Автореферат (1102397), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Однако, при использовании только лишь выпуклых оценокдля построения внешних аппроксимаций невозможно получить более точноерешение, чем выпуклая оболочка множества достижимости. В связи с этимпредставляется важным рассмотреть новые классы невыпуклых оценок, аппроксимируя множества достижимости более точным образом. В настоящейработе, в частности, рассматриваются такие классы невыпуклых оценок, какоценки в виде множеств уровня квадратичных форм и в виде объединенийэллипсоидов.Билинейные по управлению и состоянию системы представляют собойважный класс нелинейных управляемых систем, благодаря некоторым ихособенностям [44, 45, 46, 47, 34, 48, 49, 50]. Во-первых, нелинейность такого типа, пожалуй, можно считать одной из самых простых.
Таким образом,эти системы служат хорошим примером для испытания новых аналитических конструкций и алгоритмов. Во-вторых, билинейная система может рассматриваться как линейная система с неопределенностью в коэффициентахматрицы системы, а такие модели часто встречаются в прикладных задачах.В-третьих, в работах А. Кренера, Р.В. Брокетта, А.
Исидори, П.М. Пардалосаи В. Яценко (см., например, [44, 45, 46, 48]) была развита теория билинеаризации нелинейных систем, которая посвящена вопросам локальной и глобальной эквивалентности нелинейных систем соответствующим билинейным5системам. В данной работе результаты этой теории применяются для распространения полученных результатов на более широкий класс нелинейныхсистем.Целью работы является построение решений задач аппроксимации множеств достижимости, информационных множеств и задачи синтеза для определенных классов нелинейных систем, которые могут быть реализованы ввиде эффективных численных алгоритмов.Научная новизна работы.
Полученные результаты являются новыми.В диссертации рассмотрены малоизученные задачи численной аппроксимации множеств достижимости и информационных множеств нелинейных систем с помощью семейств оценок простой формы. В частности, настоящаяработа продолжает исследования [34, 51, 50] задач достижимости для классабилинейных по состоянию и управлению/возмущению систем. Среди построенных семейств оценок можно выделить численные оценки в виде множествуровня квадратичных форм и в виде объединений эллипсоидов, которые являются различными обобщениями эллипсоидальных оценок для линейныхсистем, представленных в работах [18, 19, 25, 33]. В указанном выше классеметодов численной аппроксимации построенные в работе методы дают однииз первых примеров невыпуклых оценок.Теоретическая и практическая значимость.
Работа имеет, в основном, теоретический характер. Полученные в диссертации результаты по численной аппроксимации множеств достижимости и информационных множествбилинейных и билинеаризуемых систем могут представлять интерес для дальнейших исследований. В частности, представляется важным вопрос о получении точного представления множества достижимости произвольной билинейной системы в виде пересечения внешних оценок простой формы.
В тоже время, схемы построения аппроксимаций, приведенные во второй и третьей главах, могут быть реализованы в виде численных алгоритмов и, такимобразом, решать задачу до конца. Эти алгоритмы могут быть примененыпри решении практических задач в таких прикладных областях, как автоматизация транспортных средств, робототехника, навигация, исследование иуправление механическими системами.
При нахождении аппроксимаций могут эффективно использоваться параллельные вычисления, так как отдельные оценки простой формы для множеств достижимости и информационных6множеств строятся независимо.Методы исследования. Для достижения поставленной цели используется описанный выше подход на основе принципа сравнения для уравненийГамильтона-Якоби, известные результаты из негладкого анализа, теории гарантированного оценивания, теории позиционных дифференциальных игр,методов глобальной билинеаризации.Апробация работы. Результаты диссертации были представлены в видедокладов на научно-исследовательских семинарах кафедры системного анализа факультета ВМК МГУ (рук. академик А.Б.
Куржанский), ежегоднойнаучной конференции “Тихоновские чтения” (Москва, МГУ, ф-т ВМК, октябрь 2013 г. и октябрь 2014 г.) и международной конференции по нелинейным системам управления NOLCOS (Тулуза, сентябрь 2013 г.)Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, из них 2 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК. Работы из журналов, рекомендованных ВАК, подготовлены автором самостоятельно.Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения,трех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 115 страниц. Библиография включает 79 наименований.СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо введении ставятся цели работы, обосновывается ее актуальность, атакже кратко излагаются основные результаты, полученные в диссертации.Первая глава диссертации посвящена описанию ряда методов, которыемогут быть использованы для решения поставленных в этой главе задач аппроксимации.В разделе 1.1 представлены общие постановки исследуемых в диссертациизадач достижимости, гарантированного оценивания и синтеза управлений.В задаче достижимости рассматривается нелинейная управляемая системаẋ = f (t, x, u),t ∈ [t0 , t1 ],(1)x(t0 ) ∈ X 0 .Здесь x(t) ∈ Rn — состояние системы, u ∈ Rk — управление. Предполагается, что управление стеснено “жестким” или геометрическим ограничением7u ∈ U , в котором U — выпуклый компакт в пространстве Rd .
