Белов В.Н., Неклюдов А.В., Титов К.В. - Поверхностные интегралы (1077041), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Для сегмента сферы σ1 имеем cos γ > 0, z 2 (x, y) = 4 − x2 − y 2 . Поэтому√ZZZZZ2π Z 3z 2 dxdy =(4 − x2 − y 2 )dxdy = dϕ (4 − ρ2 )ρdρ =σ1D1√= 2π(2ρ2 − ρ4 /4)0030= 2π(6 − 9/4) = 15π/2.25Поскольку на части Zпараболоидаσ2 Zимеемz 2 (x, y) = (x2 +ZZz 2 dxdy = −(x2 + y 2 − 2)2 dxdy =+ y 2 − 2)2 , cos γ < 0, тоσ2√D2√Z32 − 2)3 3ρ( = − π.= −2π (ρ2 − 2)2 ρdρ = −2π√632√2ZZZZZZ22z dxdy =z dxdy +z 2 dxdy =Таким образом,σσ1σ2π15 π43 π=− =.236ZZОкончательно получаем поток векторного поля Π = F~ d~σ =σ= 0 − 0 + 43π/6 = 43π/6.I2.4.
Задачи для самостоятельного решения1. Найти поток векторного поля x2~i + y 2~j + z 2~k через часть поверхности параболоида z = x2 + y 2 , z 6 1 в направлении нормали,внешней к параболоиду.2. Найти поток векторного поля x2~i−y 2~j +z 2~k через часть сферы x2 +y 2 +z 2 = 1, находящуюся в первом октанте, в направлениивнутренней нормали.ZZxdydz + ydxdz − 2zdxdy, где σ — полная поверх3. Найтиσность куба |x| 6 1, |y| 6 1, |z| 6 1 (внешняя сторона).4.
Найти поток векторного pполя F~ = 2x2~i +p3y 2~j + z 2~k че22рез полную поверхность тела x + y 6 z 6 2 − x2 − y 2 внаправленииZвнешнейнормали.ZF~ d~σ, где F~ = x~i+y~j +z~k, σ — часть параболоида5. Найтиσz = x2 − y 2 , 0 6 x 6 1, z > 0 нормаль образует тупой угол сосью Oz.Ответы1. −π/3. 2. −π/8. 3. 0. 4. π. 5. 1/3.263.
ЗАДАНИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТАЗадача № 1. Дана часть поверхности σ, вырезаемая поверхностями S. Плотность поверхности σ равна μ (табл. 1).В вариантах 1 — 10 найти массу поверхности σ.В вариантах 11 — 20 найти координаты центра масс поверхности σ.В вариантах 21 — 30 найти момент инерции поверхности относительно осей координат и начала координат.Таблица 1Номерварианта123Поверхность σПоверхности Sx2 +y 2 = 4, x = 0,y = 0 (x > 0, y > 0)√222x −y +z +1=0|y| = 2pz = x2 + y 2x2 + (y − 1)2 = xz = xy22Плотность μzx2 +y 2|y|yz = 12 (x2 − y 2 )x + y = x, z = 0(z > 0)|xy|x2 +y 25x2 + y 2 =4xy 2 + z 2 = x2 , z =0(z > 0)|y| z6z = x2 + y 2z =1|xy|z7z 2 + y 2 =1pz = 1 + x2 + y 2|y| = |x| , |x| = 1489102x +y =9y 2 = x2 + z 2222x −y −z +1=022|y| = 1√|x| = 3211z 2 = x2 + y 2x + y = 4, z =0(z > 0)12x2 + y 2 + z 2 =4x2 + y 2 = 2x13222x −y −z =0x = 0, x =2|y|2√ zy2z 2 −12 2y z|x|1|z|y227Окончание табл. 1Номерварианта1415161718z=p9 − x2 − y 2y = 12 (x2 + z 2 )Поверхности SПлотность μ–|y|9−z 21√1+4y−x2 −z 2y =2x2 + y 2 + z 2 =2x2 + y 2 = z 2 , z = 0pz = 4 − x2 − y 2–√x = 0, z = 0y = − 1 − x2 − z 2(x 6 0, z > 0)19x2 − y 2 − z 2 = 020z = x2 − y 2|x| = 1, z = 0(z > 0)21x2 + y 2 + z 2 =1–2222324z =x +y222x + y =1pz = 1 + x2 + y 2√1xy4−z 211y 2 + z 2 = 2y√yz+2y 2 +1/4|z|√ 11+4zz =1|z| = 1√z= 2√|y|zx2 +y 2 +z 2x+y+z =1x = 0, y = 0, z = 0(x > 0, y > 0,z > 0)126x2 + y 2 + z 2 =1x2 + y 2 = z 2 , z =0(z > 0)z327x2 + y 2 =128z = x2 − y 2z 2 = x2 + y 2x2 + y 2 =129y 2 − x2 − z 2 =0y = 0, y = 1, x = 0,z=0(x > 0, z > 0)30x2 + y 2 = 2xz = 0, z = 22528Поверхность σ√11+4z+8y 2x2 + y 2 + z 2px2 + y 2 + z 2|y|→−Задача № 2.
