от Ани ред (1078172), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

39. Применение закона сохранения энергии к расширяющейся цилиндрической катушке и вывод закона электромагнитной индукции Фарадея. ЭДС индукции.

Под исследуемой системой будем понимать только катушку с током.

от до за время

, так как – разгружение.

При этом изменится магнитная энергия, запасенная в катушке (так как изменится V)

, - магнитная энергия

Посмотрим, как изменится магнитный поток в этом процессе

;

Сравним и :

Мы показали, что

Тепловые потери

Все эти процессы энергетически обеспечиваются работой сторонних сил

, тогда закон Ома для полной цепи запишется

Обозначим - ЭДС индукции

Замечание: магнитостатика сверхпроводящих токов есть истинная магнитостатика, так как там нет джоулева тепла и работы источника ЭДС. В частности для сверхпроводящей катушки – закон замороженности магнитного потока в сверхпроводящем контуре.

Ток ЭДС индукции всегда направлен так, чтобы воспрепятствовать изменению стационарного состояния системы. Рассмотрим пример установления тока в катушке индуктивности при включении ЭДС:

+

Так как

Так как

Докажем, что касательная, проведенная к графику дает постоянную времени

при

40. Вихревое электрическое поле, создаваемое переменным магнитным полем. Первый фундаментальный закон электродинамики Максвелла.

, где .

Выше показали: .

Реально эта работа 0 только в области самой ЭДС.

По аналогии: . Т.е. контур необязателен, такое явление наблюдается во всех точках пространства (Максвелл). Контур нужен, чтобы зафиксировать ЭДС.

– 1-й фундаментальный закон Максвелла.

В дифференциальной форме: , т.к. .

Вернемся к закону Ома: .

По Фарадею: – электрическое поле сторонних сил.

По Максвеллу: – истинное электрическое поле в пространстве, где

– потенциальное. – вихревое.

.

Докажем: (*).

Найдем изменение магнитного потока при смещении контура:

.

.

Т.е. _инд. можно создать движением.

При .

Т.к. на движущийся заряд в и полях действует сила: .

Замечание: Из , т.к. .

41. Вихревое электрическое поле, создаваемое переменным электрическим полем. Второй фундаментальный закон электродинамики Максвелла.

Максвелл обобщил теорему Стокса в магнитостатике на произвольные во времени электрические поля и токи. . Рассмотрим некоторые обобщения. ; т.к. , но

– 2-е фундаментальное уравнение Максвелла в интегральной форме,

где – ток смещения. – в дифференциальной форме.

Справедливость полученных соотношений подтверждает следующее из него уравнение непрерывности:

42. Уравнения электродинамики Максвелла и материальные соотношения. Замкнутость системы дифференциальных уравнений Максвелла. Вывод волнового уравнения в среде с затуханием.

Первый столбец – уравнения в интегральной форме, второй- в дифференциальной . Это не просто уравнения, а система уравнений, описывающих ЭМ поле. Итого имеем 8 скалярных уравнений с 12 переменными.

Так как уравнения описывают ЭМ поле в материальной среде, необходимо добавить к ним материальные соотношения , , Теперь имеем 17 скал. уравнений с 12 неизвестными. Для полного счастья добавим еще уравнение непрерывности . Итого 18 уравнений с 16 неизвестными.

Покажем, что система уравнений может быть полностью замкнута и представлена в виде математической задачи Коши (т. е. дифур+ начальные условия). Установим, что (4) - следствие (2), а (3)- следствие (1)

Итак, (взяли div от (1))   , т.к (из физики)  при t=0 уравнение (3) является начальным . условием. для (1)

Аналогично берем div от (2) уравнения  . Сопоставляя это уравнение с , получаем

 . Т.к при t=0  уравнение (4) является начальным условием. для (2)

В итоге получена задача Коши для - 15 скал. уравнений с 15 неизвестными. Причем  связано с j уравнением непрерывности (ЗСЗ).

Уравнения Максвелла показывают неразрывное единство переменных во времени электрического и магнитных полей (система распадается, если поля постоянны).

