LA-06 (1079393), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Но при умноженииматрицы A на число −1 все ее элементы умножаются на это число и поэтому ∆0r = (−1)r ∆r ,где ∆r — угловой минор порядка r матрицы A. Таким образом, квадратичная форма −f (x)положительно определена тогда и только тогда, когда выполнены неравенства (−1)r ∆r > 0,r = 1, n, и это условие эквивалентно тому, что квадратичная форма f (x) отрицательно определена.

IÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Как видим, угловой минор порядка k расположен на пересечении первых k строк и первых kстолбцов матрицы. Угловой минор максимального, n-го порядка представляет собой определитель матрицы.ÌÃÒÓÌÃÒÓгде aij = aji , i, j = 1, n. Рассмотрим угловые миноры этой матрицы (которые также называют главными минорами): a11 . . .

a1n a11 a12 , . . . , ∆n = . . . . . . . .∆1 = a11 , ∆2 = a21 a22 an1 . . . ann ÌÃÒÓÔÍ-12Хотя эта таблица дает удобную характеристику типам квадратичных форм, ее использование для определения типа конкретной квадратичной формы связано с вычислением собственныхзначений матрицы. А это достаточно трудоемкая операция. На самом деле во многих случаяхтип квадратичной формы можно определить, не вычисляя собственных значений ее матрицы.Метод состоит в вычислении и проверке знаков некоторых миноров матрицы квадратичнойформы. Введем следующие обозначения.тПусть матрица квадратичной формы f (x) = x Ax имеет видa11 a12 .

. . a1n a21 a22 . . . a2n A= . . . . . . . . . . ,an1 an2 . . . annÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ74ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 6. КВАДРАТИЧНЫЕФОРМЫ И ИХÌÃÒÓСВОЙСТВАÌÃÒÓÌÃÒÓ75ÔÍ-12Критерий Сильвестра и его следствия показывают, что тип квадратичной формы полностьюопределяется свойствами ее матрицы.

Поэтому термины, введенные определением 6.3, можноперенести на симметрические матрицы. В частности, симметрическую матрицу A называютположительно (отрицательно) определенной и пишут A > 0 (A < 0), если положительно (отрицательно) определена соответствующая квадратичная форма. Согласно теореме6.5 и ее следствиям, симметрическая матрица положительно определена, если все ее угловыеминоры положительны. Симметрическая матрица отрицательно определена, если у ее угловыхминоров знаки чередуются начиная со знака минус.ÌÃÒÓJ Если A = (aij ) — симметрическая положительно определенная матрица порядка n, то еепервый угловой минор положителен, т.е. a11 = ∆1 > 0.

Воспользовавшись тем, что утверждение следствия верно для диагонального элемента a11 , докажем что и aii > 0 при i > 1. Вттквадратичной форме x Ax, x = (x1 x2 . . . xn ) сделаем замену переменныхx1 = yi ,xi = y 1 ,В новых переменных матрица A0 = (a0ij ) квадратичной формы такова, что aii = a011 > 0. IРассмотрим примеры на применение критерия Сильвестра.трех переменных с матрицей0 −11113положительно определена, так как ∆1 = ∆2 = ∆3 = 1 > 0.тПример 6.8. Квадратичная форма x Ax от трех переменных с матрицей1 −311 −1 A =  −31 −15является знакопеременной, так как она невырождена (∆3 6= 0) и ∆1 = 1 > 0, а ∆2 = −8 < 0.Пример 6.9. Квадратичная форма 2x1 x2 от двух переменных является знакопеременной,так как она невырождена (∆2 = −1 6= 0), а ∆1 = 0.f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 + x3 )2 − x22 − (x1 − x3 )2 + (x2 + x4 )2 .ÔÍ-12Пример 6.10.

Квадратичная форма f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 4x1 x3 + 2x2 x4 + x24 имеет угловыеминоры ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0, ∆4 = 4 и, согласно следствию 6.2, является знакопеременной. Вэтом можно убедиться, используя несложное преобразование вида квадратичной формы:ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓПример 6.7. Квадратичная форма x Ax от10A=−1ÔÍ-12ÔÍ-12тÔÍ-12xj = yj при j 6= 1, i.ÌÃÒÓÌÃÒÓСледствие 6.3. Если симметрическая матрица положительно определена, то все ее диагональные элементы положительны.ÌÃÒÓÔÍ-12Д о с т а т о ч н о с т ь.

Невырожденная квадратичная форма может быть либо положительноопределенной, либо отрицательно определенной, либо знакопеременной — в зависимости отзнаков коэффициентов в ее каноническом виде. Если имеется нулевой угловой минор или одиниз угловых миноров четного порядка отрицателен, то, согласно теореме 6.5 и следствию 6.1,эта квадратичная форма не является ни положительно, ни отрицательно определенной. То жеможно утверждать и в случае, когда есть два угловых минора нечетного порядка с разнымизнаками. Значит, в этих случаях квадратичная форма знакопеременная.

IÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 6. КВАДРАТИЧНЫЕФОРМЫ И ИХÌÃÒÓСВОЙСТВАÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .форм . . . .. . . . . . . .. . . . . . . ..................................... . . . .. . . . .

.. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .....................67676869707273ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Квадратичные формы и их свойства . .Определение квадратичной формы . . . . . . .Преобразование квадратичных форм . . . . . .Квадратичные формы канонического вида . .Ортогональные преобразования квадратичныхЗакон инерции .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .Критерий Сильвестра . . . . . . . . . . . . . .ÔÍ-1276ÌÃÒÓЛекция 6.6.1.6.2.6.3.6.4.6.5.6.6.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.

Характеристики

Список файлов лекций