Автодуальные связности Янга-Миллса и некоторые интегрируемые системы (1102298), страница 5
Текст из файла (страница 5)
и й2.~ и,фОдифццироииищме. Ям~НИ(вмии Н»в2$$~е~ 2~,4, АиилОти теиОО2»ОН .'У ХОАН и Й„-.'2; Рас(.ь(отркч Г(севдоевклкдОВО й)2ОстракствО Л: "б,''- иетриэжУ(~ = Г~(ОЫ ~$-"): -)Й )2,.~',.„= 'Ф...„). Йк(.",:.Ф(ФМ В Й ' автодуальнме теиООрм фщ, .' ФЬа. УЬ(. 1) Л ',Щ,м ' ~р; 3 есв д = ~(2..4) Аа стрУкт(сркые 1(м(ст(Ф!!ть( Груайм,() и Я'~2, Й)$ ~д.( — — — ~22 — — ~222 = -)., $~2. Редуих~ия к мОдифип%цэОВаннь2м уркинениям Нима, яфщъем(к 2.
Любое реня»нке 7р~к ) ъ'равненк!( (3э() (; Г=.д~„,р»(*,$'х" двет ре»иенкс вйда .4».~»Г) = -2Ф)„„. Г'7;~) Г) — 22 (р24~T) ~66~-' .рм1(енк(1 автоду(ь»»ь!((»сх к '26) моде(к 8$!$ а.-м11;!»(са) ) ) $( й2 2 с проис(вольной келкбрОВОЧКОК урунлоЙ"$,' Дс»4."зззтельствО анвлОГ11НИО д($кга(1тс»1ьств%' Ъ" (1)»Ф(ы ! ! Реи2ения мОдифинирОВИИИОЙ глйинОЙ ккрильнОи мОд(ели н Л ', ВспОмним редукцйф"-:";::,' 2,2 уравнении автодуельност(1 в Й к урввкекк1(м ъ1О)$$1ф1$Н1!рОвакнОИ 1*!»ВВ11ОН ккральной ЫОдевй в .($$ ф ~ск, Н,2.2, Глйвь( П), ПО»1$ Фаем Утвер-!(Дев(»е 3.
$(с»"(ФГ»$(тс (ьство котОРОГО (!РОВОднтсй Фшваотнчко дадваательстау утверждения 2 !',сь1. п,2.2, Главы П1). Утверждение 6. Л!О(:.»с»е ре(ле1»ие Т„).Г) ь!($:;$(фк($1(рованнмх;.Рев»$(- ии К Пачь !'3."~'~ дает ре!Ф(ение В!ФДЗ ~67) г,( 'ю '$'$/'2 ' .' ~ » '$ $2$» -' ' ' ' ~ 1* ! 1 '!'»l2 (»' =' 2/$Й2 + 2$2 2"'1 ) ъ'$»а($$(с»1111! ($(!.1$$1)$$1.'1$! )$ »вй»1 (~!1 $:$$1$$$$$$!! ВФ(Р(!.,$! 1»ои ыодс»1и В Й $ 8» ~3$(йквэ" ,2 .,2 „2 1/2, ...,, „..., .
„., 21 .» $$е!! ! Ньех ) 2Г!) ) )аккы Обр($»ООК(, йы 1!((ГГ)1(~$(»1$!»> $ (~6!»$(,ь»»!1$$~ »и (1»»;($$$1$,(Ф. $1($( р($!$(~1!1!1! 'Фр»»в»$($»НЙ !'.)Г» ,'1 $11»1!! $35)) ВО кий»кестВО ре(н(1!$$$!1 ~:Р((вн( $;и(! 1»"(,' $1$$ !1»16, ! ~, !1,!!! $,$2. ) ( ),! — — О',, М 2,$» 1,1 )2,4. Рен2еиия ърввыеник двумернь(к главных !(Нрвльнык моделси и.Г(.
