Математическое моделирование и оптимизация в химической технологии (1093595), страница 2
Текст из файла (страница 2)
К тому жепри большом времени реакции t доля непроизводительных затрат снизится, но снизится и скоростьреакции из-за малой концентрации СА к концу реакции (см. уравнение (2)).Для определения оптимальных значений X и tвыразим СА через X (СА = СА, 0(1 − X )), подставим вуравнение (2)dX------- = kC A2 , 0 ( 1 – X ) 2dt∫0tdX--------------------------------= dt22kC A, 0 ( 1 – X )∫0илиXt = -------------------------------.2kC A, 0 ( 1 – X )Подставив приведенные выше значения k и СА, 0в последнее уравнение, получимXt = ------------- .1–X(3)Запишем теперь уравнение для расчета производительности установки. Для этого количество молей продукта В, производимых за одну операцию,nB = VСB = VСA, 0X = 100X,разделим на время операции t + t0 :Теперь легко найти оптимальное значение X дляобеспечения максимального значения П.
Для этогопродифференцируем П по X и приравняем производную нулю:dП------- = 100 – 200 X = 0.dXОтсюда оптимальное значение X = 0,5, а максимальное значение производительности, согласно(5), П = 25 моль/ч, или 25 ⋅ 24 = 600 моль/сут, что на33,3% выше регламентного показателя. Достигнутыйрезультат, несмотря на ухудшение экологических показателей (выбрасывается в отходы не четверть загруженного в реактор А (X = 0,75), а половина (X == 0,5)), был вполне достоин премии в размере месячного оклада и помещения портрета автора на доску почета победителей социалистического соревнования.Переместимся теперь из развитого социализма впериод реформирования экономики.
Предположим, что описанная выше установка взята нами варенду и теперь мы вынуждены ее эксплуатироватьв режиме обеспечения максимального дохода. Введем экономические показатели, выражая их в долларах, поскольку расчеты в рублях в период гиперинфляции были бессмысленны.Примем значения рыночных стоимостей исходного регента А и продукта реакции В равными SА == 1 $/моль и SВ = 4 $/моль. Введем также значенияэксплуатационных затрат St = 50 $/ч, которые не зависят от параметров процесса и включают плату зааренду, заработную плату персонала, оплату энергоресурсов, отчисления рэкетирам и т.п.и проинтегрируемX(5)(4)Вычислим теперь значение дохода Д, $/ч, который будем иметь в найденном выше режиме эксплуатации установки, обеспечивающем максимумпроизводительности.
За время t + t0 одной операциисумма, полученная от реализации синтезированного продукта В, составитSBnB = SBVCB = SBVCA, 0X.За это же время расходы на приобретение исходного реагента и эксплуатацию установки будут равныSAnA, 0 + St(t + t0) = SAVCA, 0 + St(t + t0),где nA, 0 – число молей исходного реагента А, загружаемого в реактор для проведения одной операции.òÇÖñ Ç.î.
åÄíÖåÄíàóÖëäéÖ åéÑÖãàêéÇÄçàÖ à éèíàåàáÄñàü Ç ïàåàóÖëäéâ íÖïçéãéÉàà151Отсюда доход в единицу времениS B V C A, 0 X – S A V C A, 0 – S t ( t + t 0 )-=Д = -----------------------------------------------------------------------------t + t04 ⋅ 100 X – 1 ⋅ 100 – 50 ( t + t 0 )- $/ч.= ----------------------------------------------------------------------t + t0(6)Как следует из полученного уравнения, при значениях X = 0,5 и t = 1 ч, обеспечивающих максимальную производительность, значение Д = 0. Тоесть в новых экономических условиях арендаторунужно либо закрывать производство, либо переводить его в режим рентабельной работы.Воспользуемся полученным уравнением (6) дляопределения оптимальных значений X и t, обеспечивающих максимум дохода в единицу времени.Выразив t через X, согласно (3), получим400 X – 100 – 50 ⁄ ( 1 – X )Д = -------------------------------------------------------------- =1 ⁄ (1 – X )= 400X(1 − X) − 100(1 − X) − 50 == −400X 2 + 500X − 150, $/ч.(7)SBnB = SBVCB = SBVCA, 0X.За это же время расходы на приобретение свежегоисходного А составят SАnА, 0X = SАVCA, 0X, расходына регенерацию непревращенного А будут равныSА, RnА, 0(1 − X ) = SАRVCA, 0(1 − X ) и эксплуатационные затраты, независимые от параметров процесса,St(t + t0).
Отсюда доход в единицу времени прифункционировании стадии регенерации непревращенного А составитД=S B V C A, 0 X – S A V C A, 0 X – S AR V C A, 0 ( 1 – X ) – S t ( t + t 0 )=-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=t + t0Продифференцировав по X и приравняв полученное выражение нулю, получим уравнение для расчета конверсии, обеспечивающей максимум дохода:4 ⋅ 100 X – 1 ⋅ 100 X – 0,5 ⋅ 100 ( 1 – X ) – 50 ( t + t 0 )- . (8)= ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------t + t0dД------- = – 800 X + 500 = 0,dXПодставив t0 = 1 и заменив t на X по уравнению (3),получимX = 0,625.При найденном значении конверсии время реакции, согласно (3), равно t = 1,67 ч, вычисленное поуравнению (7) значение дохода составляет 6,25 $/ч,или 150 $/сут.
