Возбуждение электромагнитных колебаний в импедансных волноводах (1102372), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В пункте 2.1.2 второй главы показано, что задачаuˆ (γ ) + Q (γ )uˆ (γ ) = Dfˆ (γ ) ,(10)решение которой играет роль Fr-образа решения (9), при всех γ , не совпадающих ссобственными числами оператора Q(λ ) , единственным образом разрешима, причем онаимеет единственное решение при γ → ±∞ на действительной оси, для которогосправедлива оценкаuˆ (γ ) H ≤ ε fˆ (γ ) ~ ,H(11)где ε > 0 – некоторое число. Это означает, что оператор Q(λ ) может иметь толькоконечное число собственных чисел на действительной оси.
Кроме того, поведениерешения (10) на бесконечности определяется поведением правой части этой задачи.На основании оценки (11), леммы Жордана и разложения резольвентыаналитической оператор-функции Q(λ ) в окрестности собственных значений задачи11w + Q(λ )w = 0(12)доказанаТеорема 2.
Пусть Ai , где i = 0,1,2 , являются вполне непрерывными операторами впространстве H , причем A2 помимо этого самосопряжен и положительно определен.Пусть f ( z ) является финитной четыре раза непрерывно дифференцируемой функциейдействительной переменной z со значениями в некотором гильбертовом пространстве~~H , а D – ограниченным оператором, действующим из H в H .
Тогда задача (9) имеетединственное решение, допускающее Fr-преобразование. Это решение имеет видu = Fr[uˆ ] , где û является решением задачи (10). Для него справедливо представлениеN + Mnz+imm −1u (z ) = ∑∑e iγ n ( z − z′ ) ( z − z ′) Pn(m ) Df ( z ′)dz ′ +∫n =1 m =1 (m − 1)! − ∞N − Mn+ ∑∑ (− 1)n =1 m =1m+∞−imm −1e −iγ n ( z′− z ) ( z ′ − z ) Pn(m ) Df ( z ′)dz ′ + u ост ( z )∫(m − 1)! z(13)где N + – число возможных действительных положительных собственных значений γ n+задачи (12), N − – число возможных действительных отрицательных собственныхзначений γ n−задачи (12),Pn(m ) – конечномерные операторы в пространстве H. Дляостаточного слагаемого u ост справедлива оценкаu ост ( z ) H ≤Czпри стремлении z к бесконечности, где C – некоторая положительная константа.Таким образом, для задач рассматриваемого класса требование существования урешения обобщенного преобразования Фурье также является вполне корректнымусловием излучения.Вторая часть второй главы посвящена исследованию задачи о возбужденииколебаний финитным гармоническим распределением токов и зарядов в регулярномволноводе с импедансной границей, поперечное сечение которого представляет собойпроизвольную звездную область с гладкой границей.
Рассматриваемый волноводзаполнен средой ε = ε ( x, y ) и µ = 1 . Для анализа этой задачи применен шестивекторныйподход. Необходимо найти шестивектор вида⎛ 0⎜⎜ − BzF=⎜B⎜ y⎜ iE⎝ xBz− By0Bx− Bx0iE yiE z12− iE x ⎞⎟− iE y ⎟,− iE z ⎟⎟0 ⎟⎠удовлетворяющий задаче0⎞ ⎛ J ⎞⎛ 0 ⎞ ⎛⎜⎟ ⎜ 1 ⎟⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ J ⎟ω⎜ 0⎟⎟ =⎜ 2 ⎟,Div F + (1 − ε )F ⋅ ⎜ ⎟ + ⎜0J0 ⎜c∂ε ⎟ ⎜ 3 ⎟⎜ ⎟ ⎜ −1 2⎟ ⎜ −1 ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ ε ∑ F4 k⎝ ⎠ ⎝ k =1∂x k ⎟⎠ ⎝ ε J 4 ⎠(14)∂Fik ∂Fkm ∂Fmi++= 0,∂x m∂xi∂x kF*Nгде: J =4π( jxcjyx = (xволноводе;= 0,(16)icρ ) – распределение токов и зарядов, возбуждающее поле вTjzy∂S(15)z ict ) ;TN = (n x0 − iς ) ; ς = ς ′ + iς ′′ – комплексныйTnyимпеданс границы.
