Возбуждение электромагнитных колебаний в импедансных волноводах (1102372), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

При этом основная сложность, связанная с применением парциальныхусловий излучения в волноводе с импеданснойграницей, – установление полнотысистемы его нормальных (корневых) волн – обойдена при помощи специальной формыусловия излучения.Цель работы. Целью диссертации является развитие общего метода изученияволноводов, параметры которых не меняются вдоль оси волновода, основанного натехнике Fr-преобразования, и его применение для ряда краевых задач в волноводах симпедансными стенками. В работе были поставлены следующие задачи:6ƒпостановкаиисследованиеразрешимостинесколькихклассовзадач,обобщающих задачи математической теории волноводов, представимых в видеоператорных уравнений специального вида для функций действительнойпеременной z со значениями в некотором гильбертовом пространстве H;ƒисследованиеразрешимостизадачидляпроизвольногоэллиптическогооператора в бесконечной цилиндрической области с граничным условиемтретьего рода и требованием существования Fr-преобразования решения вкачестве условия излучения.ƒисследование разрешимости задачи о возбуждении колебаний в регулярномволноводе с заполнением, зависящим от координат в поперечном сечении, иимпедансной границей;ƒисследование задачи о возбуждении колебаний финитным гармоническимтоком в регулярном полом импедансном волноводе кругового поперечногосечения.Научная новизна.

Для всех четырех упомянутых выше задач впервые доказанаразрешимость при всех достаточно гладких финитных функциях в их правых частях.Ключевым новым моментом в самой постановке этих задач является использование вкачестве условия излучения требования существования Fr-преобразования решения. Приэтом показано, что это условие выделяет решение, удовлетворяющее парциальнымусловиям излучения, которые сформулированы в работе для нормальных волн.Практическая ценность.Полученные в диссертационной работе результаты даютстрогоеобоснованиематематическоекорректностипостановкирядазадачматематической теории волноводов и могут быть использованы при построенииалгоритмов расчета широкого класса волноведущих систем, в т.ч.

с импеданснымистенками.Апробация работы. Основные результаты докладывались:• на секции «Физика» ежегодной международной конференция студентов иаспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов» в 2003, 2004, 2006 и 2007 гг.Доклады в 2006 и 2007 гг. были отмечены жюри как лучшие на подсекции.• на международной конференции Direct and Inverse Problems of Electromagnetic andAcoustic Wave Theory DIPED-20067Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 4 статьях в реферируемыхжурналах, а также в 4 тезисах докладов на международных конференциях.Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы(62 наименования) и 3 рисунков; изложена на 110 страницах.Содержание работы.В первой главе диссертации исследуется уравнениеu + Bu − Au zz = Dfu(z )для функции действительной переменной(1)со значениями в гильбертовомпространстве H.

Функция f (z ) в правой части этого уравнения определена на всейдействительной прямой, имеет финитный носитель, а ее значения принадлежат~некоторому гильбертову пространству H . Операторы A и B являются вполне~непрерывными в H , а ограниченный оператор D действует из H в H . Рассматриваемоегильбертово пространство H обладает тем свойством, что в нем уравнениеw + Q(λ )w = 0 ,Q(λ ) = B + λ2 Aне имеет нетривиальных решений, соответствующих λ = 0 .Необходимость анализировать подобный объект возникает во многих задачахматематической теории волноводов. В частности, в пункте 1.1 первой главы показано, чток такому виду может быть сведена задача⎧⎪ L[u ] + ∂ 2z u + ω 2 u = f ,⎨l [u ] ∂Ω = 0⎪⎩{(2)}в бесконечной области Ω = x ∈ S ⊂ R m , z ∈ (− ∞,+∞ ) для произвольного эллиптическогооператора⎛⎞ n⎜ aij ( x ) ∂ ⎟ + ∑ bi ( x ) ∂ + c( x )⎜∂x j ⎟⎠ i =1∂xi⎝с симметричной главной частью.

Оператор граничного условия имеет вид∂i , j =1 ∂xinL=∑l=n∑ a (x )ni , j =1iji(3)∂− h( x ) ,∂x jгде ni – компоненты внешней нормали к границе области S. Роль гильбертовых~пространств H и H в этом случае играют W21 (S ) и L2 (S ) соответственно. Компактностьоператоров, возникающих в левой части обобщенной постановки данной задачи,доказывается на основании теорем вложения.Вкачествеусловияизлучениядля8(1)будемиспользоватьтребованиесуществования у решения обобщенного преобразования Фурье или Fr-преобразования.

Впункте 1.2 первой главы рассмотрена задачаuˆ (γ ) + Q(γ )uˆ (γ ) = Dfˆ (γ )(4)в пространстве H, решение которой играет роль Fr-образа решения исходной задачи (1).Для этой задачи доказана теорема, утверждающая, что спектр оператора Q(λ ) состоиттолько из собственных чисел конечной кратности, среди которых может быть лишьконечноечислодействительныхположительных,еслиоператорAявляетсясамосопряженным и положительно определенным.

