Страус В. - Промышленная очистка газов (1044946), страница 50
Текст из файла (страница 50)
° °.... ° Скорость объемная, м'/м 0,19 средняя осевая, м/с . 12,20 Геометрические размеры, мм й /(з . Ятф, и/7, м/с . Плотность пыли, г/см' Размер частиц, мкм Оптимальная длина разделения, мм по уравнению (Ч!.19)...., 900 267 89 по уравиению (Ч!.21) . . . . , 680 22! 61 Вихревая теория Каи и в предыдущем случае, считаем, что в данный момент времени ( частица характеризуется координатами ()т, 8, 2) в закрепленной полярной системе координат, где У представляет собой положение частицы вдоль оси.
Частица входит в систему при У=О. Предполагают, что вращение газового потока униформно со скоростью и характеризуется радиальной, азимутальной и осевой компонентами О, г, со и ии, где пг=и,(тт' — постоянная угловая скорость и ии †постоянн вертикальная скорость. Влиянием пограничного слоя вблизи стенки циклона можно пренебречь, если предположить, что и„ достаточно велико и новые завихрения, образующиеся около ~степки не смогут пронмгснуть внутрь слоя до выхода газового потока из циклона. Не учитывается также и взаимодействие частиц. Компоненты скорости частицы и, при (т(, 8, Я) могут быть записаны в виде и,=()(, КЕ, г) (Н(.
23) гле точками обозначены г1роизводиые но времени. Относительная скорость и„, запишется как и „вЂ” — и — ии(я, гтв — ((ы, у — ии) (И.24) Вязкость частиц, поскольку она очень мала, может быть найдена нз уравнения ()тг.4), записанного в виде г= — Ки „ ((Н.4) ~ ле т — масса частицы; К вЂ” лииейггая функция от вязкости (г к= (ан(вч-р) е' (И.25) Применяя второй закон Ньютона только для вязкого сопротивле- ния частицы и силы тяжести вдоль оси (т.
е. в направлении Я), получаем уравнение движения частицы (И, 2бз) ле — Йе =- — кя (е — ) У=К(2 — и) — я (Н! . 26б) (И.2бв) 245 Из расчетов видно, что дистанция осаждения, рассчитанная с помощью такого упрощения на 26Ъ меньше, чем получаемая с помощью числового решения строгого уравнения. Таким образом эффективность циклона, рассчитанная на основе упрощенного уравнения (207], будет явно завышена по сравнению с реальной.
На уровне входа (Я 0) и „=О, и начальное расстояние частицы от оси равно ц'ь Тогда уравнения (И.26) должны удовлетворять следующим условиям: при г=О Й=Р,, И=о, О=м, х=о, е=иБ Задача состоит в интегрировании уравнсний (т1.26) и (т1.27). При этом определяют время 1, за которое частица достигнет стенки при 1т=)ть Поскольку эти уравнения линейны по отношению к )т~ задача равнозначна нахождению времени от )т=Р,Ят до 1.
Уравнение (т1.26,в) не связано с другими, и его решением при заданных начальных условиях является выражение г=( -а1КИ что указывает на постоянную скорость частицы вдоль оси. Здесь существует ограничение осевой скорости, достаточное для того, чтобы вертикальный дрейф частицы уравновешивал ее массу. Поскольку на практике 1000(К(10000, это отклонение мало, и им можно пренебречь, исключение составляют лишь крупные частицы. Предположение, что Ог ы означает, что 6=0. Тогда из уравнения (У1.26,б) видно, что )т=)т=-О, а из уравнений (т1.26,а) и (Ч1.27) )т~м'=О. Это возможно лишь в том случае, если газовый поток нс вращается, либо когда частица сразу попадает на осевую линию и остается на ней. Поскольку К является большим параметром, другие коэффициенты в уравнениях (Ч1.28,а и б) могут быть сравнимы с К~ и в частности член 2РО в уравнении ( т'.26, б) ие может быть больше, чем 0 (1) для малых й Член в правой части уравнсния может быть либо 0 (К), либо 0 (1).
В первом случае 6 тоже должно иметь значение 0 (К), таким образом, для малых 1 что даст в = в-(-Ае кс-(-о (1) Из условия Ог ы прн 1=0 следует, что А=О, тогда 6=0 вместо 6=0(К). Таким образом, первое предположение несправедливо. Отсюда следует, что 6 — а=О(К ') при малых 1, что имеет реальный физический смысл, поскольку в предельном случае при К вЂ” ю.еа (т. с. бесконсчная вязкость) частицы будут связаны с окружающим газом и и„„=О.
