Блейхут Р. - Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов (1044113), страница 22
Текст из файла (страница 22)
П рмеь ялгори«ф л р п«4- «й лд З«ыт«вк д ЗЛ. в, Иынняясвлг рам м «н 2. й й йсырткэ г(щ = 3 Лоы+ 13 й+ бяч — (щ — 3) ٠— Щ)1 "+ яей ро ь элгсрны вмч«еле ю е(х) 3(*)Л(*) (юобг* — -1- 1), б. П ор ь ызыу, ны«в я грнтю ( ) = ЩЩ ' ф (нд -Р ф) Ф -Р ЛМ вЂ” амй — 3«Г 1 + 3«О К й з люрнп в э ум«ви прслпг ЗЛ. Д ау «, ч о у н ее» уиройства( а слуга и полпро. гр )де мч«л н 31б.тыечюй аэм «й р «э, чт р буетс» р уи гоаа.т мй ыкюр де «р е КИОфэ р с 100 тм д *пс.
ль ьаыия 3.7. Од «« «кобан апр д ле поля «а мин * л «мыг я рвл 1*) = ы-1-1. Кгнплекс осу р рл р свес» -1- / =- (о, О ) (г.(- Л ) ( об * 1- 1). И ло ьэуя овр деы н, преобрээуйы ь р наной ыр кн элгар тм у юная ымэл эм«чнсы 3.3. е. С пы* у номен«й д рм т мгорнт» В рвиа м л н я 1б.пг. ыйлэ к й р «н,ы эвмчытым ду й льву эт «о ры нэя "" — 1 = (» — 1) (*ф П (ы 1) («'+ 1) ( е-~- 1)7 Глава 4 БЫСТРЫЕ АЛГОРИТМЫ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ БПФ. Рря ч Куля-Т ни Пзаэ) Построение набора методов вычислении дискретного преобразования Фурье является одной из основных наших целей.Мы построим много таких методов, каждый нэ которых обладает раэличнымн преиму!цествами перед другими и каждый из ноторых наиболее пригоден прн собтветствуюших обстоятельствах. Основ.
вых стратегий имеется две. Одна из них состоит в сведения дискретного преобразования Фурье к свертке, которая затем зы. числяетсн о исанными и нредыдуюей главе методами. Другая стратегия состоит в переходе от одномерного преобразования Фурье к двумерному, которое вычисляется проше. Хорошие алгоритмы вычисления дискретного преобразования Фурье для минимнаавии сложности вычислений используют обе этн стратегии. Многие из изучаемых нами алгоритмов не зависят от частных особенностей поля, над которым определено дискретное преобразование Фурье, Поэтому мы часто будем опускать указание ва конкретное поле и в этом случае алгоритм справедлив для любого поля.
В других случаях, хотя общая идея алгоритма и ие аавнсит от поля, вад которым рассматривается дискретное преобразование Фурье, но некошрые детали алгоритма определяются спецификой поля. В этих случаях алгоритм должен строиться для нонкретного иитересуюжего нас поля. 4.1. Алгоритм Кули — Тьюкп быстрого преобравоваыпя Фурье Преобразование Фурье вектора т, — \ У„= йг м'йо„ г-с в том виде, нак оно записано, требует порндка л' умножений и, л' сложений. Если число л является составным, то имеется не- скольно способов перейти от этого преобразования Фурье к дву. мерному преобразонанию или к чему либо ему аналогичному. Это позволяет перевести вычисления в более эффективную форму,.
й = 'й'-1- й' й' = Е, ..., М вЂ” 1; й' — о, ..., з' — 1 г г-Р !"-с Ч Сйс УЯЯ М Энй !э' Ф я') -1- Ряс. 4 1. БПФ. зг р и Кузя — Т юкк й = л"й' -1- й", й' = О, ..., л' — 1, й" = О, ..., л" — 1. Тогда — ! ' — \ г-э г — э Раскроем скобки в показателе степени и положим е ' = у и м ' —. Р Так как порядок элемента м равен л'л", то член е'"ч й' =- 1 можно опустить Определим теперь двумерные пере. менныс, которые тоже обозначим через ч я Ч, задавая вх равен. ствами !'=О, ..., л' — 1, 1"=О, ...,л" — 1, й' =- О, ...
