Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения в задачах и примерах (1092383), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Разделивобе части на yy , получимy y= ⇒ (ln y ) = (ln y) ;yy⇒ ln y = ln y + ln C; ⇒ y = yC.Порядок уравнения понижен.(5) Если уравнение однородно относительно искомой функции y и ее производных, т. е. не меняется при одновременной замене y, y , y , . . . на ky, ky , ky , . . ., то порядок уравнения понижается подстановкой y = yz, гдеz(x) – новая неизвестная функция.Действительно, найдем выражения для y , y и т.д.Дифференцируя последовательно y = yz по x и заменяя каждый раз y на yz, будем иметь:y = y z + yz = y(z 2 + z ),y = y(z 3 + 3zz + z )и т.д., то есть все выражения для производных содержат y как множитель. В силу предположенной однородности при одновременной замене y, y , y , .
. . наky, ky , ky , . . . уравнение не изменяется, поэтому, взявk = 1/y, можно исключить y из уравнения и понизитьУравнения, допускающие понижение порядка63порядок уравнения на единицу. Смотри ниже в качествепримера задачу 12.8.(6) Порядок уравнения понижается, если оно является однородным относительно x и y в обобщенном смысле, т.е. не меняется от замены x на kx, y на k m y (при этомy заменяется на k m−1 y , y на k m−2 y и т. д.). Чтобыузнать, будет ли уравнение однородным в обобщенномсмысле, и найти число m, надо приравнять друг другупоказатели степеней, в которых число k будет входитьв каждый член уравнения после указанной замены. Например, в первый член уравнения 2x4 y −3y 2 = x4 послеэтой замены число k будет входить в степени 4+(m−2),во второй – в степени 2m, в третий – в степени 4. Следовательно, m должно удовлетворять уравнениям4 + (m − 2) = 2m = 4,откуда m = 2.
Если же полученные уравнения для mбудут несовместными, то дифференциальное уравнениене является однородным в указанном смысле.После того, как число m найдено, необходимо сделатьзамену переменныхx = et , y = zemt ,(12.5)где z = z(t) – новая неизвестная функция, а t – новая независимая переменная. В результате подстановки(12.5) получим уравнение, в которое не входит независимая переменная t. Порядок такого уравнения понижается одним из рассмотренных ранее способов.Задача 12.1. Найти общее решение уравненияy = x ln x(12.6)6412Практическое занятиеи выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиямy(1) = 1, y (1) = 0, y (1) = −1.Решение: Последовательным интегрированием находимx2x2ln x −+ C1 ,y =245x3x3ln x −+ C1 x + C2 ,y =636(12.7)13 4x4x2ln x −x + C1 + C2 x + C3 .y=242882Постоянные C1 , C2 , C3 найдем из системыx20x4013 4C1 + x0 C2 + C3 = y0 −ln x0 +x,224288 0x305x30x0 C1 + C2 = y0 − ln x0 +,636x20x20(x0 > 0).C1 = y0 − ln x0 +24Имеемx20x20C1 = − ln x0 + ,24x30x30C2 = y0 − x0 y0 + ln x0 + ,392x11C3 = y0 − x0 y0 + 0 y0 − x40 ln x0 + x40 .2832y0Подставив полученные выражения для C1 , C2 , C3 в (12.7) изаменяя в (12.7) y , y , y на y0 , y0 , y0 , получим общее решениеУравнения, допускающие понижение порядка65уравнения (12.6) в форме Кошиx2013 4 1 x20x4(12.8)ln x −x +y0 − ln x0 +x2 +y=2428822433xx+ y0 − x0 y0 + 0 ln x0 + 0 x + y0 − x0 y0 +39x20 x40x40+ y0 − ln x0 + .2832Полагая в (12.8) x0 = 1, y0 = 1, y0 = 0, y0 = −1, получимискомое частное решение:13 4 3 2 817x4ln x −x − x + x+·y=242888932Задача 12.2.
Найти общее решение уравненияy + 2xy = 0.Решение: Положив y = u(x), y = u , для u получимлинейное однородное уравнение первого порядка u + 2xu = 0,2общее решение которого u = C1 e−x легко находится методомразделения переменных. Используя указанную замену, имеемпосле интегрирования 22e−x dx dx + C2 x + C3 .y = C1 e−x dx + C2 , ⇒ y = C1Проинтегрировав по частям, находим1 −x22y = C1e+ x e−x dx + C2 x + C3 ,2где C1 , C2 , C3 – произвольные постоянные.Задача 12.3.
