Г.П. Гаврилов, А.А. Сапоженко - Задачи и упражнения по дискретной математике (1055357), страница 9
Текст из файла (страница 9)
2) Ь(0, хг) = хг и Ь(1, хг) = хг. Значит, разложения (2) и (6) по переменной х! для функции Ь таковы: гг(хг, хг) = х! хгч х! хг и уг(хг, хг) =',х! Чхг) . (х! Мхг). Палее, Ь(0, 0) = гг(1, 0) = 0 и сг(0, Ц = Ь(1, Ц = 1. Следовательно, совершенная д. н.ф. функции уг имеет вид х, хг !l х„хг — — УгхгМ хгхг, а совершенная к. н, ф. такова: о (х! Ч хг ) (х! !! хг ) = (х! Ч хг) (х! Ч хг) = (х! Ч хг) (х! Ч хг). 3) гз(0, хг) = 0 !! хг = хг, Ь(1, хг) = 1 Ч хг — — 1. Поэтому имеем гз(хг~ хг) = х! ' хг Ч х! ' 1 и гз(х!) хг) = (х! Ч Ц ' (х! ь' хг). Вычисляя значения функции уз на различных наборах значений переменных, получаем гз(0, 0) = О, Ь(0, Ц = Ь(1, 0) = Ь(1, Ц = 1. Затем строим совершенные дизъюнктивную и конъкгнктивную нормальные формы функции )з: ,о!,со — о о хгхг У хгхг ~ тгхг — хгхг ~ хгхг Ч хгхг, х! 4 хг — х! Ч хг — х! М хг.
4) Ь(0, хг) = 0 — ь хг = 1, 14(1, хг) = 1 †! хг = 0 ~у хг = хг. Сле- довательно, Ь(хг,хг) = х! . 1Ч х! хг и 14(хг, хг) = (У! Ч тг) ве 3е (х! Ч Ц, Палее, ул(0, 0) = гл(0, Ц = Я1, Ц = 1 и 14(1, 0) = О. Значит, совеРшеннаЯ д.н.ф. фУнкции Ь имеет вид хогхг Нхостг! !! Нхгхг = УгхгМ хгхг !! х!хг, а совеРшеннаЯ к. н, ф, такова: х! Ч хо = о = х! !У хг — — х! '4хг. 6) Ь(0 хг хз) = Ь(1, хг, хз) = хг хз. Поэтому разложения этой функции по переменной хг, полученные по формулам (2) и (6), та- ковы: х! ' (хг хз) ь х! (хг хз) и (У! Ч (тг хз))(х! Ч (хг хз)). Вычисляя значения функции Ь на различных наборах значений пе- 42 Гл, 1. Способы задания и свввс1пва фупкиий алеебрв1 логики ременных, имеем уз(0, О, 0) = уз(1, О, 0) = 72(0, 1, 1) = Тз(1, 1, 1) = 1 и Ь(0, О, 1) = Д(1, О,.
1) = Д(0., 1, 0) = 1'з(1, 1, 0) = О. Совершенная д.н.ф. У уз имеет вид ООО1ООО хгхгха Ч хгхгхз ' ' хгхгхз Ч хгхгхз — хгхэхз Ч хгхгхз Ч хгхгхз Ч хгхгхз а совершенная к. н, ф, такова; х1 Чхг Ч аз) - х1 Чхг Ч хз) (х1 Чхг Ч хз) . (х1 Чхг Ч хз) = = (х1 Чхг Чхз) '(х1 Чхг Чхз) (х1''хг Чхз) '(х1 Чхг Чхз). б) Ь(0, хг, тз) = О -2 хз = 1, Ь(1, хг, хз) = 1 хг -э хз = хг -э — 1 хз. Следовательно, разложения этой функции по переменной х1, полученные по формулам (2) и (6), имеют вид х1 1 Чхг (хг — 1 хз) и (х1 Ч (хг -в хз)) (У1 Ч 1). Вычисляем значения функции ув на различных наборах значений переменных: ув(0, О, 0) = 1в(0, О, 1) = = 1в(0, 1, 0) = гв(0, 1, 1) = 1'в(1, О, 0) = 1в(1, О, 1) = (в(1, 1, 0) и 1"в(1, 1, 1) = О. Значит, совершенная д.
