Автореферат (1102397), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Билинейная реализация позволяет преобразовывать постановку задачи для нелинейной системыв постановку задачи для соответствующей билинейной системы.В разделе 1.5 для сформулированных в начале главы задач производитсяпреобразование постановок задач к их билинейным аналогам. Здесь обосновывается возможность решения исходной задачи путем решения соответствующей задачи для билинейных систем. При исследовании задач для билинейных систем оказывается важным понятие звездного множества. МножествоA ⊆ Rn называется звездным с центром ∈ Rn , если из условия x ∈ A следует, что c + λ(x − c) ∈ A для любого числа λ из отрезка [0, 1].
В задачах длябилинейных систем имеет смысл в качестве множеств начальных состоянийсистемы рассматривать звездные множества с центром в точке 0. Именнок таким множествам приводятся начальные множества из исходных постановок. В этом случае множества достижимости также являются звезднымимножествами с центром в нуле. Аналогичное утверждение оказывается справедливым и в задаче гарантированного оценивания. Необходимо заметить,что простые по форме оценки множеств достижимости или информационныхмножеств билинеаризованной системы могут переходить в соответствующиеоценки для исходной системы, имеющие весьма сложную форму. Эта форманапрямую зависит от характера нелинейностей в правой части уравнений си10стемы.
Таким образом, получение оценок фиксированного вида с помощьюприведенных в этом разделе схем билинеаризации, вообще говоря, затруднительно. Однако, данные схемы позволяют использовать одни и те же формулы вычисления оценок (полученные в следующих главах) для большогочисла нелинейных систем.Вторая глава посвящена задаче аппроксимации множеств достижимости для класса билинейных управляемых систем с геометрическим ограничением на управление.
Предполагается, что начальное множество в рассматриваемой задаче является центрально симметричным и звездным относительнонуля.В разделе 2.1 приведены постановки исследуемых в этой главе задач. Рассматриваются различные варианты геометрических ограничений на управление, а именно: ограничения в виде эллипсоидов или параллелепипедов впространстве Rn×n .
В постановках задач используются начальные множества трех видов: множество уровня положительно однородной липшицевойфункции, множество уровня квадратичной формы и объединение эллипсоидов. Формулируются три задачи аппроксимации множества достижимостибилинейной системы (6), (7). В первой задаче необходимо получить внешние и внутренние аппроксимации множества достижимости в виде множествуровня квадратичных форм.
Во второй задаче производится поиск внешнихи внутренних аппроксимаций в виде объединений эллипсоидов. Наконец, втретьей задаче требуется получить внутренние аппроксимации множества достижимости в виде множеств уровня следующих функций:w(t, x) = σ(S −1 (t0 )S(t)x) + γ(t)ψ(S(t)x).(8)Здесь σ(x) — липшицевая положительно однородная функция, которая задает начальное множество X 0 .В разделе 2.2 производится построение оценок множества достижимости,которые представляют собой множества уровня квадратичных форм:⟩}⟩}{ ⟨{ ⟨X + (t; t0 , X 0 ) = x x, K + (t)x ≤ 1 , X − (t; t0 , X 0 ) = x x, K − (t)x ≤ 1 .Это одна из простейших форм оценок, включающая в себя эллипсоиды и ги11перболоиды. Из того условия, что квадратичная форма является вязкостнымсубрешением или суперрешением соответствующего уравнения ГамильтонаЯкоби-Беллмана, выведены дифференциальные уравнения для матриц квадратичных форм.
В этих уравнениях присутствуют параметры, выбор которыхопределяет конкретное субрешение или суперрешение соответственно.Далее в разделе 2.3 исследуется более сложный класс оценок, так называемые кусочно-квадратичные оценки, которые представляют собой объединения конечного числа эллипсоидов. Такие оценки, наряду с параллелепипедами [51], являются одними из простейших примеров оценок, которые могут быть определены как множества уровня негладких функций. Уравненияпараметров оценок из этого класса значительно сложнее, чем аналогичныеуравнения для оценок из раздела 2.2. Объединение эллипсоидов ∪mi=1 Ei можетбыть представлено как множество уровня следующей функции:⟨⟩w(t, x) = min x, Ki (t)x .1≤i≤m⟨⟩Важно подчеркнуть, что отдельные квадратичные формы x, Ki (t)x самимогут не являться вязкостными суб- или суперрешениями. Это означает, чтокусочно-квадратичные оценки представляют собой более богатый класс оценок, чем оценки в виде эллипсоидов. Данный пример оценок показывает, какможно из оценок более простого вида получать более сложные оценки.
Однако, новые оценки описываются значительно более сложными уравнениями.Наконец, в разделе 2.4 рассматривается весьма широкий класс внутренних оценок множеств достижимости вида (8), которые также строятся с помощью теорем сравнения. В отличие от оценок из других классов, построенныхранее в этой главе, эти оценки определяются как множества уровня некоторых положительно однородных функций довольно общего вида.
