Вычисление топологических инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем (1102395), страница 3
Текст из файла (страница 3)
'П)о"..дй 1'ц бфд6)д схйОцм()ияли()Й )йоч- )~,'ой фч~н)ьц:а'и ц)ц:к1~"куя (),) ),) ~ 1' ). Локазате')ьс Гво утвер )(деция не (' оставляет труда, За11('т11м, -1то (.Воиство точки ГО быть (.тац11она1)нон точкоц Фу11кци11 В~)а1ПЕНИЯ ~» НЕ Вани(',И1 От ВыбОРа Оааноа (Л,~() (ЭТО НЕПО(.~)ОДС1не(Н1О бедует нз определения,. Ц этом смы(.ле мь1 оуд('м ГОВорить, что (.ам тор ЛиуВилля ЯВляеч'(;я ("Гзционйрныъх 'Гором для функш1и й~)ан(.'11ия ф 4еперь дадим определение '"Градиентного поля дополнич(.ль11О1'о ин- / У'*~ теГрж|а (.з'. Цу(".Ть 0 -'-.
яд1й4 Π— Гзмиль)онона (".н(.1~..мж. и пу('ть (.х е( ййт( 1'рал ~', аообп1е 1 ОВоря. необязательно боттоВскии). Ра(-.смо.1*рим ('емей(.тйо регулярных цзоэнергетических поВорхностей ф, где 6 - па~миец). Х1-'11Р«~~М'~ ' ' '1« Г '11«г11««11141 «11«г«'41 О 11 '111/««111 Р, «г ПЦг ««г«г«;гг;г "1Цг «Цг. 1/ггг- '.1;Гг«1 г 411/ ° '1.~111 '1:г««Гг«Г г~«111 «» г/ 1Р«,:г«1~«, г«1«1 г«1«Гг У г«11«г г г«г «,1«Р,,/1,1«1 11 '1».
-- 'Г'Г 1..1« . Г Г '1111: "ГГХ /11«Ч«ЦЧ г Ц«,1 Г. 1 И,- ' "': Ч«"1Й' ' "1"1"'' '/1'111/ г/г. 1 .. г'1«м,«.,гг «,.«ц««лг 1, «11 г гцг г/1 цг гг/. 1 1111 ''«г« .1«~ г '111«г 1/«11';«г /1..1/Г «11'11~",.,/«; г/«г.'/г,.йг« Г, 1«~ъггйг"1Ц'',««,;4«.',«/11111 '11«1. ( / гг '1г/г 1+«19« 1'«г 1 1 / '1' 1 Ч «1 "г«1' г«1'1«г/11«'1«ггг'171 ««1' Ч 11'1 «г«1К« "ЧН«141 '«111" /г ««ггфгг«. l/«1«г«111 1 1й г Гггг«гг Ч1«г 1'1/".«11.«г«г /«11 11/К«111« 1«1«Г«'А'., Ч/1«гг И!1 ««11,1' ';' '' 111/)«1« "1 1цг ~г««г! 11 г:.' «г г "1- 111 ««1/1«Ц 1' Ч «Гг .'1 Я/«'1/г« „Г«, Г' 1«1««И«г «111«1.:1111ц««У«г г'1~.,'Г.'«1 '1«гг' 'Г,«1ГГГ Г«г« « .,'г '1,'-"/. 1«ггг / г«г г«г цг .«ггг.« '/11«/г«11.1«1 «г м1~1 «г«/г/г'.11 1«г«. «1««~ г1«1,.1, ~-,'«гг«гг гг' гг. ! «,1« гг йЦ «гг«ФИ.'.
/ЦЧг 11 .',1««г1,.1««.,'г1.111«,г11 711«111«1«1И41 //1/г«1«А«1/ г' .Р «; 11, ',г«г.,/,1«Г~'. И« Ч 1,11.;1«1 г,'г«у««.ц«~1.:ЬЪ '/Г'«/г 111г~««М й1/г'Г г Гг««г« . 1А у, 111".ГЪ 1«г«лг .',1«г / .11,/ г . 1«г,' „1«г 'гг:г Ч г" ',г 11г /11«г««г 11«'1+111111«г«г"г'1'г«11, г '1««г«1/цг ( г г/г 1«г'цгг,««г«г/ г' 1''* г "11 г «гг: .1й г 111'' «г ° '«1,','г11 '»~* ц, ггг. И« ««г/11*« '11,~ '1/кг«г.г«ггг«. 1,:г«ц«гфг1 ««, г' ' ' ° 'г гг','.г гг« гг./1«гг гг«~г Чйггг '«Ц«1 г; г 11«гг«11г,'/1«1«/11« "111111«г.','гг П!г../..г« //1 13, Г«г'«.ЯГ«1111«1«,И Н««ъ/.1«г«ф',«1«111/1«ГМ«'«1«'11«'«/Л1г«11/М1 '11Л«1гЦЧ«/1 «» /', г; Ц«/: Цг«. Ф ~4 Ф 1" 1< г ' '1г' /,'"~ "«111» '«/ Ц."г Яг«11«11111«111 «г '1/«1г«1:«11«г' 1«~ г 1 г ' ~ '1' г' 11 ' "- 1 г «ц и / ",.