В качестве условия излучения примем существование у решения FrобразаF ( x, y , z , t ) =1e −i (ωt −γz )Fˆ (x, y, γ )dγ∫2π C(17)Для шестивектора Fˆ ( x, y, γ ) в гильбертовом пространстве H, представляющемсобой замыкание множества гладких антисимметричных шестивекторов с нулевойдиагональю, удовлетворяющих условию G * N∂S= 0 , по норме, порождаемой скалярнымпроизведением(G, Q ) = 1 ∑ ∫ {(∇ ⊥ Gnm , ∇ ⊥ Qnm ) + Gnm Qnm }ds ,24n , m =1 Sможет быть получена обобщенная постановка задачи:()1 41⎛ 2 ω2 ⎞ 4ˆ⎜ γ − 2 ⎟⎟ ∫ ∑ Gnm Fˆnm ds +∇G∇Fds+,∑ ⊥ nm ⊥ nm2 ∫S n ,m =12 ⎜⎝c ⎠ S n ,m =1⎧⎪ ⎛ ⎛ ∂Fˆ (4 ) ⎞ ∂G⎛ ∂Fˆ (4 ) ⎞ ∂G12 ⎞ ⎛ ∂Fˆ12⎟ +ς⎜+ i ∫ ⎨ς ⎜ ⎜⎜, n ⎟⎟ 12 − ⎜⎜, n ⎟⎟⎟ ⎜ ∂x⎜∂∂∂∂xyyxS ⎪⎠⎝⎠⎠ ⎝⎩ ⎝⎝⎧⎪ ⎛ ⎛⎛∂n ⎞ ∂G∂n ⎞ ∂G ⎞ ⎛ ∂Fˆ+ i ∫ ⎨ς ⎜⎜ ⎜ Fˆ (4 ) , ⎟ 12 − ⎜⎜ Fˆ (4 ) , ⎟⎟ 12 ⎟⎟ + ς ⎜⎜ 12∂x ⎠ ∂y ⎝∂y ⎠ ∂x ⎠ ⎝ ∂xS ⎪⎩ ⎝⎝++ω(4⎛ (4 ) ∂n ⎞ ∂Fˆ12⎜⎜ G , ⎟⎟ −∂y ⎠ ∂y⎝(⎛ ∂G (4 ) ⎞ ⎞⎫⎪⎜⎜, n ⎟⎟ ⎟⎟⎬ds +∂x⎝⎠ ⎠⎪⎭⎛ (4 ) ∂n ⎞ ⎞⎟⎫⎪⎜ G , ⎟ ⎟⎬ds +∂x ⎠ ⎠⎪⎭⎝)22iως ′ˆ + G Fˆ + G Fˆ dτ − γ ∑ ς G Fˆ + ςG Fˆ dτ +GF1212131323233k 4 k4 k 3k∫c ∂∫S∂S k =1∂Gik ˆωFi 4 (1 − ε )ds +∑∑∫c S k =1 i =1 ∂x kc2)⎛ ∂G (4 ) ⎞ ∂Fˆ12⎜⎜, n ⎟⎟ −⎝ ∂y⎠ ∂y2∂G4 k Fˆ4 m ∂εω⎛⎞ˆ()1iGGF−ds+ds −γε−+⎜⎟i3i4i4∫S ∑∫S k∑cε ∂x m⎠i =1 ⎝, m =1 ∂x k413Fˆ4 m ∂εds =∂x mm =1 ε2− iγ ∫ G43 ∑S+ω⎛ 3∂Gik ˆJˆ ⎞⎜ ∑ Gi 3 Jˆ i + G 43 4 ⎟ ds +γJdsi−i∫S ∑∑∫⎜ε ⎟⎠i =1 k =1 ∂x kS ⎝ i =133∑Gc∫S i =122∂G 4 k Jˆ 4ˆ ds +J∑i4 i∫S k =1 ∂xk ε ds(18)Здесь введены обозначения: для ∀Q ∈ H Q (4 ) представляет собой вектор скоординатами (Q41Q420 ) , а n(M) – это единичный вектор в направлении внешнейTнормали к границе области S в точке P пересечения луча, проведенного из началакоординат на сечении S через точку M ∈ S , с границей ∂S .Так как определенная на H билинейная форма⎧⎛ ∂G (4 ) ⎞ ∂G12 ⎛ ∂G (4 ) ⎞ ∂G12 ⎫− ⎜⎜b0 (G, G ) = 2 Im ς ∫ ⎨⎜⎜, n ⎟⎟, n ⎟⎟⎬ds∂∂∂∂xyyx⎝⎝⎠⎠S⎩⎭является действительной, и ее норма не превосходит ς , то при всех значениях параметраς ≤ ς 0 < 1 , задачу (18) можно рассматривать в эквивалентном гильбертовом пространстве~H со скалярным произведением[G, Q]H~ = (G, Q )H + b0 (G, Q )В этом пространстве она имеет видFˆ + A0 Fˆ + γA1Fˆ + γ 2 A2 Fˆ = D0 Jˆ + γD1 Jˆ ,где операторы Ai являются вполне непрерывными, а Di – ограниченными.
Поэтому длянее справедлива теорема 2. При достаточной гладкости вектора J можно вернуться впространство прообразов. При этом решение исходной задачи вида (17) будетединственным, допускающим Fr-преобразование. Асимптотика, получаемая для него наосновании леммы Жордана, позволяет утверждать, что это решение может содержатькомпоненты, соответствующие только расходящимся от источника или затухающимволнам. При физических значениях параметра ςпроисходит затухание волн набесконечности.В третьей главе настоящей диссертации рассмотрен частный случай задачи овозбуждении колебаний в импедансном волноводе, допускающий аналитическое решение.Исследован регулярный полый цилиндрический волновод кругового поперечного сеченияс импедансными стенками, возбуждение которого осуществляется финитным произвольно{ }ˆ = {E, H} − {E , H }ориентированным током je −iωt .