' и в О. ' . РВО21$$)1й((й ред~кпкв ) рВВ1;е$(к!1 )26) к;)$((В»о."!$$$$$..$ $3! ! $! 13)В» $(ы. 11,2.4, Гв;"=вы 11) 1!)1!1$((»611! к Ьтвер-. »$($(енк»О 4„д(1к1(с»11,'Ге'!!~(' 'Гво к(1 ГО)»О1'о $$РОВО4$1тгв Вн($$1ОГ»»ч»$($ докввктссь( твт $'тйерхкденн(1 2 $,см. п.2 4 ГВ!ФВ1.1 Ц) ) ~(24,2Я, Ф '» Утверждение 4. )ъаждоы $ реше!111: $ ) „$'„( , 'Ф.
(Г = — 1' "»1 „л. К(од((ф»ФВ»!)Вовки!$ь(х $"рав!(ек11!1 йвмв,'.,::.::::,. $66 ) ФИО1кк(1 ВГ(в»к1(!!О-(»дно((на~111($ Ф.опоставкть сфер!! к (.$($$-((км!!етр11'-(нФ»е ре(Ф(ек!!е $ равкекик тлавиО, ' ' ифэльнО11 ыодел»(1 В Й ' клк В Й ' с»(е~у»ОгдеГО Внда' г:, !» 2 А. =. --2Ф '1'- Г)+ — '"" 7;1): ). В,, =- '~„ДХ" ТФ~-) — 2 7'2)',т)~. ~66)' (( 1 2*д Х Х т.( .1 ~У.' ЪЛ Редукция ьлОдифицирО»ве(ннь2х уравнений Нама к 1('рсФ»вненннм Р®мильтОИОВых си СтеМ сфяОЯИН1Гк с- (ВРмитЩц.~ми симметринес1(иь(К 1(РОСтРанОТВаЬ2И Ф»1О2О:$(КМ КОНСтруадКК2 востр ю1м Га. и.
н ых с: "' .1., ".':, $ Ф' ''. 1 .'11$ '1 11' "Р1' ' 'к11к простр т, 1::,641 1си. Таки(с )60И52$,'$. Пусть скмысгр»1неское п»рос'Г)эвнФтВО ('Ве»ЗЗП($ (' ('!(к!21("'!')»наес!(ои ВПГО6рои ) Г~,(7), Где (7; (( .- (у е =1с)$ О.2Е»с) к ь( == А,:, 4. "Р, Г1)2!Фч((м )!(,А:)Ф. »$.'. ) 1(:, '».$1 ': Г.
)'»1, Р1 Ф' А; . В сну'Фае эрмнтовь скмметрк- вескОГО ирОстранс";!Ва сун2еств~(2Г та10и -к$(,".$(21('Г,) ~ А, '1то»Ф. = ! $ — Ф(: )А, В1 = 0$». Меер(!ка ЯФ( Ф * Ф(ыее7твльвО три Оазличных сц6сг(1(-1$!$$»х $1и($1('111!В; 0 11 =о т.('.. )Л.А $ '- О, ~.4, л: = ~(»,"~ !1!!Я Всех ~ )2~+ .$2 . )2$- ~ »)ОПустьеЫ вЂ” Г,ам(с ПРО(.тр тв.
Р . й':, -;,$» '. ты 'Г ВОР крив: нь1 ., метр нес; » $!)(встраиствв ь(',» л „~е(„~е.„е „)) .= Яд,,(~.',,' Л пр(»квв(»льн!К$$ постОВ11НВВ д!1м'Онвльнвд ыв»трпЦа„ $((("' лййейиь2е ьс!К»$6кнацк11 собственкь!х $1намен(111 »квт)(иць$ Л, Я~К ) Г. Р: ~~$$") = 2, ~д "е(, +е ИРЕДЙОВОКСЙМ, ЧТ О и ОООбЩеннмЁ''ЯюВНВниж НИХ 11 'РЮ4УЙ4И4 Я~ЙВКЕНИй ЙВ",-ИЩУЙДЬНапти Й В % ОбОбЩ6ййфИЩ ЯЪййй6ИЙЙ' Нййй ~ ~, ~р~цщейий ЙьтодУЙйьйоатй модели ЯЙЙЙ-Майдана.