Найти поток векторного поля F через частьплоскости σ, ограниченную координатными плоскостями. Сторона плоскости определяется нормалью, образующей острый угол сположительным направлением указанной оси координат (табл. 2).Таблица 2Номерварианта→−Векторное поле FПлоскость σОсь1y~i + 2x~j + z~k(y + z)~i + y~jx − y + z =2Ox23456789101112131415161718192021x~i + 3z~j − y~k2x~j + 3z~kx~i + z~j + y~ky~i − 3x~j − z~kz~i + y~j + x~kx~i − 2z~j + 2y~kx~i − y~j + z~kz~i + y~j + 2x~k6z~i + y~j + 2x~kz~i + 2y~j + x~k(y + 1)~j + 3z~k(x + 2)~j + 2z~kx~i + (1 − 2y)~j(x + 1)~i + (z + 1)~j−y~i + x~j + 3z~k6z~i + 6y~j + 2x~ky~i + 2x~j + z~k−z~i + 6y~j + x~k2x~i − 2z~j + y~k−x + y + z =1Oy+z =1Ozx + y − z =1Oxx2y3+y2+ 2z = 1Oyy3=1Ozx + 2y + 2z = 2Ox−x + 4y + 2z = 2Oyx + 2y + 3z = 6Oz−x + y − z = 1Oy4x + 2y + z = 2Oz−x − 3y + 2z = 1Ozx+−x −y2+z2z3=1Oy−x + y + z = 2Oz−x +x4+x−y2y2++z =1+z3=1−3x − 2y + 6z = 6OzOxOz−3x + 6y + 2z = 6Oy2x + 3y + 3z = 1Oz2x + y − 4z = 2Oxx−y−z =2Ox29Окончание табл.
2Номерварианта→−Векторное поле F22x~i + 3y~kz~i + y~j2324252627y~i − x~j + (z + 2)~k−z~i + y~j + (x − 1)~k2y~i + x~j + 3z~ky~i + x~j + 3z~k29x~i + 2z~j + y~kx~i + y~j + 3z~k302z~i + y~j + x~k28Плоскость σ−x +y2−z =1ОсьOyx + 2y + 2z = 2Ozx+y+z =2Oxx−y+z =1Oz2x + y + z = 1Ozx + 3y + z = 1Oxx + y − 2z = 1Ox−3x + y + 2z = 2Oy−x + 2y + 3z = 2OzСПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д. Кратные и криволинейные интегралы.
Элементы теории поля. М.: Изд-во МГТУим. Э.Н. Баумана, 2001.2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления:В 2 т. Т. 2. М.: Наука, 1985.3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения.Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.:Наука, 1985.4. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.:Высш. шк., 1989.5. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высш.
шк., 1985.6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2 ч.Ч. 2. М.: Наука, 1980.ОГЛАВЛЕНИЕ1. Поверхностные интегралы 1-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1. Понятие поверхностного интеграла 1-го рода . . .
. . . . . . . . . . . .1.2. Свойства поверхностного интеграла 1-го рода . . . . . . . . . . . . . .1.3. Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода . . . . . . . . . . .1.4. Механические и физические приложения поверхностногоинтеграла 1-го рода . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Поверхностные интегралы 2-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1. Определение поверхностного интеграла 2-го рода . . . . . . . . . .2.2.
Свойства поверхностного интеграла 2-го рода . . . . . . . . . . . . . .2.3. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода . . . . . . . . . . .2.4. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Задания типового расчета . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3355111617172223262731.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