Записывая О=в(1 — 8) в уравнении ('Л.26, а), где 5(0(К-') сравнивается с К, получаем (Ч1. 28) 2)! 1 2Р в+В(К+ — ) =— )1 ) — й (е'!.З1) Из уравнений (У1.30) видно, что КЯ=О для малых 1, поэтому для пограничного слоя 5 не более, чем 0(е')=0(К-') по сравнению с К. Первоначальной целью расчета является определение времени 1, в течение которого частица пройдет расстояние от радиуса е(! до )те нлн дойдет до )!=1 для данных значений )т1Яе н функции вязкости К Однако уравнения (Л.26, а и б) не дают удовлетворительного решения с помощью стандартных алгоритмов нз-за присутствия пограничного слоя вблизи 2=0. Так, если время задается по шкале пограничного слоя, то можно рассчитать ход частипы 247 Тогда основное приближение для 1((1) следует записать в виде ле-хп + де~ее (У1.
29) с максимальной ошибкой 0(Л'-') прн малых значениях й Здесь Ь и )оа являются корнями квадратного уравнения ве+КХ вЂ” еое, а А н  †констан. Последнее уравнение имеет решение: Х = — е/еК 11 + (1 — 4еое/Ке)уе) Поскольку ео/К мало, можно уточнить )а = !К -Яка+О(К вЂ” З) Х = — К вЂ” оР/К+О(К а) Используя первоначальные условия (У1.27), можно найти Я = Я, ( евчгк+ (0>е/Ке) е — к') + О (К-е) (и.зоа) илн более точно, обозначая оа/К через е )а )( ((1 ее) ех(ее — ее1+еее К(~+ее! е) 1 О(К е) (У1 Зпб) Следует учитывать, что оценочное значение 0(Л'-') для ошибки в последнем уравнении относится к решению уравнения (Ч1.28) в тех случаях, когда его правая часть равна нулю.
Уравнения (У1:30, а) н (Ъ'1.30, б) показывают, что существуют две различные шкалы зтрсмени, связанные с движением пыли. Вначале наблюдается период, когда устанавливается относительная скорость, отличающаяся от нуля, т. е. (Ха(1=0(1), что соответствует пограничному слою на входе в циклон.
Когда 1=0(1), члены еае', относящиеся к пограничному слою, исчезают, и начинают доминировать члены е"е', которые и опрсдсляютдрейф частнцкстсвкам. Из уравнения (Ч1.30,а) видно, что не существует такого 1, при котором Л(0. Ценность уравнения (У1.30, б) зависит от реального порядка модуля члена ео'(25 — 5'), отброшенного в уравнепяи (Ч1.28). Выражспиое через 5, уравнение (Ч1.26,б) запишется в виде внутри слоя, но ошибки округления прн прямом решении для 1=0(1) по сравнению с К приведут к возникновению ложных искусственных слоев при каждом шаге, это вызовет искажение численных решений уравнений и появление численных неустойчивостей.
Уравнения (Ч1.26, а и б) и (И.27) представляют собой задачу скнгулярного возмущения 18861, которая может быть решена методом последовательных аснмптотическнх разложений. Здесь будут найдены два решения, соответствующие условиям 1=0(К ') и 1=0(К/еое), которые будут называться соответственно внешнее и внутреннее разложение. Предполагают, что значение Я=1 будет достигнуто только при внешнем разложении для того ряда значений К, которые представляют интерес при расчете циклона. Внутреннее разложение.
Для того, чтобы рассчитать траекторию начального движения частиц, принимается сопоставимое время, т. е. Т = К(1+ее — ео) Полностью это должно быть Т= )),е(1, но членами, расположенными за 0(е'), пренебрегают. Вводя это определение н записывая как и ранее О=ел(1 — 5), можно показать, что уравнения (Ч1.26, а и б) переходят в следующие (1 + гео — ео) Р" + (! + ео — е) Р' — еЧ! (! — 3) =, 0 (Н1. 32) (!+ ' — о)(Р3'-2Р'(1-2))+а~=О (Н(. 33) где первое ура~знание дифференцированно по Т, причем пределамв являются Р=Ре!Р=а Р'=-3=0 лрл Т=О (Н!.34) Из (Ч1.30„а) видно, что Р, Р' и Ра не превышают 0(1), и из уравнения (Ч1.31) следует, что 5 и 5" равны 0(е').Отсюда внутреннее разложение принимает вид Р = а (Ро -(- еоР~ + е'Ро +...
