С.В. Шалобанов - Моделирование систем управления (Управления и информатика в технических системах) (1039511), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Разрабатывается специальный модуль, позволяющий в графическом виде вводить структурную схему моделируемой САУ, вид и коэффициенты звеньев. В процессе моделирования на каждом шаге независимойпеременной (времени) производится поочередный опрос моделей динамических звеньев для вычисления следующей точки интегральной кривой и переопределение входных сигналов звеньев согласно информации о способеих соединения для использования этих сигналов на следующем шаге аргумента.Рассмотрим цифровые модели типовых линейных звеньев, полученныена основе метода Эйлера [3]. Индекс i в формулах обозначает номер итерации (дискретное время), а ∆t – шаг дискретизации по времени.1.Безынерционное звено (П-регулятор)Передаточная функция W(р) = К.Исходное уравнение хвых(t) = Кхвх(t).Цифровая модель хi вых = Кхi вх.2.Идеальное интегрирующее звено (И-регулятор)Передаточная функция W(р) =К.рИсходное уравнение х'вых(t) = Кхвх(t).⎧⎪∆xi вых = xi вх ∆t K ;Цифровая модель ⎨⎪⎩ xi вых = xi −1 вых + ∆xi вых .83.Апериодическое звено 1-го порядкаПередаточная функция W(р) =К.Tр + 1Исходное уравнение Tх'вых + хвых = Кхвх.x i вх − x i −1 вых1⎧′x=;⎪ i вых1Т⎪⎪Цифровая модель ⎨ x i вых1 = x i −1 вых1 + ∆t x ′i вых1 ;⎪⎪ x i вых = K x i вых1 .⎪⎩4.Изодромное звено (ПИ-регулятор)Передаточная функция W(р) =1 + Т0 р.T1 рИсходное уравнение T1х'вых = хвх + Т0х'вх.x i вх ∆t⎧∆=;x⎪ i вых1Т1⎪⎪⎪ x i вых1 = x i −1 вых1 + ∆x i вых1 ;⎨Цифровая модель ⎪x i вх Т 0;x i вых 2 =⎪Т1⎪⎪⎩ x i вых = x i вых1 + x i вых 2 .95.Колебательное звеноПередаточная функция W(р) =Т 02 р 2К.+ Т1 р + 1Исходное уравнение T02х''вых + T1х'вых + хвых = Кхвх.⎧ xi′′вых1 = xi вх − Т 1 xi′−1 вых1 − xi −1 вых1 ;⎪x ′′i вых1∆t⎪ ∆x ′;=⎪ i вых1Т 02⎪⎪⎨ xi′вых1 = xi′−1 вых1 + ∆xi′ вых1 ;Цифровая модель ⎪∆x= xi′ вых1∆t;⎪ i вых1⎪ xi вых1 = xi −1 вых1 + ∆xi вых1 ;⎪⎪⎩ xi вых = К xi вых1 .6.Консервативное звеноПередаточная функция W(р) =К.Т р2 + 120Исходное уравнение T02х''вых + хвых = Кхвх.Цифровая модель получается из предыдущего звена подстановкойТ1 = 0.7.Интегрирующее звено с замедлениемПередаточная функция W(р) =Кр(1 + Тр)10.Исходное уравнение Тх''вых + х'вых = Кхвх.⎧ xi′′вых1 = xi вх − xi′−1 вых1 ;⎪xi′′вых1∆t⎪ ∆x ′;=⎪ i вых1Т⎪⎪ ′= xi′−1 вых1 + ∆xi′ вых1 ;x⎨ i вых1Цифровая модель ⎪∆xi вых1 = xi′ вых1∆t;⎪⎪ xi вых1 = xi −1 вых1 + ∆xi вых1 ;⎪⎪⎩ xi вых = К xi вых1 .8.Идеальное дифференцирующее звеноПередаточная функция W(р) =Kp.Цифровая модель хвых = Кх'вх.⎧∆xi вх = xi вх − xi −1 вх ;⎪∆xi вх КЦифровая модель ⎨;⎪ xi вых =∆t⎩9.Дифференцирующее звено с замедлениемПередаточная функция W(р) =T1 р.1 + Т0 рИсходное уравнение T0х'вых + хвых = Т1х'вх.11xi вх − xi −1 вых1⎧;⎪ xi′ вых1 =Т0⎪⎪′Цифровая модель ⎨ xi вых1 = xi −1 вых1 + xi вых1∆t;⎪′⎪ xi вых = xi вых1T1.⎪⎩10.Пропорционально-дифференциальный регуляторс замедлениемПередаточная функция W(р) =К (Т1 р + 1)Т0 р + 1.Исходное уравнение T0х'вых + хвых = К(хвх+ T1х'вх).( xi вх − xi −1 вых1 )⎧′=;x⎪ i вых1Т0⎪⎪ xi вых1 = xi −1 вых1 + xi′ вых1∆t;⎪⎪= xi′ вых1Т 1 ;xЦифровая модель ⎨⎪ i вых 2⎪ xi вых 3 = xi вых1 + xi вых 2 ;⎪ xi вых = Кxi вых 3 .⎪⎪⎩Способ формализации структурных связей между отдельными звеньями системы рассмотрим на примере структурной схемы САУ, представляемой на рис.