Фундаментальное свойство электромагнитных полей состоит в том, что они распространяются в виде электромагнитных волн, скорость которых определяется только электрическими и магнитными характеристиками среды, в которой они распространяются.

– телеграфное уравнение, – в отсутствии затухания.

– закон сохранения ЭМ энергии. Это уравнение описывает только процессы рассеяния (диссипации) вещества. – вектор плотности ЭМ энергии (вектор Пойнтинга).

43. Теорема Пойнтинга. Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля. Импульс электромагнитного поля.

Объемная плотность энергии ЭМ поля :

Энергия . Т.к  имеются тепловые потери, их мощность .

или (ЗСЭ в интегральной форме) . При  (ЗСЭ в дифференциальной форме). Найдем физический смысл вектора :

. Т.к. и 

. Т.к (св-во rot) 

. Сравнивая с  - вектор Пойнтинга.

Замечание. Аналогично теорема о сохранении импульса ЭМ поля была доказана великим Максвеллом :

-вектор объемной плотности импульса.

44. Электродинамические уравнения для векторных потенциалов электромагнитного поля.

Прежде всего, рассмотрим традиционную систему электродинамических уравнений:

(a) rot , (b) div , (1)

(c) rot , (d) div ,

включающую в себя материальные соотношения:

, , ,

Понятие векторного потенциала следует из очевидного положения о том, что дивергенция ротора любого вектора тождественно равна нулю. Поэтому магнитный векторный потенциал можно ввести посредством соотношения div = 0 системы уравнений (1), а электрический - соотношением div = 0, описывающим поляризацию локально электронейтральной среды:

(а) rot , (b) rot . (2)

Однозначность функций вектор-потенциала, т.е. чисто вихревой характер таких полей обеспечивается условием калибровки: div = 0.

Тогда подстановка соотношения для магнитного векторного потенциала (2a) в уравнение вихря электрической напряженности (1а) приводит к известной формуле связи поля вектора указанной напряженности с магнитным вектор-потенциалом:

, (3)

описывающей закон электромагнитной индукции Фарадея. Здесь не рассматривается электрический скалярный потенциал, формально следующий из (1а): grad φ^e.

При аналогичной подстановке соотношения для электрического векторного потенциала (2b) в уравнение вихря магнитной напряженности (1c) с учетом материальных соотношений получаем в итоге связь этой напряженности с электрическим вектор-потенциалом:

, (4)

где τ_рел = εε₀ /σ - постоянная времени релаксации электрического заряда в среде за счет электропроводности. Таким образом, согласно соотношениям (2) - (4), векторные потенциалы являются первичными понятиями по отношению к электромагнитным полям.

Используя формулы (2a) и (2b) связи полей индукции и их векторных потенциалов, имеем при подстановке в них соотношений (3) и (4) систему динамических уравнений относительно полей электрического и магнитного векторных потенциалов:

(a) rot , (b) div , (5)

(c) rot , (d) div .

Неординарность уравнений системы (5) очевидна, поскольку в каждом одном роторном уравнении поля векторного потенциала или содержится информация о свойствах обоих роторных уравнений электромагнитных полей и системы (1).

Об исключительности уравнений векторных потенциалов говорит и тот факт, что дифференцирование по времени только магнитных уравнений системы (5) преобразует ее с учетом вышеизложенного в новую систему уравнений относительно полей электрической напряженности и ее вектор-потенциала:

(a) rot , (b) div , (6)

(c) rot , (d) div .

Соответственно, дифференцирование по времени пары уравнений электрического векторного потенциала в системе (5) преобразует ее в другую новую систему уравнений теперь уже относительно полей магнитной напряженности и ее вектор-потенциала:

(a) rot , (b) div , (7)

(c) rot , (d) div .

Сделаем общее для всех систем замечание о дивергентных уравнениях. Как уже говорилось, уравнение div = 0 является калибровкой, обеспечивающей однозначность функции векторного потенциала , поэтому, согласно симметрии уравнений в рассматриваемых системах, другие дивергентные уравнения: (1b) при ρ = 0, (1d), (6b) и (7b) математически следует считать соответствующими калибровками для функций вихревых полей и .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)