л' — 1, й' = О, ..., л' — 1. ВР. Г = ОГФШ У» , =: У;й .„з., з *э*э Р. но за это прикоднгся платить усложнением структуры. Алгоритмы ! подобного сорта известны под обжим названием быстрого преоб- ршовэиия Фурье !БПФ) Н рис 4! рияедэна труктуря БПФ.
а.!горитма Куля — Тычки, изучаемого в данном разделе. Рис 4 1 интересно сравнить с рис. 4.8 из разд. 4.3, на котором приведена структура БПФ алгоритма Гуда †Тома. Для построения БПФ алгоритма Кули †Тыч предположим, что л — л'Я' В выражении для преобразования Фурье сделаем следуюшую замену записи каждого индекса: ! =- !' -1- л'У, РР = О, ..., л' — 1, !' = О, ., я* — 1, Вмы ллп. ж в«эз алм. 75 и — ! рь= Е ! с 77 — 1 уьмл = л — ! „засы 1 и! Х' и!узам, г=е 77 ! мтйом — еу! 2' меме ! г г-э и = О, ..., лУ2 — 1, а г бар а д л7э' 75 75 вмэ а 5- э и' 5- р\ а е' з и а%з ! ! 3 в г Ра . 4л.
Разбиение Бпочмгсрат з кули — т кп в мж р рэ можно вычислять с помощью БПФ-алгоритма Кули — Тьюки. На этом пути преобразовавие длины л = Ц», может быть представлена в такой форме, в которой требуется выполнения л Ял! комплексных умножений. На рпс. 4.3 показан один из многих способов разбиения Уб.точечмого преобразования Фурье. Каждый пз узлов этого рисунка можно представлять себе как обращение к подпрограмме. Если вычислении реализуются с помощью такого разбиения на полпрограммы, то один иэ способов организации программного вычисления поиазан на рис.
4.4. На самом нижнем уровне вычислений находятся 3-точечное в б-точечное преобраэо. ванна Фурье, выполняемые буквально. Позже мы построим малмл БПФ.алгоритм Винограда, который можно использовать н* этом уровне в качестве подпрограммы. Малые БПФ.алгоритмы Винограда прбдставляют собой сильно оптимизированные процедуры вычисления преобразования Фурье для длнп, нвляющихся про. етым числом нлн степенью простого числа. 4.2. Алгоритм Кули — Тычки по малому основанию Во многих приложениях, в которых используется алгоритм Кули †Тыч, длина преобразования равна степени двух или четырех. Для пютроения БПФ-алгорвтма длина 2 преобраза. ванна представляется в ниде 2 2 -' или 2"-' 2. В этом случае говорят р БПФ-алгоритме Кули †Тыч по основанию два ').
Аналогично, длина 4" првзбрвзовання разлагается в виде 4.4 -' или 4 — !.4, и иногда говорят о БПФуалюрнтме Кули — Тычки по основанию четыре. Если в 2 -точечном алгоритме Кули — Тычки по основанию два полагается и' = 2 н л" = 2 -', то он пазы. вается БПФ-алгоритмом Кули — Тычки по основанию два с лроре.
жпэалпгм ло времена. Используя тот факт, что Б = и"!' = — 1, в этом случае уравнения, задающиеБПФ, можно записать в следующем простом виде: эз .Кмамезтал з ! угб ь рлс ю и «а б ага~ а, е час!акта по ос«ап а а. 4.2. алгеэнв Куле Т «щ и веку овне» ш 1зз Прореживаине па времени разбивает мишкество компонент входного вектора на две подмножества: множество кампоаент с чет ными индексами н множество компонент с нечетными индексами.
Множество компонент выходного векторе разбивается прн этом на мибжество первых л(2 компонент и множество вторых л)2 компонент. 2 .точечный БПФ алгоритм Кули †Тыч па основанию два, в котором л' = 2 -' и л' = 2, называется БПФ.алгоритмом Кули †Тыч по осиаваниво два с прорзжшюлиел ло частоте. Уравнения БПФ в этом случае преобразуются к виду гв — в 1'м = 2~ (вг+з;е.гв)шммТ о=в гв — в Увв.ев —.
2. (о, — о, в„э)ш"шп'вт М = О, ..., л(2 — 1, М, (л) =- 2М, (л(2) -1- л(2, Прорежиеание по частоте разбивает компоненты входного векора »а два подмножества, садержвигие со тве отвеине первые л(2 компонент и вторые л(2 компонент Компоненты еыкодиаго вектора разбиваются на подмножества комвоиеит с четными индексамн и подмножество компонент с нечетными индексами.