н. ф. функции 1"в такова: х1Угхз Ч У1Угхз Ч хгхгхз Ч УгхгУз Ч г:1хгхз Ч хгхгхз. Совершенная к.н.ф. функции имеет вид У1 Ч Уг Ч хз. Замечание. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма функции Д(х1) = х1 (как функции от одной переменной У1) совпацает с совершенной к.н.ф. и есть просто х1. В самом деле, Г'(0) = 1 и Д(1) = 0; следовательно, совершенная д. н, ф. функции 1(х1) = х1 имеет вид х1 — — х1 и совершенная к.н.ф.
такова же: У = х = х1. о — о Аналогичное утверждение справедливо и для функции 1(хг) = хг: ее совершенные диэъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы совпадают с ней самой, т.е. с хг. Эти факты интересно сравнить с соответствующими результатами для функций 11 и уг из приведенно- го выше примера. Пример 2. Представить в совершенной д.и.ф.
и совершенной к. н. ф. функцию 1с(хйз) = (01101001). Решение. Функция 1 принимает значение 1 на наборах, номера которых равны 1, 2, 4 и 7, т. е, на наборах (О, О, 1), (О, 1, 0), (1, О, 0) и (1, 1, Ц. Конъюнкции, соответствующие этим наборам, имеют вид , О О 1 — — О 1 Π— —, 1 О О х1х2хз х1хгхз х1х2хз х1т2хз х1хгхз х1х2хз и х1х2хз = хгхгхз. Значит, совершенная д. н. ф. функции 1(йз) такова: У1Угг:з ЧУ1тгУз Ч х1У2Уз Ч хсхгтз. Пля построения совершенной к.н.ф. рассматриваем все те наборы, на которых функция 1' обра- щается в О. Это наборы (О, О, 0), (О, 1, 1), (1, О, 1) и (1, 1, О). Соот- ветствующие им дизъюнкции имеют вид о о о х1 Ч хг Ч хз — — х1 Ч хгЧ хз — — х1 Ч хг Ч хз, о Т,Т 1 о о х1 Ч хг Ч хз — — х1 Ч хг Ч хз —— х1 Ч х2Ч хз, х1 Ч хг Ч хз — — х1 Ч хг Ч хз — — х1Ч хгЧ хз, Т о Т о 1 о Х1 ЧХг Чтг — — Х1ЧХ2ЧХЗ вЂ” — т1ЧХ2Чтг.
Т Т о о о,,1 Перемножая эти дизъюнкции, получаем совершенную к. н. ф. функ- ции ~: (х1 Ч хг Ч хз) (х1 Ч хг Ч хз) (х1 Ч хг Ч хз) (х1'Ч хг'Ч хз). у д. Специальные предегпавленин булевых функций 43 П р и м е р 3. Представить в совершенной к. н. ф. хю, хз- и хзхз-компоненты функции Хл(хо) = (хз — ь хххз) Ю хз, рассматривая их как функции, зависящие только от «оставшихся» переменных. Решение. хюкомпонентой функции 1(хз) является Л(х ) = х(1, хз, уз) = (1 > хзуз)Юхз = (ОЧхзхз)чьхх = хзхз 9 хз = хз ь хз. Аналогично, хз-компонента функции у" (х з) есть функция д(х з) = = У(хы О, хз) = (х1 — > О.