1.1, а.12X1W1XвхX3W2Xо.с.аXвыхW3X2W4X132Xвх112434X28б55X376Xвых67Xо.с.Рис. 1.1. Структурная схема САУ (а) и ее сигнальный граф (б)Сигнальный граф этой системы изображен на рис. 1.1, б, в котором звенья структурной схемы представлены дугами, а сигналы – вершинами. Дляполноты представления сигналов на графе введены единичные дуги с номерами: 1,8,4,5. Топологические свойства (связи между вершинами графа) зададим одномерным массивом IS, элементы которого с четными индексамиесть номера вершин, из которых выходит дуга, а элементы с нечетными индексами – номера вершин, в которые входят дуги [7].
Таким образом, каждая пара (соседних) элементов задает дугу графа в виде упорядоченной парыначальной и конечной вершин. Для рассматриваемого примера массив топологии графа будет содержать следующие элементы:IS = {2,1, 3,2, 4,2, 5,3, 5,4, 6,5, 7,6, 2,7}.На сигнальном графе (см. рис. 1.1,б) дуги пронумерованы в порядке появления их в массиве топологии IS таким образом, что IS2i – начальная, аIS2i–1 – конечная вершины i-й дуги графа.
Такой способ задания топологиисистемы является компактным и эффективным при моделировании САУ вовременной области. Топологические связи между отдельными звеньями в13процессе моделирования могут быть реализованы с использованием следующего фрагмента программы, написанной на языке Си:for (i = 1; i < N; i ++) Xinput[i] = Xbegin[i];/* начало цикла по времени */.../* опрос звеньев на шаге аргумента t и вычисление Xoutput */...for (j = 1; j < NG; j ++){Y[j] = 0.0;for (i = 1; i < N; i ++){if (IS[2*i-1] = = j)Y[j] + = Xoutput[i];}}Y [MB] = input(t);for (i = 1; i < N; i + +){k = IS[2*i];Xinput [i]= Y[k];}... /* окончание цикла по времени */В программе введены следующие обозначения: NG – число вершинграфа; N – число дуг графа; Y[NG] – массив сигналов графа; Xinput[N],Xoutput[N] – соответственно входные и выходные сигналы звеньев;Xbegin[N] – начальные условия; МВ – номер входной вершины; input()–функция для вычисления входного воздействия.14Кроме того, в программе должны быть предусмотрены переменные(или массив) для хранения переменных состояния звеньев, обладающихинерционностью.
Важным средством обеспечения диалогового режима моделирования САУ является графический редактор для ввода структурнойсхемы и численных значений коэффициентов передаточных функций. Какследует из вышеизложенного, выходными данными редактора должны являться массив топологии IS, информация о типе и коэффициентах каждогозвена.В заключение следует отметить, что для повышения точности моделирования цифровые модели типовых звеньев, приведенные выше, можностроить на основе методов численного интегрирования более высоких порядков, например, метода Рунге-Куста четвертого порядка .1.3.
Структурное цифровое моделирование САУ в частотнойобластиИзменение комплексного коэффициента передачи системы в диапазонечастот ω от 0 до ∞ дает полную информацию о динамических свойствахсистемы управления. Геометрическое место точек конца вектора комплексного коэффициента передачи представляет собой комплексную частотнуюхарактеристику системы. Возможны два способа представления точек частотной характеристики.