В- В", РвссмотРЙм. ввв4ЙДРЙО - „:... „" ВЙВТВО Л -С МВТРККОЙ !1а$ О!К»-- = 1;.- !6- ОТОЖДВСТВЙМ МВ С ВЛГЕбрай ОКТОНЙОЙОВ, уМНОФЮН ~з,.всйых вдвмейтОв ~!!! =.(Оь!св1 ЙОТОРОЙ Йадвехсв с !1омщйьФО.ОЙТОНЙОнйых структязйых ижО1~ . 1!1„,ут.' ва~д = ~йД~в + 'Фаваз-~ОУ~ в!св = свв! = век,св = Ы", О'.,ф,у! ... = 1, . „1* ОктОЙЙЯЙЙый Щф ц вОвстайты 1!вдя1Отся чвсть1О структурйьы ЙОЙствйт еруппы 80~ !) е ЙЙДЙ11самй, щх~бФхвй1Щ всвтвдвйОФ прос'1'рВ!1с1'вО в изчв1!в ЙООрДЙВвт к сем11мер11ОЙ сфере ~' — ЯД~7)!!бв ~сма1 ЯФЙЩЦмф, фф ц 'Д ОЙрвдвлск ТФЙООр' 3 где б„в., А„— по1!Ность!О антл с !!!!етричньй В Л7 те!!О р, Цьецем в Вв пол14Остью внтнсймметрйч-,' вц11 тснООр К,1,„н слсду1Ощ1!и ОбрФЗО!и ~б!6~: ДО 1!в ст Р Ос ! ! 1! !О, ! с н О О Р с~д ~>,;1,'~','~О !1ж '!' НОРМ (-' ! !', !!*.
! ъ' !О ! ! ! 1! !! с О О ! ! Й1 ! ! ! в ! ! Й1! м ! !66,' .' 1, ., 1 ., ~!!Ь~~1~! Ы = ~+~1!1'.,!~с~~ + !~!ф!' ф!~'~!.' !'-';!1,',~ !!! !' +, ~ . Г~!!!1е)А +, ! 1Ц !6~ф ', ~Е~!!1А;:„" ~. 6ь,4!" 1вс„2 = б'!!~~! ! .' + "1~ аы! ° ~О1двс!!О ОйРсДсйс!!н!!! !!.3.3 ~!!в1~! ! 1 1 ~!!~!!!!~".!!!!!!!!!! н!!! !и!~1!1!!.!!Ос-"!! ~!О!!е.!!! Янсв-М11лдсй ~1) в Й" О!еду!О!цнс урав1!еннЯ !',.'; = -2) 1. 2 —.Е.-~.! Р;!.! = - Г.Ь 4.2, Аноац для компонент связности, Бведсм тснзоры !,'ср, ~66,:-,*!; 1 . 1, '-: ~':а~: «!!:! + ","-'м'н вроект11ру!ОП11!е Ч)О!1звовьн!!Й внт!!!.!!1!!!!'! Рн"!!!!.!!! т! н-!Ор 7„ь нв О!!ТО! Он!!льные 21- к 7-мерные под- т8в, првстрвнствй 28-мер1!О1О всктОрнО!О !!р!!!"!'рв!!став !!!!' !!с!!!!!!!'.Трн*!!!1!к твнвйрОв в л, 7,~ =-;-~„.;-~.~ь~.. =- Ф.ь.н+ 6,.„, «»;„=- М,ь,,,!'~;.!,1 ~ю„!„...т.-.
— -- х,,.ь+ !~1„.. В сйлу !'72), ~74~ !с!л1!р А„1, ав !'Оду!!!!Он н сии!. ! !>!!р! !!! !!! !!!1!! !!..',!.:1 г!!1!в!.! $ . ~ !ь4 ° 'е! ' '1 !" 6 !! ~Ам — О Яе1 ьТ~ь — 6 Двя иФанаейт 1-формы свввцостй в С-рвссдовин!! Ивд Й выбврем с11сду!Ощий вновп; дф а4~ ~"..~ц) — ~р ЗЯЙЯМИ6 ф~" ЙЖЦ$4М,,КРРУЫйй'!"~, р !„=. ф„' ф'ЩукциЯ к ~$и!БийииЯм УОРЕН.