Проинтегрировать уравнение2y + 2y = ex y .6612Практическое занятиеРешение: Положив y = u(x), y = u , для u получимуравнение Бернулли:u + 2u = ex u2 .(12.9)Очевидно, уравнение (12.9) допускает решение u = 0, которое равносильно y = 0, следовательно, имеем решение исходного уравнения y = C.Разделив левую и правую части уравнения (12.9) на u2 = 0и положив u−1 = z, для z получим линейное уравнение первогопорядка z − 2z = −e−x , общее решение которого имеет видz = e2x (C1 + e−x ).Используя обратную замену u = z −1 , имеем1dxu= x,y=+ C2 .e + C1 e2xex + C1 e2xДля вычисления этого интеграла сделаем подстановкуex = t,d ex = ex dx = dt.В результате подстановки получимdxdt.=ex + C1 e2xt2 (1 + C1 t)Рациональную дробь в последнем интеграле разложим напростейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов:A BC1=+.+t2 (1 + C1 t)tt2 1 + C1 tПриводя сумму простейших дробей к общему знаменателюи задавая значения t, например, t = 0, t = 1 и t = 1/C1 , найдемкоэффициенты A, B, C : A = −C1 , B = 1 и C = C12 .Тогда интеграл легко вычисляется: C1dt1C12−=+dt =t2 (1 + C1 t)t2t1 + C1 tУравнения, допускающие понижение порядка671= − − C1 ln |t| + C1 ln |1 + C1 t| + C2 .tИспользуя обратную подстановку t = ex , получим решениеисходного уравненияy = −e−x − C1 x + C1 ln |1 + C1 ex | + C2 ,где C1 , C2 – произвольные постоянные.
Решением уравненияявляется также функция y = C = const (u = 0).Задача 12.4. Проинтегрировать уравнение2y − xy + y = 0.Решение: Уравнение не содержит искомой функции и еепервой производной. Положив y = u(x), где u(x) – новая неизвестная функция, найдем y = u . После подстановки в исходное уравнение, получим уравнение первого порядкаu − xu + u2 = 0.При условиях, что u = 0, u = −1, переменные можно разделить:dxdudxdu=,=+ ln C (C > 0).u(u + 1)xu(u + 1)xКак и в предыдущем примере, интеграл в левой части вычисляется после разложения подынтегрального выражения напростейшие дроби:AB111= += −.u(u + 1)u u+1 u u+1Проводя интегрирование, получаемln |u| − ln |u + 1| = ln C|x|,u= C1 xu+1 u u + 1 = C|x|,(C1 = 0).6812Практическое занятиеПоследнее соотношение можно разрешить относительно u:u = y =C − ax.1 − C1 xПоследовательным интегрированием находим1C1 xdx + C2 = −x −ln |1 − C1 x| + C2 ,y =1 − C1 xC11x211y = − − x ln |1 − C1 x| + x + 2 ln |1 − C1 x| + C2 x + C3 ,2C1C1C1где C1 , C2 , C3 – произвольные постоянные (C1 = 0).
Таким образом, получено общее решение данного уравнения.Осталось рассмотреть случаи u = 0, u = −1. Имеем u = 0,x2+ cx + d, где a, b, c, dоткуда y = ax + b; u = −1, откуда y =2– произвольные постоянные. Непосредственной проверкой убеждаемся, что эти функции также являются решениями данногоуравнения.Задача 12.5.
Найти общее решение уравнения21 + y = 2yy .Решение: В данном уравнении аргумент x присутствуетнеявно, только в виде переменной, по которой производитсядифференцирование функции y(x) и, следовательно, y и y обозначают производные по x: y ≡ yx и y ≡ yxx. Поэтому длярешения уравнения введем новую неизвестную функцию p(y),полагая, в соответствии с (12.2), yx = p(y); тогда на основанииdp(12.3) получим yxx= p.