Производительность установки, вычисленная по уравнению (5), в этих условиях составляет 23,44 моль/ч, или 562,5 моль/сут. Это ниже найденного ранее ее максимального значения(600 моль/сут), но именно этот режим обеспечиваетполучение дохода. Источником дохода является вданном случае более полное использование сырья(большая степень конверсии).Заработанную таким образом прибыль можнопотратить на реконструкцию установки с цельюдальнейшего повышения ее рентабельности. Этогоможно достичь путем ввода в эксплуатацию новойтехнологической стадии выделения непревращенного исходного реагента А с целью организации егорецикла для полного использования в синтезе В.Рентабельность установки при этом возрастет только в случае затрат на рецикл, меньших рыночнойстоимости исходного А.Предположим, нам удалось разработать технологию этой стадии и реализовать ее с затратами 0,5 $ на 1 моль регенерированного А (S A, R == 0,5 $/моль). Это, несомненно, приведет к повышению дохода за счет снижения затрат на сырье ипозволит избежать штрафов за сброс отходов непревращенного А при неизбежном ужесточении в152будущем экологического контроля.
Проведенноеизменение технологической схемы повлечет за собой, однако, и изменение режима работы реактора,обеспечивающего максимум дохода. Для определения оптимальных значений параметров X и t в новых условиях опять решаем задачу оптимизации.За время t + t0 одной операции сумма, полученная от реализации продукта В, составит, как и в предыдущем примере,300 X – 50 ( 1 – X ) – 50 ( 1 ⁄ ( 1 – X ) )Д = ------------------------------------------------------------------------------------- =1 ⁄ (1 – X )= 300 X ( 1 – X ) – 50 ( 1 – X ) – 50.2После дифференцирования Д по X и приравнивания производной нулю имеемdД------- = 300 – 600 X + 100 – 100 X = 0,dXX = 0,571.Найденное значение конверсии в соответствиис (3) достигается за время t = 1,33 ч.
Подставивнайденное значение X в (8), вычислим доход в единицу времени: Д = 14,29 $/ч, или 342,9 $/сут. Вычисленная по уравнению (5) производительностьустановки по продукту В составляет 24,49 моль/ч,или 587,9 моль/сут.Существенное увеличение дохода по сравнениюс предыдущим вариантом (более чем вдвое) произошло как в результате использования части более дешевого регенерированного исходного реагента А,так и в результате некоторого повышения производительности установки из-за уменьшения степениконверсии.Еще один резерв для повышения рентабельностии увеличения получаемого от эксплуатации установки дохода состоит в исключении времени непроизводительных затрат (t0).
Этого можно добиться путемперевода работы реактора в непрерывный режим,ëéêéëéÇëäàâ éÅêÄáéÇÄíÖãúçõâ ÜìêçÄã, ‹11, 1998который обеспечивается путем организации подачив реактор раствора исходного реагента А с постоянной скоростью и непрерывного отбора из реакторареакционной массы с той же объемной скоростью.При этом производятся термостатирование реакционной массы с помощью теплообменных устройстви интенсивное перемешивание реакционной массытаким образом, чтобы обеспечить по всему объемуреактора постоянную температуру и постоянныйсостав, соответствующий составу реакционноймассы, вытекающей из реактора. Такой тип непрерывно действующего реактора носит название реактора идеального (или полного) смешения.Модель этого реактора отличается от использованной в предыдущих примерах модели периодического реактора.
Для ее построения воспользуемсяприведенными выше кинетическим уравнением реакции (2) и уравнением материального баланса непрерывного реактора. Обозначим через FA, 0 (моль/ч)мольный поток исходного реагента А, поступающегов реактор. Тогда мольный поток продукта реакции В,покидающего реактор, будет FB = FA, 0X моль/ч.
Кроме того, при концентрации исходного реагента в реакторе СА количество продукта, образующегося вобъеме V в единицу времени согласно кинетическо222му уравнению (2), будет F B = VkC A = VkC A, 0 ( 1 – X ) .Поскольку в стационарном режиме скорость образования продукта В равна скорости его отбора изреактора, приравнивая записанные выше уравнения для FВ , получим математическую модель непрерывного реактора полного смешения применительно к рассматриваемой реакцииF A, 0 X = VkC A = VkC A, 0 ( 1 – X )2221FA, 002FB = FA, 0 X = FA, 00FA, 0FA, 0(1 − X)Рис. 1.
Схема материальных потоков установки среактором полного смешения (1) и узлом разделения непревращенного исходного реагента А ипродукта реакции В (2)ленного от продуктов реакции в системе разделения(2) FA, 0(1 − X).Величина дохода, получаемого в час, складывается из суммы, полученной за реализацию продуктареакции FBSB , за вычетом стоимости FA, 00SА исходного А, стоимости регенерации А FA, 0(1 − X)SАR ирасходов, не зависящих от параметров процесса St :Д = FBSB − FA, 00SА − FA, 0(1 − X)SАR − St , $/ч.(12)Выразив мольные потоки через объем и степеньконверсии согласно (10) и (11), получимД = SB V ( 1 – X ) – SA V ( 1 – X ) –22(1 – X )– S AR V ------------------- – S t .X3(13)Подставив численные значения объема реактора и стоимостей в уравнение (13), найдем, как и впредыдущих примерах, значение степени конверсии, обеспечивающей максимум дохода:Д = 4 ⋅ 100(1 − X)2 − 100(1 − X)2 −или, подставив значения k и СА, 0 ,(1 – X )– 0,5 ⋅ 100 ------------------- – 50,X3(1 – X )F A, 0 = V ------------------X2(9)(14)dД1------- = – 800 ( 1 – X ) + 200 ( 1 – X ) – 50 – ------2 + 3 – 2 X =0, XdXи то же для FB :FB = FA, 0X = V(1 − X)2.(10)Составим теперь функцию дохода, используяизображенную на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
