⟨w(t) − r(t), R(t)(w(t) − r(t))⟩ ≤ 1 , R(t) = RT (t).Функция y(·), представляющая собой доступные измерения, предполагается известной.2.
Измерения состояния системы поступают в дискретные заранее заданныемоменты времени:y(τi ) = yi = Gi x(τi ) + wi ,i = 1, . . . , l,t0 = τ0 < τ1 < · · · < τl ≤ t1 .(3.7)79Здесь матрицы Gi считаются известными, неизвестные векторы wi представляют собой помеху в измерениях. Предполагается, что на величиныwi наложены геометрические ограничения{}wi ∈ Ri = w ∈ Rk | ⟨w − ri , Ri (w − ri )⟩ ≤ 1 ,Ri = RiT .Значения yi , которые представляют собой доступные измерения, предполагаются известными.Определение 15 Множество X [t] = X (t; t0 , X 0 ) всех состояний x(t) системы (3.1), которые совместимы с уравнением измерений (3.6) и ограничениями на неопределенность A(τ ) ∈ A (τ ), w(τ ) ∈ R(τ ), x(t0 ) ∈ X 0 , будемназывать информационным множеством в задаче с непрерывными измерениями.Определение 16 Множество X l [t] = X l (t; t0 , X 0 ) всех состояний x(t) системы (3.1), которые совместимы с уравнением измерений (3.7) и ограничениями на неопределенность A(τ ) ∈ A (τ ), wi ∈ Ri , x(t0 ) ∈ X 0 , будем называтьинформационным множеством в задаче с дискретными измерениями.Задача 10 Построить параметрическое семейство внешних оценок{}+0Xξ (t; t0 , X ), ξ ∈ Ξинформационного множества X [t] системы (3.1), (3.6), (1)X [t] ⊆ Xξ+ [t]при помощи множеств уровня квадратичных форм{ ⟨⟩}Xξ+ [t] = x x, K(t)x ≤ 1 ,или объединений эллипсоидов{ }⟨⟩Xξ+ [t] = x min x, Ks (t)x ≤ 1 ,1≤s≤mK(t) = K T (t)Ks (t) = KsT (t) > 0.(3.8)(3.9)80Задача 11 Построить параметрическое семейство внешних оценок{Xξ+,l (t; t0 , X 0 ),}ξ∈Ξинформационного множества X l [t] системы (3.1), (3.7), (2)X l [t] ⊆ Xξ+,l [t]при помощи множеств уровня квадратичных форм{ ⟨⟩}Xξ+,l [t] = x x, K(t)x ≤ 1 ,или объединений эллипсоидов{ }⟨⟩+,lXξ [t] = x min x, Ks (t)x ≤ 1 ,1≤s≤mK(t) = K T (t)Ks (t) = KsT (t) > 0.(3.10)(3.11)В соответствии с результатами главы 1 в рассматриваемых задачах, не ограничивая общности, можно считать, что x0 = 0, x0k = 0, r(t)−y(t) = 0, ri −yi = 0.3.2Решение задачи с дискретными измерениями{}При заданных начальной позиции t0 , X 0 и измерениях y≤t , информационное множество X l [t] будет совпадать с множеством достижимости системы(3.1) из начального множества X 0 при фазовом ограниченииx(τi ) ∈ Yi = {x | Gi x ∈ yi − Ri } , i = 1, l.Подчеркнем, что измерения yi поступают в реальном времени в известные моменты времени τi .
С учетом замечания в конце предыдущего параграфа, можносчитать, что множества Yi имеют вид:{ ⟨⟩}Yi = x x, Yi x ≤ 1 ,Yi = YiT .Для формулировки следующего утверждения нам понадобится понятие множества достижимости X (t; τ, Xτ ), представляющее собой множество всех состо-81яний x(t) системы (3.1), которые совместимы с ограничениями A(τ ) ∈ A (τ ) иx(τ ) ∈ Xτ .Лемма 2 Для каждого i = 1, . .
. , l информационное множество X l [τi ] может быть представлено в виде X (τi ; τi−1 , X l [τi−1 ]) ∩ Yi . При τi−1 ≤ t < τiинформационное множество X l [t] совпадает с множеством достижимостиX (t; τi−1 , X l [τi−1 ]).Доказательство. Пусть x ∈ X l [τi ]. Тогда существует траектория x̄(·) системы (3.1) такая, что x̄(τi ) = x, x̄(t0 ) ∈ X 0 и x̄(τj ) ∈ Yj при j ≤ i.
Поопределению информационного множества x̄(τi−1 ) ∈ X l [τi−1 ]. Следовательно,X l [τi ] ⊆ X (τi ; τi−1 , X l [τi−1 ]) ∩ Yi .Наоборот, пусть x ∈ X (τi ; τi−1 , X l [τi−1 ]) ∩ Yi . Тогда существует траекторияx̄(·) системы такая, что x̄(τi ) = x и x̄(τi−1 ) ∈ X l [τi−1 ], но тогда эту траекториюможно продолжить с выполнением условий x̄(t0 ) ∈ X 0 и x̄(τj ) ∈ Yj при j ≤ i−1,а значит x ∈ X l [τi ].В соответствии с леммой множество X l [t] может быть выражено через множество достижимости X[t] системы (3.1) и операцию пересечения. Кроме того,мы можем определить информационное состояние системы V (t, x) как функцию, удовлетворяющую на каждом из интервалов (t0 , τ1 ), (τ1 , τ2 ), .
