Автореферат (1102397)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский Государственный Университет им.М. В. ЛомоносоваФакультет вычислительной математики и кибернетикиНа правах рукописиСиняков Владимир ВладимировичВычислительные методы для задачдостижимости и синтеза управлений вусловиях нелинейности01.01.07 — вычислительная математикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква, 2016 г.Работа выполнена на кафедре системного анализа факультета вычислительной математики и кибернетики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования«Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова»Научный руководитель:Куржанский Александр Борисович,доктор физико-математических наук, академик РАН, заведующий кафедрой системного анализа факультета ВМК МГУ имениМ.

В. Ломоносова.Официальные оппоненты: Овсянников Дмитрий Александрович,доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории систем управления электрофизической аппаратурой федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Санкт-Петербургский государственный университет»Обросова Наталия Кирилловна,кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ФИЦ «Информатика и управление» РАНВедущая организация:федеральное государственное бюджетноеучреждение науки «Институт проблем механики имени А. Ю.

Ишлинского РоссийскойАкадемии Наук»Защита состоится 25 мая 2016 года в 15 часов 30 минут на заседании диссертационногосовета Д. 501.001.43 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносовапо адресу: 119991, г. Москва, ГСП-1, Ленинские Горы, МГУ, д.1, стр. 52, 2-й учебныйкорпус, ВМК, аудитория 685.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Московского государственного университета им. М.В.

Ломоносова по адресу: 119192, г. Москва, Ломоносовскийпроспект, д. 27.Автореферат разослан «»2016 г.Ученый секретарь диссертационного совета Д. 501.001.41,доктор физико-математических наук, профессорЕ.В. ЗахаровОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темы. Данная работа посвящена вычислительным методамдля задач достижимости, гарантированного оценивания и синтеза управлений для некоторых классов систем управления. Изучаемые управляемые системы описываются нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Основное внимание в работе уделено классу билинейных по состоянию и управлению систем. Задача достижимости заключается в построениимножества достижимости, состоящего из всех точек, в которые можнопопасть из заданного начального множества, используя допустимые управления, которые удовлетворяют так называемым “жестким” или геометрическим ограничениям. В задаче гарантированного оценивания требуется найти информационное множество, которое состоит из всех точек, совместимых с поступающими в реальном времени измерениями и ограничениями нанеопределенность в системе и начальном состоянии. Поступающие измеренияпредставляют собой функцию от состояния системы и реализации помехи вуравнении измерений.

Неопределенность в задачах гарантированного оценивания также удовлетворяет геометрическим ограничениям: значения неопределенных параметров в конкретный момент времени должно принадлежатьопределенным множествам в пространстве этих параметров. Множества достижимости и информационные множества являются составными частямирешения других задач теории управления, в частности, задачи синтеза. Висследуемых в данной работе задачах все рассмотрения производятся на конечном отрезке времени. Важными понятиями в этих задачах являются понятия трубки достижимости и информационной трубки, которые представляют собой многозначные отображения, значениями которых в фиксированный момент времени t являются соответственно множества достижимости иинформационные множества [1].К настоящему времени разработан ряд подходов к рассматриваемому кругу задач.

Необходимо подчеркнуть, что решение этих задач, как правило,может быть получено только численно и требует большого количества вычислений. Лишь в ряде исключительных случаев решение получено в видеявной формулы.Основным элементом многих таких вычислительных подходов является2использование метода динамического программирования, разработанного Р.Беллманом [2]. Этот метод заключается во введении вспомогательного объекта — функции цены, которая вычисляется как оптимальное значение соответствующего задаче функционала для каждой позиции системы. Позициейсистемы называется пара объектов: момент времени и обобщенное состояние системы. Позиция выбирается таким образом, чтобы функция цены удовлетворяла полугрупповому свойству, которое также называется принципомоптимальности. В таком случае функция цены является решением дифференциального уравнения в частных производных, которое называется уравнением Гамильтона-Якоби-Беллмана (ГЯБ).