1/1/г"7ц«: -1 Д «'"'1111, Я1«1113«;«1«1«~к«11««/1/ "г« «'«1.'.«1'11'«~'гг«1«нг«. гг ' '«г г г г 11' /1Ц «г«11111 Ц %1«111««,1«г; «1 .-~Д «ффД«1/1Д««1,11«1 Я« /«г«11111 Г; 11« Чг °; Ч ° 1111,,' 1«-1« "«Й«1«/А."11 /,. «' /«1''1,«м11«ф«111 «М1«гм« ~1н«111 «1~1/«их«1.'.1«1 С» «/«.''11«'111г~«1,.1«,/,'1/«11 г,:- 11«1.
/ Гг.'Г/ГГ 1/М«'."'111,:М' «",~11«: «/1«1Р441/.г«11, .~~Ъ ~ .-, .'.!Ы 3~~:"1 О,7Ь ~~~1Ы.111' Ь г~.',1, '1Т~~ в ~.т;цк~ '1~„- Ь )~ (~О~ 1 3 ~)1 ~ ~Н~1„1Ы1Ы» '. ! . Ь, . $)~1~1 Д~)Ц '~~'*, ~, ~('Я~~( ~' ~~;)~) "~'~)» ~ДЦ(~',~ '~' ~~~ ~ Д й 1 1'и!'1)Ь 1!унт Г 3 1 Т(ч)1И'М()ц ЫВ1Я1'Т1'Я К '.Еси'Р('Л$тз('НБЫ ' ! Г.'!4' 4( Пц" 1".1 Л' ' ! К,, ~,~~1И(~!1 1~'Ы~1Ь~ 11 (~)~~,'~ьГ~',,:Ы СТОК( «..~~'И~" 1'В1П'~',11~Ео «'(~ГЛ4» Н:~ ~~~~~~~>~1''.1~' ( '1 ~ 1;~'*1 1~'~!, 1 11''. ~.(~. 1)М~'~ "1 1Й 'Й~'' 1 ''."1 ~:.'~1Ь1'.'1 1'~'~)~й*.'~1'1 П1!.'3Н(~~''УЬН~ Д1)Е~1ЗЙПЙ.
1епзорным ин Вариантом динаыическои системы Х на многообразии .Ч назыВается ненулеВОе Глалкос тензорное поле Т, такое, что У.хт = О, где 1. ~- — произВО 1н;~я Л11. Б частности, л1обои интецил (т.с.ска.в1р11ая глалкая функш1я ~, 11нвар11антная Относ11'Гелы1О потока Х» является тен',мц)- нь1м инВйр11антом. „'1ля л206Ои динаяи'1ескои систнАы Х па л1ОООм многооорази11 Л1 и егда име1отся тензорныр инВарианты, наприьи р — зто само поле Х, сдини'1ный о11ер11тор 1 ~= Ною~7 М.7ЛХ) и их тснзорн11с ВрОИЗВе,дГПИЯ. С' друГОй СторОНЫ. ЗаМЕтИМ, ЧтО СЕЛИ /' НЕтрИВ11аЛЬцЫй интеграл,т,е./ ~- со1М ), то Все 'и'.11зорньн'.
щ)оизведения ф ',:,." .' .:ф яйляются тензОр11ым11 иниьриантйм11. Следовал'~'льно, если с11стсма Л 11ыее'1' И11тецй1л, то су111ествуйуГ тспзорные инВйр11йнты л1ОООГО типа ~~ю. ч1, Яозн11кает Ооратн~ 1и Вопро~ ~~ Ог,~~а из сущест11онац11я тен"'~орного 11нвар11анта (Огл11чного от 11нтегра.1а) следует существованне нетрнви альных 11нтсгржкщ или. хотя бы, многозначных инте1'р:1.:1ОВ д11наыической системы'" .И такой формулировке вопрос Впервые был поставлен и 11зучался 1.ъ.В.