При всех значениях параметра γ , несовпадающих со спектральными точками, существует единственное решение задачи (4),для которого справедлива оценкаuˆ (γ ) H ≤ ε fˆ (γ ) ~ ,Hε >0(5)при стремящемся к бесконечности на действительной оси параметре γ . Доказательствоэтой теоремы основано на применении леммы Келдыша о поведении резольвентынормального оператора. При этом принципиальной является самосопряженностьоператора A, вполне непрерывный оператор B может быть любым.

Если оператор D имеетвид ± AD1 , где D1 – некоторый ограниченный оператор, то тогда найдется M > 0 , такоечто для решения (4) при γ → ±∞ на действительной оси выполняется неравенствоuˆ (γ ) ≤M ˆf (γ )2γ(6)Оценки (5) и (6) означают, что поведение û (γ ) на бесконечности определяетсяповедениемfˆ (γ ) . На основании этого факта, особенностей структуры контураинтегрирования в Fr-преобразовании, а также разложения резольвенты аналитическойоператор-функции, полученного в трудах М.В.

Келдыша1, доказана теоремаТеорема 1. Пусть A – вполне непрерывный, самосопряженный, положительноопределенный оператор в гильбертовом пространстве H, B – произвольный вполненепрерывный оператор в H, и D – произвольный ограниченный оператор, действующий из~гильбертова пространства H в H. Пусть f ( z ) является финитной четыре разанепрерывно дифференцируемой функцией действительной переменной z со значениями в~H .

Тогда существует, и притом единственное, решение уравнения (1), допускающее Frпреобразование. Это решение дается выражением u = Fr[uˆ ] , в котором uˆ представляетКелдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженныхлинейных операторов.// Гл. I.

Избранные труды. Математика. М.: Наука, 1985. C. 305-320.19собой решение задачи (4), в правой части которой стоит Фурье-образ функции f (z ) .Спектр соответствующей (4) однородной задачиw + λAw + Bw = 0 ,w∈ H(7)состоит только из собственных значений, вещественных среди которых может бытьлишь конечное число.Если оператор D имеет вид ± AD1 , где D1 – некоторый ограниченный оператор,то единственное решение (1), имеющее Fr-преобразование, существует для любойфинитной дважды непрерывно дифференцируемой функции f ( z ) .Допускающее Fr-преобразование решение задачи (1) имеет асимптотикуN +∞u (z ) = ∑ ∫ eiγ n z − z ′n =1 − ∞{P0n+ z − z ′ Pn1 + L + z − z ′M n −1}PnM n −1 Df (z ′)dz ′ + u ост ( z ) ,(8)где N – число возможных действительных положительных собственных значенийоднородной задачи (7),Mn–максимальная кратность собственных элементов,соответствующих вещественному собственному значению с номером n,Pnm –некоторые конечномерные операторы, действующие в гильбертовом пространстве H , аu ост ( z ) – функция, равномерно в норме H убывающая по z, такая что найдется некотораяположительная константа c, для которой выполняется неравенствоu ост ( z ) H ≤сzИз этой теоремы следует, что, добавив к уравнению (1) требование существованияFr-образа решения, мы тем самым выделим ее единственное решение.

При этом в силуасимптотического представления (8), это решение удовлетворяет в точности парциальнымусловиям излучения. При этом нет необходимости исследовать полноту системынормальных волн. Преимущество предложенного подхода состоит в том, что нам ненужны никакие оценки на оператор B (кроме его компактности), поскольку убываниеФурье-образа решения происходит за счет наложения условий гладкости на правую частьзадачи (1).Аналогичные результаты справедливы и для задачи (2) для эллиптическогооператора L. Если f ( x, z ) является дважды непрерывно дифференцируемой по z финитнойфункцией, то при всех ω 2 ≠ α n2 , где α n2 – собственные значения однородной задачи⎧⎪ L[w] + α 2 w = 0,⎨⎪⎩ l [w] ∂S = 0,10существует единственное обобщенное решение задачи (2) со значениями в W21 (S ) ,допускающее Fr-преобразование. Для него справедлива полученная в общем случаеасимптотика.

Это решение будет классическим при выполнении следующих условийгладкости: граница ∂S области S является кривой класса С 2 +α ; при всех z из областиопределенияf ( x, z ) ∈ C α (S ) ; коэффициенты оператора L и граничного условияудовлетворяют условиямaij ( x ) ∈ C 1+α (S ) ; bi ( x ) ∈ C α (S ) ;c( x ) ∈ C α (S ) ;h( x ) ∈ C 1+α (∂S ) .Во второй главе диссертации исследуется уравнениеu + A0 u + A1u z − A2 u zz = Df ,(9)также часто встречающееся в задачах математической теории волноводов, где, как и впервом случае, u ( z ) является функцией действительной переменной z со значениями вгильбертовом пространстве H , таком, что в нем уравнениеw + Q(λ )w = 0 ,Q (λ ) = A0 + iλA1 + λ2 A2не имеет нетривиальных решений при λ = 0 . Функция f (z ) , значения которой лежат в~некотором гильбертовом пространстве H , имеет финитный носитель, операторы Aiявляются вполне непрерывными в H , причем A2 самосопряжен и положительно~определен, а D является ограниченным оператором, действующим из H в H .В качестве условия излучения используем требование существования у решения (9)Fr-преобразования.

Характеристики

Список файлов диссертации