ф~ру~фЯ$ 4 ~361* ЛЮ6ОВ РВШРО4И" 7аа~И) ~')зйдЦИ".$4ИЙ УО)~ДВ (Э1) С "Ь~ =' ! + И'аФа 'И М = ~~~8) %~О~" ~~щЕ рИД3, ~ТЭ) УРЬВНЮКИЙ сЪВТО;,фсИЫ101 "Г!! ~73);4ОД~ЛИ ЯКУЮ-МКЛЛСМ ~1) В Й 'С ПРОЙОЭОД""~~ОИ . для ~'РОУО~~~Сьй ~)Ъ~'ЙПОП Ь ф~~ОД ~~ЛЬСХВО- УРЪВИЕБЛЯ ~1! ) ЗЛЯ Я =.~ОД! УДОЬНО ЦЕРЕДИСЮЬ Н ИИДЕ: ~аЬай*щ~а ~мам '." аа» ~аД~Ф ~~ЦД~~~,~ ц)~) ЦУЫЕ)1У~~У. ',И~ ~Д~~ 1~д~~~ ~. ! ' 7~ ~ ..~ ! ' „.1 8 1 ~$~ ! И ~ Ц)~О~Щ ЦЦ ДОа ПОДУфф~~-„-.,"..'"-',', . „" ~дудбр~1 .Ъ4 6, П)ЭН ЧОЫ 7а!, = ---7~а ..1',~,,!„,.„— — .'> ~да;~ца.,6„)р — 6~„6',! „6„)! + 66<! "фд~~ф — ай Ь~рй .В)а)~~, 6Ф 6 ру~уурНЫС КОНСТАНТЫ ВЛГ~бфЬ2 ЛИ М = ьОф !.
ВЫЧИСдНМ КОМЙОНФФГХЬ4 ~а6 КРИ~~~~ОН~ -~ О!~~ОНОЮ™фыр ~, = -4 .. Р=ЫР~: д Аа д~,4а = 2 ~Я ' ~7а + 2;~*т! Ц)~! МаХрд' ) '"а ааРа~Ф ааааа~ аа <1'„~р~ 3 ° ~ а~~«! 1 Яа'-~34Я~баФат~.'~ аа с!*"~~я,Ръй,ц-~ 1~ 2 'а ~у~~аа~иФЮЬсй ю' а'" ..Й~ра ~;~~а, ~.,а1~ ааааа + 4уп~р~Ка ~ "Рй "д~"АЗ / 1 Х~„'Яас! агава' т~ а ~~~ = .,~ ~~! ~' ~';1~-)!~ ~н~<а — К~;~а». ! — ~а;т~ !4!~аа~)ф 5~~ЙЛ) ' ~И~пу1— ! ° — ') *~ —,.)Ха13ра', + ';. ) !,,л' а' + ) 1а — 1~1,, Г,.Х,.й,„~,, !- 7;~Ма 1.",!~ ааа1Ьф„а~ 6 --; "( — 91а,Г~ х, -! !,) 1;;, Х,ха -! ~!!а, т — О), а,,!'. ~'„.ааа, 1,,Хаа',~)~~1,~4'„4 — Сааб,)~~а1+ 6' +Р~а, ~, Д вЂ” 1,,Л, )~', + ! ';У~,„— ~д;,~К,, )~д,, -;- +~я:4!!К„" "!' ~ -й 1' ~ + ' о;,!, а,6 а. аЬ.1~:-, ' а М аа~ + ~ ыа~ "и', а, „ь ~'а! '~ ~-а1,'6~ аИ + --'1;6 14~э = -у -! - — ~„,л,а;..~. ~„а, + —.~;.)а ~'~,',х + — Г,,;.,у — — Х;:.1'ай'!а4'.-,~)а; — — !~;:~ 8а!$) )-" 1 -2')' Ха~2.,'Х~(~ад,,д(~).;.!)а,, ! ~",~ 1а4 ~-'~~:,~)а~а а~4аИуж = ~ ( ~1~~1а:а'а!а~ =, - 'а ~:,)' я + ~ а6" -- ---,'Г,,тад|,;„~,'у...; + —.„Т„-тра;„,.;~ — 2- Ха,,г,.т,.