При решении задачи для невязки Eˆ , H00искомого поля и поля, возбуждаемого тем же током в волноводе с аналогичнойгеометрией, но идеально проводящими стенками, можно воспользоваться представлением14полей при помощи электрического и магнитного векторов Герца, направленных вдоль осиволновода:ˆ e = ϕ ( z , ρ ,θ ) ⋅ e ,Пzˆ m = ψ ( z , ρ ,θ ) ⋅ e .ПzПри этом для коэффициентов ϕ m (z , ρ ) и ψ m ( z , ρ ) разложений функций ϕ и ψ в рядыФурье по полярному углу θ получены задачи, неоднородность которых заключена вграничных условиях.
В качестве условия излучения для них выступает требованиесуществованияурешенияFr-преобразования.Задачавпространствеобразовединственным образом разрешима, если определитель[ (Det (γ ) = ςω 2 (ω 2 − γ 2 ) J m′ ω 2 − γ 2 R)] − iω (1 + ς22)(ω2() ()− γ 2 ) J m ω 2 − γ 2 R J m′ ω 2 − γ 2 R −32(2⎛2⎛ mγ ⎞ ⎞⎟ 222− ς ⎜ (ω 2 − γ 2 ) + ⎜⎟ ⎟J m ω − γ R⎜⎝ R ⎠ ⎠⎝)не обращается в нуль. Нули этого определителя представляют собой постоянныераспространениянормальныхволнвимпедансномволноводе.Наоснованииподготовительной теоремы Вейерштрасса можно показать, что при всех ςуравненияDet (γ ) = 0корниимеют единичную кратность. Для нахождения постоянныхраспространения применима теория возмущения. В первом приближении по параметру ςони имеют вид⎛⎞iω+ K⎟ ;γ n ,m (ς ) = ±γ n0,m ⎜⎜1 + ς ⋅0⎟R γ n ,m 2⎝⎠( )⎧⎪iςR⎪⎪γ n′,m′ (ς ) = ±γˆ n0′,m′ ⎨1 +0⎪ ω γˆ n′,m′⎪⎪⎩((⎛ mγˆ n0′,m′⎜+n′ , m′⎜ R⎝2 ˆ0R λ n ′ , m′ − m ′ 2λˆ0)2⋅)22⎫⎞⎟⎪⎟⎠ + K⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Если финитная функция, описывающая возбуждающий колебания ток, хотя бы двараза непрерывно дифференцируема по z, то задача имеет единственное решение,допускающее Fr-преобразование при всех значениях частоты ω , квадрат которой несовпадает с корнями α n уравнения[ (ς J m′ α R)] − i(1 + ς )J ( α R )J ′ ( α R ) − ςJ ( α R ) = 022mm2mПредполагая, что постоянные распространения для рассматриваемого волноводаизвестны, и используя полученные в классических работах А.Н.
Тихонова и А.А.Самарского выражения для векторов Герца в случае идеальной проводимости стенок,получим решение задачи, которое может содержать в качестве слагаемых толькокомпоненты, соответствующие затухающим волнам.15Заключение.В заключении приведем основные результаты работы.• Исследована разрешимость нескольких классов задач, обобщающих задачиматематической теории волноводов, представимых в виде операторных уравненийспециального вида для функций действительной переменной z со значениями внекотором гильбертовом пространстве H. Показано, что для задач указанногокласса требование существования у решения обобщенного преобразования Фурьеявляется вполне корректным условием излучения, позволяющим выделять такоерешение задачи, которое соответствует бегущим от источника и затухающим набесконечности волнам.• С использованием предложенной методики доказано, что задача для произвольногоэллиптического оператора L в бесконечной цилиндрической области с граничнымусловием третьего рода имеет единственное обобщенное решение со значениями вW21 (S ) , допускающее Fr-преобразование.
Это решение представляет собой суммуконечногочисласлагаемых,соответствующихрасходящимсяслагаемого, норма которого в W21 (S ) убывает какz−1волнам,ина бесконечности.Спектральная задача для оператора L на поперечном сечении области может иметьтолько конечное число вещественных положительных собственных значений.• Доказанаразрешимостьзадачиовозбужденииколебанийфинитнымгармоническим распределением токов и зарядов в регулярном импедансномволноводе с заполнением ε = ε ( x, y ) ,µ = 1 , поперечное сечение которогопредставляет собой произвольную звездную область с гладкой границей.• Исследована задача о возбуждении колебаний финитным током je − iωt в поломрегулярном цилиндрическом волноводе кругового поперечного сечения симпедансной границей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