Подставляя эти выражения для y иdyy в данное дифференциальное уравнение, получаем1 + p2 = 2ypdp·dyУравнения, допускающие понижение порядка69Это уравнение первого порядка является уравнением с разделяющимися переменными:dy2pdp=·1 + p2y2) = ln |y| + ln |C0 |. ОтсюдаИнтегрируя, находимln(1+p1 + p2 = C1 y и p = ± C1 y − 1.dydy, то= ± C1 y − 1 и, следовательно,Так как p =dxdxdydx = √·± C1 y − 1Интегрируя, получаем общий интеграл24C1 y − 1, или (x + C2 )2 = 2 (C1 y − 1),x + C2 = ±C1C1откуда находим общее решениеC12 (x + C2 )2 + 4·y=4C1Задачи для самостоятельного решенияРешить следующие уравнения:1.x2 y = y 2 ;2.y 2 + 2yy = 0;3.yy = y 2 − y 3 ;4.y 2 + y = xy ;5.2y (y + 2) = xy 2 ;70136.yy + y = y 2 ;7.y y 2 = y 3 .Практическое занятие13. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ.Дифференциальные уравнения высших порядков.Уравнения, допускающие понижение порядкаЗадача 13.1.
Решить уравнениеyy = y (y + 1).Решение: Преобразуем данное уравнение к такому виду,чтобы обе части уравнения являлись производными или полными дифференциалами некоторых выражений. Для этого поделим уравнение на y(y + 1). При этом, естественно, предполагаем, что y = 0, (y + 1) = 0. Получимyy = ·y + 1yЗаметим, что полученное уравнение можно записать в виде(ln(y + 1)) = (ln y)) ,так что правая и левая части являются производными или, чтото же самое, полными дифференциалами некоторых выражений.
После интегрирования находимln(y + 1) = ln y + ln |C1 |,и после потенцирования получимy + 1 = C1 y.Уравнения, допускающие понижение порядка71Полученный первый интеграл представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, которое легко интегрируетсяdydydy= C1 dx ⇒= C1 y − 1 ⇒= dx ⇒dxC1 y − 1y − C111⇒ ln y − = C1 x + ln |C2 |.C1После потенцирования получаем общее решение в явном виде1+ C2 eC1 x .C1Осталось только проверить, являются ли решениями выражения, которые предполагались не равными нулю при преобразовании уравнения к полным производным: y = 0, (y + 1) = 0.Очевидно, что y = 0 является решением данного уравнения.Далее, из соотношения y + 1 = 0 находим y = −x + C1 , чтотакже является решением.y=Задача 13.2.
Проинтегрировать уравнениеx2 yy − (y − xy )2 = 0.Решение: Левая часть уравнения – однородная функцияотносительно переменных y, y , y с показателем однородностиравным 2:F (x, λt y, λt y , λt y ) = λ2t [x2 yy − (y − xy )2 ] = λ2t F (x, y, y , y ).Сделаем замену y = yu. Тогда y = y u + yu = y(u2 + u )),где u(x) – новая неизвестная функция. После подстановки висходное уравнение получимx2 y 2 (u2 + u ) − (y − xyu)2 = 0,y 2 [x2 (u2 + u ) − (1 − xu)2 ] = 0.7213Практическое занятиеФункция y ≡ 0, очевидно, является решением данного уравнения. При y = 0 имеемx2 u2 + x2 u − 1 + 2xu − x2 u2 = 0,откуда для функции u получаем линейное неоднородное уравнение первого порядка:21u + u = 2 ,xxкоторое легко интегрируется методом вариации произвольнойпостоянной.Общее решение этого уравнения имеет вид 2 21C1 1x dx dxe=+ ·u = e− x dx C1 +x2x2 xСогласно произведенной замене имеемy = yu ⇒ y = C2 eudx,C1C1− x1(2 + x )dxxy = C2 e= C2 xe .Решение y ≡ 0 получается при C2 = 0 и, следовательно,входит в общее решение.Задача 13.3.
Решить уравнениеx4 y + (xy − y)3 = 0.(13.1)Решение: Покажем, что это уравнение обобщенное однородное, т.е. найдем число m, при котором после замены x наkx, y на k m y, y на k m−1 y , y на k m−2 y уравнение не изменится. Для этого приравняем друг другу показатели степеней,в которых число m будет входить в каждый член уравненияпосле указанной замены: 4 + m − 2 = 3(1 + k − 1) = 3k, откуданайдем m = 1.Теперь делаем подстановку:x = et , y = zet ,Уравнения, допускающие понижение порядка73где z = z(t) – новая неизвестная функция, а t – новая независимая переменная.Так какdy −t dz·e =+ z,y =dtdt 2dydzzd· e−t =e−t ,y =+2dtdtdtто уравнение примет вид 23 d z dz −tt dze+ z − zet = 0e4t++e2dtdtdtили после сокращения на e3t2d z dz++dt2dtdzdt3= 0.(13.2)dz= u и примем за z независимую переменdtdu dzdudud2 z=·=· u. Поэтому уравнениеную.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