Козловым и С.В. Болотиным В ~21, 23~, Где было доказано. что д е,1уч'1е 1 ео "1е 111~1ес1 ОГО пото1:а цв ко~ 1дактноц поверхнос111ц с~ ц1~~ стВОВанис нетривиыьного поля еихюметрий Влечет существоемп1е нену- В'ВОГО многозначного 11нтегрй.%3,. ПО4В спмме"Ц)И11 называется "не'Гр11- В11ад1 ным", ес.1и оно не равно еопМ Х2~, Где .О» — геолезичсское Векторнм. Ц ((4.4,докйзйно ~ТРОВ.'мж 16~, 'л,'О Осли Геодюзич~ч.кий ПО1'Ой: нй компйктцохх пОВерхноети допу(.кйет тснзОЕ)ньхех инВ~цщйцт типй (0,.31, кО.ГО" ~ЬЕЦ В НЕКОТО~)ОИ '.ГОЧК(" НЙ ИЗОТЕ~)Е"ЕТИЧС1КОИ ПОВЕфХНО( ХИ $)ЙВЕН НУЯЕО~ т() су(ХХе("твует мнОГОзнйчньхех ин Г()Грйд ГеОДеЗЙчР(;КОГО пОТОкй ~бьхть )ео ~*ЕТ„НЙ ПЕКОТО~ЭОМ ДВУ''ХИ(ТЕЕОМ НЙК~)ЬХТИИ ИЗОЭНЮ',:~)ЕФ!'вича(:Ко)е ПОВР~)'(Но АГГЕЕ,' Д ~~4.5 ОООбпейеот("..я ~)езГпзтйть1 Хез 64.4 нй с.(хучар проххЗВО;хьнОГО тенщ)ххое О инв~ц)ийнтй типа ~)х(, О) ° Хмм доказйехй тео~)ему, ч'хо есдее Геод~"" эЕхче('.кехе( пото)( дохеускй(."т теееЗОЕ)ньхи ЕНВЙрххйн Р ч'(и(Й: ( ж..
)) ) „котО1)ь(и В ех(,которохх то'ххж нй еезоэисрге'тичюскои хеОВер.(".но(,"тЕХ Обрйхцйет('.я В нОль, О, . 'ется двуЗнйчное поле си:;ечртрии ('(.и. хе ему х8 и ('ледстцеея), Цеэде и~)ег!подагр'тся, хтО В(;с тмн:нц)ехые поля ((Х)ипаддсжйт кдй('с7 ~х: 3', .) ГдйдеО('тее ( " ~Я',1 „Где ((~' иЗОэн(".))Гетх1ческйя пОВ(фхно(.""х, ь- Под ееетрнциа„хьньеи' интегралом понимаетея интеграл георге;.цеческого по:хока на О3.
х;ото1н )и отличен От константы. Кон(..чно, в аххадитххче(е ом (дунае леобоех ехетх)ххх)еейльныее инт("е.рад будет 1ххувиляевы.;е ((.м.~2.".)~), Х )(с('мот~)11м 'хи~'мерное зймкн~тое. компактное и ОрЕеептщ)ованное чпюх'оо6~)3.'(ве 'И. Пусть на нем Задана ~)ххмйновй:ме'.я)ехай д. х еодеЗи'еескеХи поток этоц м("трхеки являех(:я автоночнохе деенамЕх.-еескои' ()(сте)хои НЙ ка(ит(льпоы ~)Й('.('. Еоен1111 7 ЛХ вЂ” + .'Ц.
Ме Грика д. рею'смйц)ххва('мйя как функцеея нй 'Т.'11. является интеградо"е Геодезпчесха~го потока,. Ра(;с ео.) г(( т$)им пэоэхеР~)Г( ти'хе('.куео пове1)хность этОГО ин'Ф'ец)алй ~~ = ~ (~('(', (1) 1~. На ~~' определим Векторные поля Х)((, В и В2. линейно н(-зйвеесх11 хы(' 3 ЛЕООои 'ТОЧке. НЙ ~" (.ущ~ (:твует е(.те( тхееххнО( дейсхвие Окр~:жн(хтхх 5' = ~,. 111о(12л ~, КОТО~)О(":')Й,'ХЙ(" Х СЯ ф ОРИ'~~ЯОИ Х" (-+ ~ХЕОВОрот 6 НЙ УГОЛ +~~.
