Автореферат (1102397), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Алгоритм конструирования этихсуперрешений строится с использованием формул оценивания соответствующих гамильтонианов, полученных во второй главе.В соответствии с результатами первой главы к системам вида (12) благодаря процедуре билинеаризации можно отнести также класс линейных управ-15ляемых систем с неопределенностью в матрице системыẋ = Ax + B(t)u,A(t) ∈ A (t),t ∈ [t0 , t1 ],(13)u(t) ∈ E (0, P (t)),которому посвящена обширная литература (см., в частности, [34, 50]).
Решение задачи эллипосоидального синтеза для таких систем приведено в разделе3.7.ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ1. Построены семейства внешних и внутренних численных аппроксимациймножеств достижимости для билинейных систем.2. Предложен алгоритм решения задач аппроксимации множеств достижимости, информационных множеств и задачи синтеза управлений длякласса нелинейных глобально билинеаризуемых систем.3. Построено семейство внешних численных аппроксимаций множествадостижимости для системы уравнений динамического уницикла.Изложенные в настоящей работе методы оценивания множеств достижимости и информационных множеств для билинейных и билинеаризуемых систем могут быть использованы при конструировании конкретных алгоритмов численного решения задач достижимости, гарантированного оцениванияи синтеза управлений для указанного класса систем.
Эти результаты могутбыть также использованы в качестве составной части решения более сложных задач управления таких, как задача синтеза управлений при неполныхизмерениях. Дальнейшие исследования могут быть нацелены на уточнениепостроенных в настоящей работе аппроксимаций.Автор приносит искреннюю благодарность своему научному руководителю Александру Борисовичу Куржанскому за постановку задач, постоянноевнимание к работе и ценные советы.
Также автор благодарит коллектив кафедры системного анализа, на которой он обучался сначала в качестве студента, а затем аспиранта.Работа выполнена при финансовой поддержке программы «Государственная поддержка ведущих научных школ» (грант НШ-2692.2014.1).16ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ1. В.
В. Синяков. О внешних и внутренних аппроксимациях множествдостижимости билинейных систем // Доклады Академии Наук. 2014,том 458, № 1, с. 27-31.2. В. В. Синяков. Метод вычисления внешних и внутренних аппроксимаций множеств достижимости билинейных дифференциальных систем// Дифференциальные уравнения.
2015, том 51, № 8, с. 1101-1114.17Список литературы[1] A. B. Kurzhanski, P. Varaiya. Dynamics and Control of Trajectory Tubes. Theory andComputation. Birkhauser, 2014.[2] Р. Беллман. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.[3] С. Н. Кружков. Обобщенные решения нелинейных уравнений со многими независимыми переменными, 1 // Математический сборник. 1966, том 70, №3, c.
394-416.[4] Н. В. Крылов. Управляемые процессы диффузионного типа. М., Наука, 1977.[5] О. А. Олейник. Разрыные решения нелинейных дифференциальных уравнений //Успехи мат. наук. 1957, том 12, № 3, с. 3-73.[6] W. H. Fleming. The Cauchy problem for a nonlinear first-order partial differential equation// J. Differential Equations. 1969. V. 5, N. 3, p. 515-536.[7] M. G.
Crandall, P.-L. Lions. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations //Transactions of American Mathematical Society. 1983. V. 277. p. 1-41.[8] M. G. Crandall, L. C. Evans, and P. L. Lions. Some properties of solutions of HamiltonJacobi equations // Transactions of American Mathematical Society. 1984.
V. 282. N. 2.p. 487-502.[9] А. И. Субботин. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М.: Наука, 1991.[10] А. И. Субботин. Обобщенные решения уравнений в частных производных первогопорядка. Перспективы динамической оптимизации. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.[11] Н. Н. Субботина.
Метод характеристик для уравнений Гамильтона—Якоби и его приложения в динамической оптимизации. Современная математика и ее приложения.Институт Кибернетики, Академия Наук Грузии, Тбилиси, 2004.[12] Н. Н. Субботина, Т. Б. Токманцев. Классические характеристики уравнения Беллмана в конструкциях сеточного оптимального синтеза.
Дифференциальные уравненияи топология. II, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика ЛьваСеменовича Понтрягина. Тр. МИАН, 271, МАИК, М., 2010, 259–277.[13] Х. Г. Гусейнов, А. Н. Моисеев, В. Н. Ушаков. Об аппроксимации областей достижимости управляемых систем // Прикл. математика и механика. 1998, том 62, № 2, с.179-187.[14] А.
М. Тарасьев. Аппроксимационные схемы построения минимаксных решений уравнений Гамильтона—Якоби // ПММ. 1994, том 58, № 2, с. 22–36.18[15] А. М. Тарасьев, А. А. Успенский, В. Н. Ушаков. Аппроксимационные схемы иконечно-разностные операторы для построения обобщенных решений уравнений Гамильтона—Якоби // Изв. РАН. Техн.
Киберн. 1994, № 3, с. 173–185.[16] P. E. Souganidis. Approximation Schemes for Viscosity Solutions of Hamilton–JacobiEquations // J. Diff. Eqns. 1989. V. 59, p. 1–43.[17] Ф. П. Васильев. Методы оптимизации. М.: МЦНМО, 2011.[18] A. B. Kurzhanski and I. Valyi. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. SCFA.Birkhauser, Boston, 1997.[19] A.