Алгоритм с прареживаиием по времени и алгоритм с прореживаниеи по частоте отличаются структурой и последовательностью вычислений, хотя имеют адно и то же щкло операций Характеристики алгоритмов совпадают, ио пользователь может предвочесть один из иих из соображений реализации. Мы подробна рассмотрим только характеристики алгоритма с прореживанием по вреиеии.
Алгоритм с прорежнваиием по времени сводит л-точечное преобразование Фурье к двум (л(2)-точечным преобразованиям Фурье с некоторыми дополнительными сложениями н умножениями. Часть ив умножений представляют собой умножения на единицу или -,(. Овви тривиальны в не требуют действительного вычисле. ния.
Чтобы обойтись беэ тривиальных умножений в алгоритме, ик следует обрабатывать отдельна. Иногдз конструктор предло. читает включить в процедуру вычисления все умножения, даже тривкзльиые. йлгоритм с прореживанием по времени работает рекурсивио, разбивая на каждом птаге и-точечное преобразование иа два (л(2)-точечных преобразования, которые, в сваю очередь, разбиваются точна таким же образом. Из уравнений ясно видно, что число М, (л) комплексных умножений л.точечного БПФ удовлетворяет рекурреитиому уравнению в число А, (л) комплекснмк сложений удовлетворяет рекуррент. ному уравнению А, (л) = 2А, (л!2) -1- л, где л равна степени двойки. Решения этих уравнений даются равенствами М, (л) = (л(2) !об, л, А, (л) л 1од, л.
Комплексные умножения можно реализовать алгоритмом с че. тырьчя вещественныыи умножениями н двумя вещественяыми сложениями. В этом случае харантернстики БПФ по основанию два даютсв равенствами Ма (л) = 2л!об» л, Ал (и) = Зл 1обв л. Альтернативный алгоритм выполнения комплексного умножения содержит три вещественных умножения и три вещественных сложения. В этом случае характеристики имеют вид Мв (л) = (3(2) л 1обв л, Аи (л) = (7(2) л Ьб, л. Теперь предположим, что мы яотин построить алгоритм, в котором выброшены все тривиальные умножения. Тогда полу. чеииые нами характеристики сложности алгоритма улучпватся.
Тщательный анализ алгоритма показывает, что все умножения на сачом внутреннем шаге алгоритма тривиальны и имеют вид умножений на ( — 1)" для й =. О, 1; все умножения на следующем шаге тривиальны и имеют вид умножений иа 1' для й .= О, 1, 2, 3; ю последующих шагах число тривиальных умножений равно е(4, л(3, .... Следовательно, число комплексных умножений равно М,(л) = (л/2) ( — 3 -1- 1обв л) -1- 2.
Используя для реализации комплексного умножения алгоритм с четырьмя вещественными умножениями и двумя вещественными сложениями, для БПФ-алгоритма по основанию два получаем М„ (л) = 2л ( — 3 -1- (об, л) -1- 8. Аи (л) = Зл ( — 1 + !обв л) + 4. Используя для комплексного умножения алгоритм с тремя веще. ственными умножениями и тремя вещественными сложениями, получаем характеристики Ме (л) = (3(2) л ( — 3 -1- (ащ л) -1- 6, Ае (л) = (1)2) л ( — О -1- 7(оав л) + б. Еще немного можно улучшить алгоритм, если воспользоваться свойством симметрии тригонометрических функций, Заметим, что р Г н д ыр т е зрюозы итры йа <,е ЯЯУ илн М„(л) = (172) и ( — 1О -1- 3 )ой, л) -1- 8.
Ад (л) =- (172) л ( — 10 -1- 7!ой, л) Ф 8. Как мы виднн, число вариантов алгоритыа Кули — Тычки весьма велико, но мы еще не перечислили все возможности; имеются н другие возможн<юти улучшения алгоритм». На рис. 4.5 приведены характерястики некоторых БПФ-алгоритыов Кули— Тычки. В таблицу воняло обычной формы алгоритма Кути— Тычки включен БПФ.алгоритм Рейдера — Бреннера Этот БПФ- алгоритм явлнется модификацией алгоритма Кули — Тычки, осно- ванной на том, что с немощью переупорядочивания уравнений БПФ некоторые умиан<ения на комплексяые «овстапты можно заменить умножением на вещественные коне~виты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
