Линейные размеры (1093513), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

где D – дисперсия (от лат. dispersio - рассеяние).

Доверительный интервал (от лат. intervalium - перерыв) – это статистическая оценка параметров вероят-ностного распределения, имеющего вид интервала, в котором с заданной вероятностью находится искомое значение параметра.

Эта вероятность называется доверительной вероят-ностью Р.

При ограниченном числе экспериментов (измерений) используют распределение Стьюдента (Student – псевдоним английского учёного начала ХХ века У. Госсета), которое по числу экспериментов (испытаний) N и доверительной вероятности Р позволяет найти коэффициент Стьюдента t_Ст. Тогда границы доверительного интервала равны

Х =  t_Ст. (5.4)

При неравноточных измерениях, когда результат измерения получен с помощью средств измерения, имеющих разную погрешность, имеем

р₁ : р₂ : р₃ = : : , (5.5)

где - дисперсия измерения данного значения.

Отсюда следует, что математическое ожидание результата измерений имеет следующий вид:

= , (5.6)

а среднеквадратическое отклонение

= . (5.7)

Графической формой представления случайных чисел, сведённых в разряды, являются гистограмма (от греч.  – здесь – столб и -грамма), т.е. столбчатая диаграмма, и полигон (поли- и греч.  - угол).

Последовательность построения гистограммы на оди-наковых разрядах следующая.

1. Находят наибольшее (X_max) и наименьшее (X_min) значения случайной величины. и вычисляют размах изменения R

R = X_max - X_min. (5.8)

2. Задают некоторое число разрядов k. При n  100 можно принять k = 6.

3. Определяют ширину разряда h = R/k. Для упрощения расчётов полученное значение h округляют в любую сторону.

4. Устанавливают границы разрядов и подсчитывают число измерений в каждом разряде. При подсчёте значения Х, находящегося на границе разряда, его следует всегда относить к разряду, расположенному слева или справа.

1. Устанавливают m_i - число значений Х, попавших в

данный разряд.

Результат заносят в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Гистограмма распределения

6. Определяют частоту появления p_i величины Х в данном разряде

p_i = , (5.9)

где n - общее число всех опытных данных.

7. В системе координат p_i = f(X) на ширине разряда h откладывают величину p_i как высоту и строят прямоугольник.

Очевидно, что площадь элементарного прямо-угольника

s_i = hy_i, = p_i, (5.10)

а площадь всей гистограммы

S = = = 1. (5.11)

Таким образом, гистограмма представляет собой совокупность прямоугольников (рис. 5.1).

Полигон (рис. 5.1, кривая 2) строят как ломаную прямую, соединяющую интервалы середин интервалов.

В пределе гистограмма (полигон) стремится к нормальному закону распределения, плотность функции распределения которого описывается уравнением (5.12).

В качестве закона распределения случайных величин чаще всего используют нормальный закон распределения, он же закон Гаусса (K.F. Gauss – немецкий математик ХIХ века). Плотность нормального закона распределения

f(Х) = e . (5.12)

Функция плотности распределения позволяет определить вероятность появления данного конкретного значения Х.

Данные, снятые для построения гистограммы и полигона, могут быть использованы для построения статистического ряда распределения (рис. 5. 2).

Статистический же ряд распределения стремится к функции распределения, которая описывается следую-щим уравнением:

F(X) = = e dX. (5.13)

f (X) 2

1

Х

Рис. 5.1. Гистограмма (1) и полигон (2) распределения

величины Х

F (X)

1

Х

Рис. 5.2. Статистический ряд распределения

величины Х

Функция распределения позволяет определить вероятность появления значения Х в интервале от - до числа а.

Критерий (от греч.  - мерило) Пирсона (К. Pearson – английский математик, биолог и философ, работавший в конце ХIХ – начале ХХ века) – один из

важнейших непараметрических критериев. С его помощью проверяют гипотезу (от греч.  – основание, предположение) о согласии выборочного распределения с нормальным законом распределения. Применение критерия допустимо лишь тогда, когда np_i  5.

Для проверки нормальности закона распределения результатов измерений заполняют табл. 5.2.

Таблица 5.2

Проверка по критерию Пирсона

Данные первых двух столбцов надо взять из табл. 5.1. В третьем столбце записывают отношение

t_i = . (5.14)

Четвёртый столбец заполняют соответствующими значениями интеграла вероятностей Ф(t_i) из справочной литературы 6.

Интеграл (лат. integer – целый) вероятностей Ф(t) равен

Ф(t) = , (5.15)

где t = .

По значениям Ф(_i) в пятом столбце вычисляют вероятность p_i как разность соответствующих значений Ф(t)

p_i = Ф(t_i) - Ф(t_i-1). (5.16)

Напомним, что Ф( ) = - 0,5.

Последние столбцы таблицы в пояснении не нуждаются.

Сумма чисел последнего столбца даёт значение

=  (5.17)

где n – число всех результатов измерений.

Если окажется больше критического значения _крит при некоторой доверительной вероятности Р и числе степеней свободы k = l - 3, где l – число всех интервалов, то с вероятностью Р можно считать, что распределение вероятностей результатов измерения в рассматриваемой серии измерений отличается от нормального. В противном случае для такого вывода нет достаточных оснований.

Указанное число степеней свободы k = l – 3 относится только к тому случаю, когда оба параметра нормального закона распределения определяют по результатам измерений, т.е. когда вместо точных значений Х и применяют их эмпирические оценки.

Если значение Х известно точно (например, при измерении эталона – в нашем случае концевой меры длины), то число степеней свободы равно k = l – 2.

1. Оформление протокола опытов

Отчёт о лабораторной работе должен содержать:

• краткое описание средств измерений линейных раз-

меров;

• результаты измерений линейных размеров, площади и объёма и их обработку;

• массив данных, снятых в одной точке; значения математического ожидания и СКО для 3, 5, 10, 15, 20, 25, 30 и 40 измерений соответственно; результат измерения представить по ГОСТу;

• графики зависимостей = f(N) и = f(N) на миллиметровой бумаге;

• результат измерения одного размера средствами измерения с разной погрешностью (неравноточные измерения);

• гистограмму и полигон, а также интегральный и диф-ференциальный законы распределения результатов измерения, построенные на миллиметровой бумаге;

• проверку нормальности распределения результатов измерения по критерию Пирсона;

• метрологические характеристики средств измерения линейных размеров.

7. Пример выполнения лабораторной работы

В результате измерения линейных размеров параллелепипеда линейкой, штангенциркулем и микрометром были получены следующие результаты.

Таблица 7.1

Результаты измерения

В результате измерения микрометром длины параллелепипеда а₃ была получена следующая выборка из 40 значений длины (табл. 7.2).

1. Определение линейных размеров параллелепипеда

По данным табл. 7.1 были рассчитаны: математическое ожидание длины, ширины и высоты параллелепипеда, СКО, максимальные абсолютная  и относительная  погрешности (табл. 7.3).

Таблица 7.2

Результаты измерения

Результаты измерения линейных размеров параллелепипеда по ГОСТу можно записать следующим образом (t_Cт = 2,571).

Линейка:

а₁ = 60  0 мм, 0,95,

b₁ = 25  0 мм, 0,95,

c₁ = 19  0 мм, 0,95.

Штангенциркуль:

а₂ = 60,1  0,2 мм, 0,95,

b₂ = 25,0  0,0 мм, 0,95,

c₂ = 18,9  0,2 мм, 0,95.

29

Характеристики

Список файлов реферата