Задача попостроению суперрешений уравнения Гамильтона-Якоби в этом случае сводится к оценке константы Липшица некоторой функции. При этом сконструированные в этом параграфе семейства оценок позволяют аппроксимироватьмножество достижимости изнутри с произвольной точностью.В разделе 2.5 представлено несколько примеров, иллюстрирующих предложенные в этой главе алгоритмы аппроксимации множеств достижимости.Третья глава диссертации посвящена задаче гарантированного оценива12ния для билинейных систем, а также задаче синтеза управлений при неопределенности.
Здесь алгоритмы аппроксимации, представленные в главе 2, используются для решения указанных задач.В разделе 3.1 приведена постановка задачи гарантированного оцениваниядля билинейной система (6). Здесь множество X 0 представляет собой неопределенность в начальном состоянии системы. Рассматриваются два вариантауравнения измерений, представляющие собой частные случаи уравнений (2)и (3). Дискретное уравнение измерений имеет видy(τi ) = yi = Gi x(τi ) + wi ,w i ∈ Ri ,i = 1, . . .
, l,(9)t 0 = τ0 < τ 1 < · · · < τ l ≤ t 1 .Предполагается, что множество Ri является эллипсоидом. По аналогии непрерывное уравнение измерений записывается следующим образом:y(t) = G(t)x(t) + w(t),w(t) ∈ R(t),t ∈ [t0 , t1 ].(10)Здесь множество R(t) также является эллипсоидом.
Формулируется задачапостроения семейств внешних оценок информационных множеств X l (t; t0 , X 0 )и X (t; t0 , X 0 ).Раздел 3.2 посвящен решению задачи аппроксимации информационногомножества X l (t; t0 , X 0 ) при дискретных измерениях. В этом параграфе алгоритмы внешней аппроксимации множеств достижимости, приведенные вовторой главе, модифицируются таким образом, чтобы их можно было применить к рассматриваемой задаче гарантированного оценивания и получитьсоответствующие внешние оценки информационного множества.В этой задаче множество X l (t; t0 , X 0 ) может иметь весьма сложную структуру.
В частности, оно может состоять из нескольких компонент связности.Однако, применяя предложенный в главе 1 подход, эту задачу можно преобразовать в задачу со звездным информационным множеством, что позволяетиспользовать оценки той же формы, что и в главе 2.Существуют различные подходы к решению задачи гарантированного оценивания с непрерывными измерениями, сформулированной в разделе 3.1.Один из таких подходов, как было указано выше, заключается в использова13нии понятия информационного состояния системы V (t, x), которое связано синформационным множеством соотношениемX (t; t0 , X 0 ) = {x | V (t, x) ≤ c}для некоторого числа c ∈ R.
Информационное состояние может быть определено различными способами, что приводит к различным уравнениям или вариационным неравенствам типа Гамильтона-Якоби [32, 35, 33]. В разделе 3.3применяется несколько иной подход, в котором уравнение измерений дискретизируется, что позволяет воспользоваться результатами предыдущего параграфа для решения задачи аппроксимации информационного множествапри непрерывных измерениях. Основным результатом этого раздела является теорема 20, в которой утверждается, что рассматриваемую задачу гарантированного оценивания с непрерывными измерениями при некоторых дополнительных предположениях можно представить как последовательностьзадач с дискретными измерениями. При этом последовательность информа{}∞ционных множеств X l (t; t0 , X 0 ) l=1 сходится к множеству X (t; t0 , X 0 ).В разделе 3.4 приведен простой пример задачи гарантированного оценивания для двумерной билинейной системы, в которой информационное множество X l (t; t0 , X 0 ), как и построенные для него оценки Xξl,+ (t; t0 , X 0 ) представляют собой несвязные множества.
Эллипсоидальные оценки информационного множества и информационной трубки для этого примера изображенына рисунке 1.Рис. 1: Информационное множество и его внешняя оценка при t = 1 (слева).Информационная трубка и ее внешняя оценка (справа).14Далее в разделе 3.5 рассматривается пример задачи гарантированногооценивания для четырехмерной билинейной системы, называемой кинематическим уравнением для кватернионов (см., например, [52, 53])11q̇ = A(ω)q = [ω1 A1 + ω2 A2 + ω3 A3 ] q,22t ∈ [0, T ],(11)в котором в качестве неизвестной помехи выступает вектор угловой скоростиω. Стохастическому аналогу этой задачи посвящена обширная литература(см., в частности, [52]).
Для построенных оценок информационных множествдалее формулируется и решается задача их проецирования на координатныеоси, что позволяет получить более грубые, но простые по форме, оценки.Наконец, в разделе 3.6 исследуется задача синтеза управлений для билинейных систем при неопределенности, частный случай задачи из раздела 1.1первой главы.
Здесь рассматривается система видаẋ = Ax + Bx,A(t) ∈ A (t),t ∈ [t0 , t1 ],(12)B(t) ∈ B(t),в которой A — это помеха, а B — управление. Решение рассматриваемойзадачи синтеза дается в виде стратегии, экстремальной к слабоинвариантныммножествам W − (t), которые строятся с помощью вязкостных суперрешенийуравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана-Айзекса⟨⟩⟨⟩Vt + max Vx , Ax + min Vx , Bx = 0.A∈A (t)B∈B(t)В данном разделе мы ограничиваемся поиском кусочно-квадратичных супер⟨⟩решений вида w(t, x) = mins x, Ks (t)x .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