В прямоугольной системе координат:(P(ω), Q(ω)),где Р(ω) = Re{W (jω)};Q(ω) = Im{W (jω)}.Другая форма представления точек частотной характеристики – в полярной системе координат:(А(ω), φ(ω)),где А(ω) = |W(jω)| – модуль частотной характеристики;15⎧ Im{W ( jω )}⎫⎬ – фаза (аргумент).⎩ Re{W ( jω )}⎭ϕ (ω ) = arctg ⎨Как известно, получить выражение для комплексной частотной характеристики можно, заменив переменную Лапласа р на выражение jω в формуле для передаточной функции системы. Таким образом, структурнотопологическая частотная модель системы управления может быть полученана основе ее структурной схемы. Используя операторную модель вида [4]Ry = W , C ,где С – бинарное отношение на множестве элементов системы, отражающееее топологию; W – множество передаточных функций системы, и переходяот нее в частотную область, можно формализовать получение частотных характеристик как всей системы для любого выхода, так и отдельных конструктивно обособленных элементов системы.
Формализация вычислениячастотных характеристик основывается на машинных методах топологического анализа схем [7] для применения формулы Мезона [1]:m[]W ( jω ) = ∑ W pi ( jω )∆ i ( jω ) ∆ ( jω ) ,i =1(1.1)где W(jω) – комплексный коэффициент передачи всей системы; Wpi(jω) –комплексный коэффициент передачи i-го пути от рассматриваемых входа довыхода системы;∆(jω) – определитель графа системы;∆ ( jω ) = 1 − ∑ W0i ( jω ) + ∑ W0i ( jω ) W0 j ( jω ) −i−i, j∑W0i ( jω ) W0 j ( jω ) W0k ( jω ) + K ,i , j ,k16где W0i(jω) в первой сумме – передача i-го контура, равная произведениюкомплексных коэффициентов передач, входящих в этот контур дуг, и суммирование производится по всем контурам системы; W0i(jω) W0j(jω) во второй сумме – произведение передач i-го и j-го контуров и суммирование производится по всем несоприкасающимся парам контуров; в третьей сумме –произведения несоприкасающихся троек контуров и т.д.; ∆i(jω) – определитель подграфа, получающийся из исходного графа при удалении дуг и вершин i-го простого пути, а также всех дуг, инцидентных этим вершинам.Два контура называются несоприкасающимися, если они не имеют общих дуг и (или) общих вершин.
Тройка (четверка и т.д.) контуров называется несоприкасающейся, если любая пара контуров из этой тройки (четверкии т.д.) является несоприкасающейся.Для анализа топологии САУ и реализации выражения (1.1) разработаныпрограммные средства на различных языках программирования [7,8,9].Представление топологической информации о системе в этих программныхкомплексах производится в виде бинарных матриц, определяющих составыпутей, и контуров.
Рассмотрим САУ, представленную на рис. 1.1, а. Графэтой системы имеет два контура, два пути от вершины Хвх до вершины Хвых.Состав путей и контуров представим прямоугольными бинарными матрицами путей Р и контуров С:⎡1Р=⎢⎣1⎡0С=⎢⎣01 0 1 0 1 0 0⎤;0 1 0 1 1 0 0⎥⎦1 0 1 0 1 1 1⎤,0 1 0 1 1 1 1⎥⎦где рij = 1 означает вхождение j-й дуги в i-й путь; сij = 1 – вхождение j-й дуги в i-й контур.17Отношение касания контуров между собой и путей и контуров представим бинарными матрицами Q и R соответственно:⎡1 1⎤Q=⎢⎥;11⎣⎦⎡1 1⎤R=⎢⎥,11⎣⎦где qij = 1 означает касание i-го и j-го контуров, rij = 1 означает касание i-гoпути и j-гo контура.Учитывая передачи дуг графа системы, запишем элементы формулы(1.1) через комплексные коэффициенты передачи звеньев:Wp1(jω) = W1(jω)W3(jω);Wp2(jω) = W2(jω)W3(jω);∆(jω) = 1+W1(jω)W3(jω)W4(jω) + W2(jω)W3(jω)W4(jω);∆1(jω) = 1;∆2(jω) = 1.Подстановка этих выражений в формулу (1.1) дает общий комплексныйкоэффициент передачи системы.1.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
