Лаб001_Ле Куи Ань (1071937)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский Государственный Технический Университет

им. Н. Э. Баумана

Отчёт по лабораторной работе №1

по курсу:

«Оптимальное управление

детерминированными процессами»

«Аналитическое конструирование регуляторов»

Тема «Классическое вариационное исчисление в задачах оптимального управления»

Вариант: №18

Студент: Ле Куи Ань

Группа : ИУ1-71

Проверил: Деменков Н.П.

2016 г.

Цель работы: овладеть навыками и умением по синтезу линейных систем управления с квадратичным критерием качества на основе классического вариационного исчисления.

Необходимое оборудование: ПЭВМ, совместимая с IBM PC, пакет Matlab для операционной системы Microsoft Windows.

Во многих случаях схемы управления возмущенным движением приводят к рассмотрению линейных систем с квадратичным критерием качества. Многие объекты управления достаточно точно описываются линейными динамическими моделями. Путем разумного выбора квадратичных критериев качества и квадратичных ограничений в этом случае удается синтезировать весьма удовлетворительные управляющие устройства с линейной обратной связью.

В данной работе рассматривается система, описываемая векторным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами:

. (1)

Необходимо перевести систему из некоторого начального состояния в заданное конечное состояние

, (2)

используя допустимые функции управления и не выходя за допустимые пределы по фазовым переменным в процессе движения.

Структурную схему исследуемой системы можно представить следующим образом:

Так как замкнутая система линейная стационарная, то ее передаточная функция определяется как:

Для решения этой задачи производится минимизация критерия качества, представляющего собой сумму квадратичной формы от вектора конечного состояния и интеграла от суммы квадратичных форм вектора состояния и вектора управления

(3)

Здесь G_k и Q(t) - положительно полуопределенные матрицы, R(t) - положительно определенная матрица.

Управление (t), минимизирующее (3), можно найти путем совместного решения уравнения (1) и уравнения Эйлера-Лагранжа

, при (t_k)= G_k (t_k), (4)

, (5)

где функция Гамильтона

(6)

откуда

. (7)

Подставляя (7) в (1), приходим к двухточечной краевой задаче, решением которой является программное управление .

(t) = - K(t) (t),

при

K(t) = R^-1(t) B^T(t) S(t),

где симметричная матрица S(t) определяется из матричного уравнения Риккати

= - SA- A^TS + SBR^-1B^TS – Q.

Закон управления и реакция системы в значительной степени зависят от выбора весовых коэффициентов показателя качества. В данной работе выбор весовых коэффициентов производится на основании метода Эллерта. Для объекта второго порядка, описываемого уравнением

,

с показателем качества , где t_k=∞, матрицы и выбираются диагональными, и имеют следующие элементы:

; .

Весовые коэффициенты и задаются уравнениями

,

.

Для выпуклости функционала качества весовые коэффициенты и должны быть неотрицательными.

Практическая часть

Вариант 18: k=20; ξ=0.25; T=0.3

Выполнение:

Метод 1 – Метод Брайсона (формулы 13-15)

1)Код:

2)Вывод:

num =

20

den =

0.0900 0.0900 1.0000

w =

20

---------------------

0.09 s^2 + 0.09 s + 1

Continuous-time transfer function.

>> p2

Pss =

A =

x1 x2

x1 -1 -2.778

x2 4 0

B =

u1

x1 8

x2 0

C =

x1 x2

y1 0 6.944

D =

u1

y1 0

Continuous-time state-space model.

q11 =

1.2352e-04

q22 =

1.0477e-04

Q =

1.0e-03 *

0.1235 0

0 0.1048

K =

0.0011 0.0002

S =

1.0e-03 *

0.1366 0.0189

0.0189 0.0996

E =

-0.5044 + 3.2957i

-0.5044 - 3.2957i

Wf =

20

----------------------

0.09 s^2 + 0.09 s + 21

Continuous-time transfer function.

Wreg =

A =

x1_e x2_e

x1_e -1.009 -2.779

x2_e 4 -6.944

B =

y1

x1_e 0

x2_e 1

C =

x1_e x2_e

u1 -0.001093 -0.0001508

D =

y1

u1 0

Input groups:

Name Channels

Measurement 1

Output groups:

Name Channels

Controls 1

Continuous-time state-space model.

3)Графики:

Рис.1 Вид передаточной функции (Метод 1)

Рис.2 Управление (Метод 1)

Рис.3 Выход системы (Метод 1)

Метод 2 – метод Эллерта.

1)Код:

%Данные варианта

clc; clear all; close all;

k=20;

psi=0.15;

T=0.3;

%Выполнение операций

num=[k]

den=[T^2 2*psi*T 1]

w=tf(num,den)

Pss=ss(w)

[A,B,C,D]=ssdata(Pss);

a11=-1;

a12=-2.778;

a21=4;

a22=0;

b22=8;

q11=(1/(a12)^2*(b22)^2)*(1/T^4+6*a11*psi/T^3+(a11)^2*(12*psi+2)/T^2+8*(a11)^3*psi/T+(2*a11*a12*a21*a22+2*(a11)^2*a12*a21+(a12)^2*(a21)^2+(a11)^4));

q22=(1/(b22)^2)*((4*psi^2-2)/T^2-(a11)^2-(a22)^2-2*a12*a21);

Q=[q11 0;0 q22]

R=1;

N=0;

[K,S,E]=lqr(A,B,Q,R,N)

Wf=feedback(w,1)

Wreg=reg(Pss,K,[0;1])

Wu=w*Wreg;

figure(4);

%Построение

step(w);grid on; hold on;

figure(5);

step(Wu);grid on; hold on;

figure(6);

step(Wf);grid on; hold on;

2)Вывод:

num =

20

den =

0.0900 0.0900 1.0000

w =

20

---------------------

0.09 s^2 + 0.09 s + 1

Continuous-time transfer function.

Pss =

A =

x1 x2

x1 -1 -2.778

x2 4 0

B =

u1

x1 8

x2 0

C =

x1 x2

y1 0 6.944

D =

u1

y1 0

Continuous-time state-space model.

Q =

1.0e+03 *

1.9124 0

0 0.0000

K =

43.6058 0.0000

S =

5.4507 0.0000

0.0000 3.7857

E =

-349.8147

-0.0318

Wf =

20

----------------------

0.09 s^2 + 0.09 s + 21

Continuous-time transfer function.

Wreg =

A =

x1_e x2_e

x1_e -349.8 -2.778

x2_e 4 -6.944

B =

y1

x1_e 0

x2_e 1

C =

x1_e x2_e

u1 -43.61 -4e-05

D =

y1

u1 0

Input groups:

Name Channels

Measurement 1

Output groups:

Name Channels

Controls 1

Continuous-time state-space model.

3)Графики:

Рис.4 Вид передаточной функции (Метод 2)

Рис.5 Управление (Метод 2)

Рис.6 Выход системы (Метод 2)

Выводы:

1. Проведя лабораторную работу, я ознакомился со способами применения функции lqr, позволяющей синтезировать линейно-квадратичный регулятор, научился определять оптимальное управление методом классического вариационного исчисления.

1. Из графиков видно, что использование методик Брайсона и Эллерта дает в обоих случаях заметное снижение перерегулирования и статической ошибки, тогда как время переходного процесса синтезированной системы практически не изменилось.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лабораторной работы