— ~3~4 а,6;а — ЬаА...,,)- — ~а~ !(3~ба„„6~ — Ь,,1~ 1 — О,),,;~ + 2- Х,,!~,х,4,„;а:,Я, = -! "~ — — 7;,к,х;,1,ь,;+ 1 ! ! э .„э,; +-2-.~ 7!1 Х + — 1а„à — — 7,:!аале! ~'~'-,„+ --: 1~' ~ ~;а.й,) — —. ~ ~) .-'[О~а! я -$1 ~ !6 а)-ф+ Ь',Я : 6 ~ 1а ~1~~~ а$тти + ! ."аа~у~' ' ~ ~~~~~~~а* ~И~. ~ )~а~ ' ! ~а:"~ ~'"! «~ад» .6 ~'"''„~ + ~~:а~а! " амГ~аа)~61 + ~аасйА~+ +~и аале + " а1~ ~,"". + ~ысд"!» '..6~4,'а ! ~ .~Е' .' ' '"а!„с~~~а + ' !а !~а~! + ~аеас~!а1) !" ,'! 7-дЖ Ж ~ -(~., — - —,-. 1 1:ъа'!,. 1,,),.а —,)~'-аа1, ~.,!...а, +.!~',', ~ — - Г',.,;~.а~а.,! )-,)" х,,~,Г;Х„,~„е.,а„~ад:,„,, '3 —,"~ (д)~~~!„Д„., — ~1„д, ) —;.Ж~ у / ) ~'„а.
а,, — --;.", !:3)~а,1а, — !',Оа, ! — ~а.... 7;:Лай;,+ + — „, (4~6 'да !а 'Ь:) ~:аЫ~ ~ ~О ' + ~"~' ~ Е~М~~,'~~~а6ю'~~)с4~а — "" а1 6$:а„а д а аа =-2~' ~1аКЛ=.К + ~аа" ' '~" а:. +;, ~' ~О:а '~.0ЬМ' 4 как обычно„по т Лн 1-формь~ лупростак груп ~, есь Я„оависит только от "составных" координат (84). Покаоательство. Еоординать.' вида (Я4~ для частного случая р = 4, д = 2 и (д~, дя) = (1, — 1) 'исноль'-'., акись Р.Уордом в рабате (20) ~нри построении решения уравнении автодуальцости в пространстве " ф с калибровочной группой С =- ЗГ(2).
З.З„Редукции уравнений Янга-Мыплса в И,""' к уравненным Янга-Мынден а ВР. ТЬорема б. Любому решению уравнений Янга-Миллса в евклидовом пространстве В" монсно,'. секоставнть решение вида (85) уравнении Янга.-Миллса в пространстве ВЯЯ, Обратко, анеац (85) ), р япуикрует уравнения Янга-Миллса в Л~~ к уравнениям Янга-Миллса в В".
йохазательство. Подставим анзац М ь оп Ред ление теноора Е(,,ВН„,1, где Р ФР, ... = 1, ..., Р1 ФФ ) 3 ... = 1...„я. Полу ~им )у.~))и') --,А,.)7) Ф 4~: — 4 ~м + ~АР.А~~» =- ~А)~~1ф4., ~декад — д/дй„.; = Ад,'дЛ„--" Ддд !)од<тавим (~~:,~),)дб) ь уравнения Янга-Миллса в В 'маяк как мм считаем 3, вещественнмми погтояннь~мн, то,:3' =-,3„А ~ О.
и, следовательно, аннан (851 ~6дудлрует уравнения Янга-Миллса ц пространстве Й"' к уравнениям Янга-Миллса в пространстве а',пара44етриоуемым ко рци т: чи Л„: ~,':",.м,'ч а,' "~ 7~ д„Р'„„+ (А „, Г'„, ~ = О,( ч)() Х. $.3» Примеры, ПРимер 1, Пусть р = 4, д = 2,3,.... Тогда для аннана (8о) уравнения Янга-Миллса в В~~.":-:::.': РФдкруются к уравнениям Янга-Миллса в В . Следовательно, всякому автоцуаньному рецщщк~",, Равнений Янга-Миллса в В~ можно сопоставить решение уравнений Янга-Миллса в В я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