тз) ьЗ 0 = хз — > хз, а хзхз-компонента функция узод(х ) = У(хы 1, 0) = (хз — г 1 0) Ю 1 = хь Ю 1 = хь Очевидно, что совершенная к.н.ф. функции ьвз(хз, хз) = хз Ч хз совпадает с ней самой, совершенная к. н. ф. функции уьз(хы хз) = хз — е хз есть хз М х„= хй Ч хз — — хз Ч хз и, наконец, совеРшеннаЯ к.н.ф. — о .о функции уьз(хз) = хз --. зто просто хь Пример 4. Показать, что если Д(х"): — уз(хп) для всякого 1 (1 < ~, '< п), то функция 1(х") есть константа. Решение. Разложив функцию у по переменной хь (см. формулу (2)), получаем (х") = хвуо(хд") У х.Л(х") = х Ыхп) У х.1о(х") = = (хг 'й хд1о(ха) = 1 ' Уо(х") = )о(хп) т.е.
х, фиктивная переменная функции )(хС"). Так как х, произвольно выбранная переменная., то, значит., все переменные функции 1(х") фиктивные. Следовательно, Д(х") есть константа. П р имер 5. Среди функций, зависящих только от двух переменных х1 и хсп найти те, которые имеют наибольшее число разных подфункций. (Каждая подфункция функции Дхы хз) рассматривается как функция, зависящая от обеих переменных х1 и хз.) Решение. Эту задачу можно решать следующим (громоздким, переборным) способом: выписать все функции, зависящие от переменных хз и хз (их 16!), затем для каждой из них найти все ее подфункции и выяснить, сколько среди них разных. Привлекая некоторые дополнительные утверждения, удается сократить перебор. Например, можно воспользоваться следующими фактами (см.
задачу 2.6): 1) если функция д(х ") может быть получона из функции г'(хб ") переименованием переменных без отождествления, то число различных подфункций у функции 1(хи) и д(х") одинаковое: 2) у двойственных функций число различных подфункций одинаковое; 3) если д(х") = 1(хп), то число различных подфункций у функций 1(х") и д(х") одинаковое. Принимая во внимание зти три утверждения, достаточно ограничиться рассмотрением пяти функций: О, хы хзхх, хз Ю хз и хз -ь хз. 44 Гл, 1.
Способы задания и свобства фу[квай алгебре~ логики Е1етрудно установить, что у функции 0 все подфункции равны ей самой, а у функции хг три разные подфункции: О, 1 и хы У функции х>хг разных подфункций пять: хгхг, О, хы хг и 1. У функции хг ~В хг семь разных подфункций: хс Ю хг, хы хг, хс Ю 1, хг Ю 1, 0 и 1. Наконец, у функции хг — о хг пять подфункций: хг -л хг, 1зхг =та, хс-гО=хы 1-о0=0 и 0-гхг =хг -г1=0-+О:— =Оэ1=1э1=1. Итак, наибольшее число разных подфункций (семь) имеют следующие функпии, зависящие от хг и хг, хг ~Эхг и хг 9 хг 91 = х~ хг Привсдом ещо одно решение данной задачи. Сначала заметим, что у функции, зависящей существенно хотя бы от одной переменной, число различных подфункций нс меньше трех (она сама и две константные подфункции всегда отличны друг от друга).
Поэтому тот случай, когда исходная функция есть константы, можно не рассматривать (ибо все ее подфункции просто совпадают с ней самой). Палое, если функция Д(т") зависит существенно только от одной переменной, то она имеет вид х,, где и Е (О, 1) (1 = 1, 2). Очевидно, что у такой функции три различные подфункции: х,, 0 и 1. Теперь займемся исследованием функций, у которых обе переменные существенные. Возможны два подслучая: а) функция Дхг) принимает некоторое значение о на трех наборах значений переменных, а другое значение о на одном наборе); б) функция 1" (х г) принимает каждое значение (О и 1) ровно на двух наборах.
В случае а) в каждой паре подфункций ®О, хг), 1(1, хг)) и (Д(хм 0), 1(хы 1Н ровно одна подфункция является константой о, а другая есть соотвстствснно х и х' (где гб т Е (О, 1)). Отсюда следует, что у данной функции 1(х ) ровно пять различных подфункций: сама функция 1" (хТг), х(, х,, 0 и 1. Перейдем к подслучаю б). Здесь ни одна из подфункций ((О, хг), 1(1, хг), 1 (хеы 0) и 1 (хы 1) не может быть константой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