ФУндаментальное векторное поде этоГО дей(..твехя Обознйчихх ч('рез Х)~, Д()~ (.~! =„— ~(), ~))Д (Х'".1~=-О О603нйчих х через О, ГйодеЗЕЕ ееекое Векторное поде. Тогдй Вект(фно(. д~',» хходе б) Оп~)Вдели~1 форьх~лоех.О~ — — ~О(х,ое~, ПО другому мо)кехо (;кй;)Йть 88 ру~~Д1РДЙКИВ 31 . ЛДМ7$6,7 Д~ДД~~Д~~Щ~)~Яц~'рруку ~ ~Я4 д - °: Я. ~, Я~4 1:.:-::." . „' 'с ~ '~ " 'Р".' ""И~ ~~о~~ 'чем чаха А~ мн, жеев~' щах що~ек у ~ ~~', А~~ ~~~Я~~~~ ° '~х» = (Щ. Лредиодцжцм, ~рдо д О".Р~~~~~""~" ~~~~ ~~~~~~~Ф~~~~ИИ4 Л' М~ МКОЖ~ехйво т ~~~Р~Х~),жьлкписж ф--щи,7ИНИМ '.4йдКИМ ЙЯ~фЬРВИС,И. Х';$9дА;1И;7йб ЙОНЯМИЮ~ТК'М О РЮ44 ~;„рЬ~СА6.", ЧФИО:МОЬЯМЬЙО МЮ606,4Щ:Ш, ЯЬ4ДСЩСЯ.
~'.~~йдХВМ ~" ~'.~~КЧ~=М б .у $(" ~аЗ ЦНО;Ж~'..СТПОО .T 'ИНК ЩЖВНПТКО ОЩЖО~."ИТДС4бйО:МОДС3ЦЦКСИО30 ПОП) О- у„~у„Щ,.( .. ОСЛИ /';—.. У. ХЙО ф,„~ (-.7. Я~.,„~~ф, ~~ й~Ой~~О~~~йЯЯ ~'.~й~д~~~ ~~;~рй~ф Цд ~~' . ~~~ фф~~~~~® де~ ~У(х),;:~ — — ' тлах~~Я,: ~, с л '~х)~ /Ф~ фЦ ~~~)Щ(~фЦ~.'Ц6' $ ) „4~ 1 ), Я$~~ .~ ~~~/Д~'.Д ЦЯД~ЗЩЯЩ~р '~' ' ДЦЯ$~ЩуфЯ 'Ц~)Д(:Дф ~'.ЯД4- дерфМЙ ".~,'Од~.ЗИЧ(.'.СКО".О ВО)71ОКЯ '. ТСИ СйМЬХ'Й ДОЕЙ„"М$,ПИ '53О~ЖМЯ 3.8 . ЙД( ТЙ6 "1:1~~~1.'ЗИЧ1.'СКОЙ ЙО7ЙОЫ дбДМСЯЙОЙ Р06Я)ХЙО~.'.ТЙН дО- ЩГКОСХЙ КИ Ы:Зб'УИ1~К."СШИЧСЛьОЙ Т4Об Я)ТНО1:7ХЩ Д ИМ.'НЗСфйИЙ ййб~фИЯНЮ РДЕЯ:,Л1.
1~,,1, ФаОШО~1ОЙ 6 ЙСЕОО1~фОЙ ШОЧФьС ~~й6~И, ИДЕЮ. 7 ~~,",дЫ ';~'Од~.'.ЗИЧ~:- ж(Аа и97пок д'.Иуски~т Имчщоаамьное двузиччнос тюле симмерчща, СЛЕДСТВИИ 8 . ЕСМЕ МПО:.ЖЖСЗЛОО Л О~ОС7ВЙШОЧЙО ХО~)ОЫС6,", НЯИ~П1АЫ~Х РИМА.' К(Лъ 6 ДСАООИЫ 7~.'(ф~.ИИ 16, И Я' -~ьО.МРЯ7ЛЙИЫЯ, ГРО ~йб~':дЯ ~.'.~0д~,"- Зчч~:тай ИОЩок тапсгрщтл~ Цо Лиубиддьо Иа унцберГумьцой Ниц)ыь(Я- ь:~цей н.ад О' '~, А. ,4ОКЙЗЙ~РЛЬС*ВО.
Ь.ЙК И В ДОК43Й~СЛЬСТВО "ХСО~СМЫ 16 ~(;,Ч ЙПйВЯИВЙ~Т~Й, "1ТО На 4В~'лж*тной накрывающеи над Я' ~ Л сущесТВЪет м ногозн ъч- ЯНЯ ИНТстрд,'1, СЛеДСТВИ6 ДОЕЗЗВН0. р Ф Р 1 1 1 '3 7' Г~. о =Ь $ 1 .- 1 д." М, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