) (Н!.33о) я=(еод,,*еое,+' ) (Н1. 35б) причем Я! н 5; зависят только от Т. Далее, из граничных условий (1!1.34) следует, что Ро = ! ° Ро = Р( = Ро = ° ° — — Бо — — до = ° ° ° =- 0 лрл Т = — 0 (Н!.39 Вводя значении нз уравнений (Ч!.36, а и б) в уравнения (Ъ'1.82) и (Ч1.33) и приравнивання коэффициенты каждой степени в ае к нулю, можно найти: Р" +Р'=О; Р(+ Р( + 2Ро — Ро — Ро = 0; (Н1.32') ~4+ Ро+ 2Р(+ Р( — Ро — К вЂ” Ро+ 2РоЯе 0 — 2Ро - — -0; Ро (51+ 3,) — 2Ро(! — Яо) — 2Р( =-О (Н1 33 ) 2РоЯо+ Ро (Я + зо) + Я (Ро + Ро) + Яо (гйо + 2Р( + 31) — 2Р( — 2Ро + гйо =- О 243 Решение этих уравнений с учетом (Ч1.36) тривиально и приводит к уравнениям )7 = а (1 + ее (Т вЂ” 1 — е т) + ее ((з(яТЯ вЂ” 7Т+ 16 — 2Те + 8Т + 16) е т)) (Ч1.37а) 5=2ез(1 — е т — Те т)+ее[( 14+а/ Та+ ОТЯ+1бТ-(-8) е Г+ +(44+8) е-'1+... (Ч!.376) Как и раньше, О=из(1 — Б) подставляют в уравнения (Ч1.26, а н б) и получают следующие выражения ве (! — 2ез) 77'+ (1 — се) 77' — 77 (! — 5)е = О ее (1 — аз) 15'!7 — 2)7' (1 — 5)1 -1- 775 = О (Ч1.38а) (Ч!.39а) Теперь первое уравнение обозначает дифференцирование по т.
Внешнее разложение тогда записывается в виде 77=о(ре+е Рт+в'Ре+ ") (Ч!.4оа) 5 = ввоз+в~о +... (Ч! лоб) тле р; и оз зависят тольао от т. В соответствии с принципом параллельных асимптотических разложений произвольные константы, появляющиеся в уравнениях (Ч1.40,а н б), можно оценить исходя нз предположения о равенстве разложений при предельных значениях К вЂ” +-оо, что приводит к двойственному пределу Т вЂ” я.оо н 7=0.
Подставив уравнения (Ч(.40, а и б) в уравнения (Ч1.38, а и б) н прнровняв показатели степснсй при е', получают следующий ряд дифференциальных уравнсннй: р, р,=а; р( р,+р," — р,+2р„,=о; р( ря — 2ре+ р( — рз+ 2реот ре(о' — 2о,) = О (Ч!.386) Рео' — 2ре — — О; Рео,+Ро,'+о,(Р,+2Р) — 2Р(+2Рз=о (Ч! 396) 249 Первые два члена во внутреннем разложении для 17 те же, что и выражения, полученные непосредственно из уравнения (Ч1.30, б) путем замены Т=К((1+ее+а") и разложения медленно изменяющейся экспоненты на степенные ряды по Т и а'.
Из уравнений (У1.37,а и б) видно также, что частицы покидают пограничный слой с примерно постоянной угловой скоростью то(1 — 2изз/Кз) и радиальной скоростью «зз/К. Внешнее разложение. Если Т=К! становится сравнимым с вт=азз/Кз, ряд внутреннего разложения больше нс сходится. Одновременно с этим становятся значительными те элементы решения, которые соответствуют членами е"(' ")в уравнении (Ч1.30, б), они больше не представляются степенными рядами Т. Для исследования непрерывности решения в этот период времени принимают второе соответствующее время К (ез ее) 1 (вз(Кз,ве77(з) ! Решением первого равенства в уравнении ("т/1.38,б) является ро=Аое' (где А — постоянная), поскольку т=е'(1 — 2ее)Т; ро Ао+0(е'), когда Т велико и т мало.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