B. Kurzhanski, P. Varaiya. On Ellipsoidal Techniques for Reachability Analysis. PartI: External appoximations. Part II: Internal appoximations. Box-valued constraints //Optim. Methods Software, 17(2):177-237, 2002.[20] F. L. Chernousko. State Estimation for Dynamic Systems. CRC Press, Boca Raton, 1994.[21] F. C. Schweppe. Recursive State Estimation: Unknown but Bounded Errors and SystemInputs // IEEE Trans.
Aut. Cont. AC-13, 1968.[22] E. K. Kostousova. State Estimation for Dynamic Systems via Parallelotopes: Optimizationand Parallel Computations // Optim. Methods Software, 9(4):269–306, 1998.[23] E.K. Kostousova. On Tight Polyhedral Estimates for Reachable Sets of Linear DifferentialSystems // AIP Conf. Proc.
1493, p. 579-586, 2012.[24] Т. Ф. Филиппова. Дифференциальные уравнения эллипсоидальных оценок множествдостижимости нелинейной динамической управляемой системы // Тр. ИММ УрОРАН. 2010, том 16, № 1, с. 223–232.[25] А. Б. Куржанский. Принцип сравнения для уравнения типа Гамильтона-Якоби в теории управления // Труды Института Математики и Механики УРО РАН. 2006,том 12, № 1, стр. 173-183.[26] М. И. Гусев. Оценки множеств достижимости многомерных управляемых систем снелинейными перекрестными связями // Труды ИММ УрО РАН.
2009, том 15, № 4,с. 82–94.[27] V. S. Patsko, S. G. Pyatko, and A. A. Fedotov. Three-dimensional Reachability Set for aNonlinear Control System // Journal of Computer And Syst. Sci. Intern., 42(3):320–328,2003.[28] И. В. Рублев. Множество достижимости трехмерной каскадной системы управления// Дифференциальные уравнения. 2006, том 42, № 12, стр. 1672-1679.[29] А. Б.
Куржанский. О двойственности задач оптимального управления и наблюдения// Прикладная математика и механика. 1970, том 34, № 3, с. 429-439.19[30] А. Б. Куржанский. Дифференциальные игры наблюдения // Доклады АН СССР.1972, том 207, № 3, с. 527-530.[31] А. Б. Куржанский.
К теории позиционного наблюдения. Общие соотношения // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1973, № 5, с. 20-30.[32] А. Б. Куржанский. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.[33] A. B. Kurzhanski, P. Varaiya. A Comparison Principle for Equations of the HamiltonJacobi Type in Set-Membership Filtering // Communications in Information and Systems.2006. V.
6, N. 3, p. 179-192.[34] A. B. Kurzhanski, T. F. Filippova. On the theory of trajectory tubes — a mathematicalformalism for uncertain dynamics, viability and control // Advances in NonlinearDynamics and Control. Ser. PSCT 17. Boston: Birkhauser. 1993. p. 122-188.[35] A. B. Kurzhanski, P.
Varaiya. On Some Nonstandard Dynamic Programming Problems ofControl Theory // Variational Methods and Applications. N.Y.: Kluwer, 2004. p. 613-627.[36] Н. Н. Красовский. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.[37] Н. Н. Красовский. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970.[38] Н. Н. Красовский. Минимаксное поглощение в игре сближения // ПММ.
1971, том35, № 6, с. 945-951.[39] Н. Н. Красовский. Дифференциальные игры. Аппроксимационные и формальные модели // Математический сборник. 1978, том 107(149), № 4(12), с. 541-571.[40] Н. Н. Красовский. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.[41] Н. Н. Красовский., А. И. Субботин. Позиционные дифференциальные игры.
М.: Наука,1974.[42] Н. Н. Красовский, А. И. Субботин, В. Н. Ушаков. Минимаксная дифференциальнаяигра // Доклады АН СССР. 1972, том 206, № 2, с. 277-280.[43] N. N. Krasovski and A. I. Subbotin. Game-theoretical Control Problems. Springer-Verlag,N.Y., Berlin, Heidelberg, 1988.[44] A. J. Krener. Bilinear and Nonlinear Realisations of Input-Output Maps // SIAM J.Control. 1975.
V. 13, N. 4, p. 827-834.[45] R. W. Brockett. Volterra series and geometric control theory // Automatica, 12:167–176,1976.[46] A. Isidori. Nonlinear Control Systems: An Introduction. Springer, 1985.20[47] R. R. Mohler. Nonlinear Systems: v.II Application to Bilinear Control. Prentice Hall,Englewood Cliffs, NJ, 1991.[48] P. M. Pardalos, V. Yatsenko. Optimization and Control of Bilinear Systems. Springer,2008.[49] D. L.
Elliot. Bilinear Control Systems. Springer, 2009.[50] С. С. Мазуренко. Дифференциальное уравнение на калибровочную функцию Минковского звездного множества достижимости дифференциального включения // Доклады Академии Наук. Математика. 2012, том 445, № 2, с. 139-142.[51] E. K. Kostousova. On Polyhedral Estimates for Reachable Sets of Discrete-Time Systemswith Bilinear Uncertainty // Automation and Remote Control, 2011, V. 72, N. 9, p.1841-1851.[52] l. Y. Bar-Itzhack, Y. Oshman. Attitude Determination from Vector Observations:Quaternion Estimation // IEEE Transactions on aerospace and electronic systems. 1985.V. AES-21, N.
1. p. 128-136.[53] Ю. Ф. Голубев. Основы теоретической механики. 2-e изд., М.: Изд-во МГУ, 2000.21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