Ставится задачапостроения семейств внутренних и внешних оценок множества достижимостиX (t; t0 ; X 0 ).В задаче гарантированного оценивания рассматривается система (1), вкоторой u ∈ U — неопределенность в динамике системы, а x(t0 ) ∈ X 0 —неопределенность в начальном состоянии. Задано также уравнение наблюдений, которое может быть дискретным или непрерывным. Дискретное уравнение наблюдений имеет видy(τi ) = yi = gi (x(τi )) + wi ,w i ∈ Ri ,i = 1, . . . , l,(2)t 0 = τ0 < τ 1 < · · · < τ l ≤ t 1 .Ставится задача внешней аппроксимации информационного множестваX l (t; t0 , X 0 ) системы (1) и уравнением наблюдения (2).
Уравнение наблюдения в непрерывном случае выглядит следующим образом:y(t) = g(t, x) + w(t),w(t) ∈ R(t),t ∈ [t0 , t1 ].(3)Для системы (1), (3) также ставится задача внешней аппроксимации информационного множества X (t; t0 , X 0 ).Наконец, в задаче синтеза управлений рассматривается нелинейная системаẋ = f1 (t, x, u) + f2 (t, x, v), t ∈ [t0 , t1 ].(4)Здесь x(t) ∈ Rn — состояние системы, u ∈ Rk — управление, стесненное“жестким ограничением” u ∈ U , где U ∈ compRk , v ∈ Q ⊆ Rl — неизвестное возмущение. Задача заключается в том, чтобы построить внутреннююоценку W − [t], также иногда называемую стабильным мостом (см., например, [10]), множества разрешимости и предъявить позиционную стратегиюu(t, x), которая для любого состояния системы x(τ ) ∈ W − [τ ] и любой допустимой реализации помехи v(t) приводит замкнутую систему в состояниеx(t1 ) ∈ M, где M — целевое множество.
Здесь используется указанная вышеформализация позиционных дифференциальных игр, предложенная в работах Н.Н. Красовского и его сотрудников (см., например, [43]).В разделе 1.2 приведен ряд теорем об аппроксимации множеств дости8жимости. Внешние и внутренние аппроксимации конструируются методамигамильтонова формализма с использованием таких понятий, как вязкостные субрешения и вязкостные суперрешения соответствующего уравненияГамильтона-Якоби-Беллмана. Сформулированные в этом разделе теоремыслужат в последующих главах основными инструментами для получения конкретных вычислительных алгоритмов аппроксимации. В частности, теоремы2 и 4 используются в дальнейшем для получения соответственно внешнихи внутренних оценок множества достижимости X (t; t0 ; X 0 ), границы которых пересекаются с границей множества достижимости.
В некоторых случаях удается получить достаточно богатое семейство таких оценок, что длямножества достижимости оказывается справедливо представление0X (t; t0 , X ) =∪Xξ− (t; t0 , X 0 )ξили, соответственно,0X (t; t0 , X ) =∩Xξ+ (t; t0 , X 0 ).ξРаздел 1.3 посвящен одному примеру аппроксимации множества достижимости для конкретной нелинейной системы, так называемого динамическогоуницикла, который описывается уравнениями:ẋ1ẋ2ẋ3ẋ4ẋ5= x2 ,= v cos x5 ,= x4 ,= v sin x5 ,= αu.(5)Здесь u — управление, принимающая значения из отрезка [−1, 1], а v и α —положительные константы.
Теоремы 1 и 2 из предыдущего раздела используются здесь при построении эллипсоидальных оценок множества достижимости этой системы из эллипсоидального начального множества X 0 .Наряду с алгоритмами аппроксимации для конкретных нелинейных систем, имеет смысл исследовать возможность построения однотипных оце9нок множеств достижимости для целых классов нелинейных управляемыхсистем. В диссертации рассматривается класс билинейных по состоянию иуправлению систем, которые в общем виде могут быть записаны в следующем виде:ẋ = Ax,A ∈ A (t),t ∈ [t0 , t1 ],(6)x(t0 ) ∈ X 0 .(7)Здесь x(t) ∈ Rn — состояние системы, A ∈ Rn×n — управление, A (t) — геометрическое ограничение на управление, X 0 — множество начальных состояний системы. Выбор этого класса обусловлен некоторыми его свойствами.В частности, в разделе 1.4 приведена теорема о глобальной билинеаризации,которая была доказана в работе [48]. Согласно этой теореме для достаточноширокого класса нелинейных систем существуют соответствующие билинейные системы, так называемые билинейные реализации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