. . , (τm , t1 )уравнению Гамильтона-Якоби-Беллмана⟨⟩Vt + max Vx , Ax = 0,A∈A (t)начальному условию V (t0 , x) = σ(x) и краевым условиям{⟨⟩}V (τi , x) = max V (τi − 0, x), x, Yi x .Применяя лемму 2, получаем соотношение X l [t] = {x | V (t, x) ≤ 1}.Используя результаты главы 2, можно в каждом из двух рассматриваемых случаев получить семейства внешних оценок множества достижимостиX (t; τ, Xτ ) соответственно в виде множеств уровня квадратичных форм и ввиде объединений эллипсоидов. При этом, вместо начального множества X 0 вмомент t0 мы имеем соответствующего вида начальное множество Xτ в моментτ . Используем эти оценки множеств достижимости для аппроксимации информационных множеств X l [t].82Рассмотрим сначала случай ограничений на неопределенность в виде (3.2),(3.3).
Внешние оценки для информационного множества X l (t; t0 , X 0 ) будем искать в виде:{ ⟨⟩}X +,l (t; t0 , X 0 ) = x x, K(t)x ≤ 1 .(3.12)Предположим, что функция K(·) непрерывна на отрезках [t0 , τ1 ), [τ1 , τ2 ), . . . ,[τm , t1 ], непрерывно дифференцируема во внутренних точках этих отрезков иудовлетворяет в этих точках уравнению (2.20) из раздела 2.2:K̇ +d∑QTj (t)Abs(Λj (t))Qj (t) = 0.(3.13)j=1Кроме того, пусть справедливы краевые условияK(t0 ) = X 0 ,K(τi ) = (1 − µi )K(τi − 0) + µi Yi ,µi ∈ [0, 1],i = 1, l. (3.14)В качестве параметров оценки используется набор чисел µi и пара функций(x̄(·), p̄(·)), которая удовлетворяет характеристическим уравнениям (2.15)-(2.17)на интервалах (t0 , τ1 ), (τ1 , τ2 ), .
. . , (τm , t1 ) и краевым условиямp̄(t0 ) = 2X 0 x̄(t0 ),p̄(τi ) = 2K(τi )x̄(τi ).(3.15)Теорема 18 Множество (3.12) с функцией K(·), определенной в соответствии с условиями (3.13)-(3.15), представляет собой внешнюю оценку информационного множества X l (t; t0 , X 0 ):X l (t; t0 , X 0 ) ⊆ X +,l (t; t0 , X 0 ).(3.16)⟨⟩Доказательство. Ясно, что для любой пары квадратичных форм x, P1 x и⟨⟩x, P2 x и любого числа µ ∈ [0, 1] из условий⟨⟩x, P1 x ≤ 1,⟨⟩x, P2 x ≤ 1⟨⟩следует неравенство x, (µP1 + (1 − µ)P2 )x ≤ 1. Поэтому из условияX l (t; t0 , X 0 ) ⊆ X +,l (t; t0 , X 0 ),t ∈ [t0 , τi ).83получаем включениеX l (τi ; t0 , X 0 ) = X l (τi − 0; t0 , X 0 ) ∩ Yi ⊆ X +,l (τi ; t0 , X 0 ).В соответствии с леммой 2 и теоремой 10 это приходит нас к утверждениютеоремы.Перейдем к задаче с ограничениями на неопределенность вида (3.4), (3.5).Внешние оценки для информационного множества X l (t; t0 , X 0 ) будем искать ввиде:{ }⟨⟩+,lXξ [t] = x min x, Ks (t)x ≤ 1 , Ks (t) = KsT (t) > 0.(3.17)1≤s≤mПредположим, что функции Ks (·) непрерывны на отрезках [t0 , τ1 ), [τ1 , τ2 ), .
. . ,[τm , t1 ], непрерывно дифференцируемы во внутренних точках этих отрезков иудовлетворяют в этих точках уравнению (13) из раздела 2.3:K̇s + µ−1s (t)P1s (t) + µs (t)P2s (t) = 0(3.18)Кроме того, пусть справедливы краевые условияKs (t0 ) = Xs0 ,Ks (τi ) = (1 − µi )Ks (τi − 0) + µi Yi ,µi ∈ [0, 1],i = 1, l. (3.19)В качестве параметров оценки используется набор чисел µi и функции P1s , P2s ,которые выбираются из соотношения (2.35) раздела 2.3.Теорема 19 Множество (3.17) с функциями Ks (·), определенными в соответствии с условиями (3.18)-(3.19), представляет собой внешнюю оценку информационного множества X l (t; t0 , X 0 ):X l (t; t0 , X 0 ) ⊆ X +,l (t; t0 , X 0 ).(3.20)Доказательство этого утверждения полностью аналогично доказательству теоремы 18.843.3Решение задачи с непрерывными измерениямиЭтот параграф посвящен решению задачи 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