Функция цены часто бывает невсюду гладкой и удовлетворяет уравнению ГЯБ только в точках дифференцируемости, поэтому возникает необходимость использовать различные понятия обобщенных решений уравнения Беллмана. Среди определений обобщенных решений можно выделить обобщенные решения С. Н. Кружкова [3]для выпуклого по импульсной переменной p гамильтониана H(t, x, p), вязкие решения [4, 5, 6], построенные при помощи метода исчезающей вязкости,вязкостные решения, введенные М. Г.

Крэндаллом и П.-Л. Лионсом [7, 8], иминимаксные решения, введенные А. И. Субботиным [9, 10]. В случае непрерывной функции цены последние два определения эквивалентны.Одна группа численных методов, связанная с использованием метода характеристик для уравнений Гамильтона-Якоби, была развита в работах Н.Н.Субботиной [11, 12].

В рамках этого подхода функция цены в задаче достижимости (или в задаче синтеза) аппроксимируется на основе формул методахарактеристик.Другой подход к численному решению задачи достижимости заключаетсяв дискретизации соответствующей функции цены по времени и/или по пространству. В частности, при дискретизации по времени уравнение ГамильтонаЯкоби заменяется некоторым оператором, который переводит аппроксимацию решения в момент t в аппроксимацию решения в момент t+∆t.

Решенияв рамках этого подхода приведены в работах [13, 14, 15, 16], см. также книги[17, 10].Третий вычислительный подход заключается в оценивании решений рассматриваемых задач множествами более простой формы. Эти оценки представляют собой внутренние или внешние аппроксимации искомых множеств.3В работах А.Б. Куржанского [18, 19] был разработан аппарат эллипсоидального исчисления, в рамках которого для линейных систем строятся внешниеи внутренние оценки множеств достижимости в виде эллипсоидов (см.

также [20, 21]). При этом объединение всех внутренних оценок, как и пересечение всех внешних оценок, совпадает с точным множеством достижимости.Сходная теория для оценок в виде параллелотопов была позже построена вработах Е.К. Костоусовой [22, 23].Данный подход можно реализовать различными способами. В указанныхвыше работах оценки получены индуктивным методом (также см. [24]). Другой способ, называемый принципом сравнения для уравнений ГамильтонаЯкоби, предложен в работе А.Б.

Куржанского [25]. Он сводит задачу к нахождению верхних и нижних оценок функции цены, которые конструируютсяпутем оценивания гамильтониана в уравнении Гамильтона-Якоби-Беллмана.Этот способ, в частности, применен в работе [26].В данной работе также используется именно этот подход.

Его применение приводит к алгоритмам аппроксимации, в которых оценки задаются спомощью решений задач Коши для некоторых специально сконструированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти задачи Коши для различных оценок независимы друг от друга и решаются численно.Независимость позволяет при этом эффективно использовать параллельныевычисления.

Полученные в результате наборы оценок могут быть использованы для построения более точных внешних и внутренних аппроксимацийискомых множеств с помощью операций пересечения и объединения.Имеются работы, в которых было получено точное аналитическое представление множеств достижимости для конкретных нелинейных управляемых систем (см., в частности, [27, 28]).Одними из ключевых понятий в теории гарантированного оценивания,разработанной А.Б. Куржанским [29, 30, 31, 32, 33], являются понятия информационного множества и информационного состояния системы, которые являются различными вариантами формализации доступной к некоторому моменту времени информации о состоянии системы и связаны между собой определенными соотношениями.

Информационное множество оказывается решением соответствующего эволюционного уравнения [34], а информационное состояние, в зависимости от определения, является решением4уравнения или вариационного неравенства типа Гамильтона-Якоби [35, 33].Использование этих различных формализаций доступной информации позволяет применять при решении задач гарантированного оценивания как теорию многозначного анализа и дифференциальных включений, так и теориюуравнений Гамильтона-Якоби.В теории, разработанной Н.Н. Красовским и его сотрудниками [36, 37,38, 39, 40, 41, 42, 43], предложена формализация дифференциальных игр иподробно исследована их структура. При этом, в частности, указано, какимобразом можно построить синтезирующую стратегию управления, удерживающую траекторию системы внутри слабоинвариантных множеств, несмотряна действия второго игрока, и обеспечивающую таким образом попадание нацелевое множество в требуемый момент времени.Важным свойством, которое зачастую имеется у множеств достижимостинелинейных систем, является их невыпуклость даже для выпуклых начальных множеств.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации