Дуда Р., Харт П. - Распознование образов и анализ сцен (1033979), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Предполагая точное знание значений плотности смеси, Деч (1936) использовал преобразование Фурье для разложения нормальных смесей. Меджисси (1961) распространил этот подход на другие классы смесей, в процессе решения поставив задачу идеитифицируемости. Тэйчер (1961, 1963) и затем Якович и Спреджинс (1968) продемонстрировали идентифицируемость нескольких семейств смесей, причем последние авторы показали эквивалентность идеитифицируемости и линейной независимости плотности компонент. Фразы «обучение без учителя» или «самообучение» обычно относятся к определению параметров плотностей компонент по выборкам, извлеченным из смеси плотностей. Спреджинс (1966) и Купер (!969) дают ценный обзор этой области, а.ее связь с последовательным байесовским обучением дана Ковером (1969).
Некоторые из этих работ достаточно общие, в первую очередь касающиеся теоретических возможностей. Например, Стейнат (1968) показывает, как метод Деча можно применить для изучения многомерных нормальных смесей и многомерных смесей Бернулли, а Якович (1970) демонстрирует возможность распознавания практически любой идентифицируемой смеси. Удивительно мало работ касаются оценок по максимуму правдоподобия. Хесселблад (1966) вывел формулы максимума правдоподобия для оценки параметров нормальных смесей в случае одной переменной. Дей (1969) вывел формулы для случая многомерной матрицы равных ковариаций и указал на существование вырожденных решений с общими нормальными смесями. Наш подход к случаю многих переменных основан непосредственно на исключительно доступной статье Вольфа (1970), который также вывел формулы для многомерных смесей Бернулли, Формулировка байесовского подхода к обучению без учителя обычно приписывается Дэйли (1962); 270 Гл.
б, Обуггние бег уеиегли и груааирогга более общие формулировки с тех пор были даны несколькими авторами (см. Хилборн и Лейниотнс, 1968). Дэйли отметил экспоненциальный рост оптимальной системы и необходимость приближенных решений, Обзор Спреджинса дает ссылки на литературу по аппроксимациям на основе принятия решений, написанную до 1906 г„ ссылки на последующие работы можно найти у Патрика, Костелло и Мондса (1970). Приближенные решения были получены с помощью гистограмм (Патрик и Хенкок, 1966), квантованных параметров (Фрелнк, 1967) и рандомизированных решений (Агреула, 1970).
Мы не упомянули все способы, которые можно применить для оценки неизвестных параметров. В частности, мы не рассмотрели испытанных временем и надежных методов, использующих моменты выборок, в первую очередь из-за того, что ситуация становится довольно сложной, когда в смеси имеется больше двух компонент. Однако некоторые интересные решения для особых случаев были получены Дэвидом и Полем Куперами (!964) и усовершенствованы далее Полем Купером (1967). Из-за медленной сходимости мы не упомянули об использовании стохастической аппроксимации; заинтересованному читателю можно рекомендовать статью Янга и Коралуппи (1970). Первоначально по группировке была проделана большая работа в биологических науках при изучении численной таксономии. Здесь основной интерес вызвала иерархическая группировка. Монография Сокаля и Снифа (!963) является отличным источником библиографии по этой литературе.
Психологи и социологи также внесли вклад в группировку, хотя они обычно заинтересованы в группировке признаков, а не в группировке выборок (Трайон, 1939, и Трайон и Бейли, 1970). Появление вычислительных машин сделало кластерный анализ практической наукой и вызвало распространение литературы во многие области науки. Хорошо известная работа Болли (1965) дает исчерпывающий обзор этих работ и широко рекомендуется. Взгляды Болла имеют большое влияние на нашу разработку этой темы. Мы также воспользовались диссертацией Линга (1971), в которой приведен список трудов нз 140 названий.
Обзоры Большева (1961) и Дорофеюка (1971) дают обширную библиографию советской литературы по разбиению на группы. Сокаль и Сниф (1963) и Болл (1965) приводят много используемых мер подобия и функций критериев. Стивенс (1968) осветил вопросы масштабов измерения, критериев инвариантности и необходимых статистических операций, а Ватанабе (1969) разработал фундаментальные философские проблемы, касающиеся группировки.
Критика группировки Флешом и Зубином (1969) указывает иа неприятные последствия небрежности в этих вопросах. Джонс (1968) приписывает Торндайку (1953) первенство в использовании критерия по сумме квадратов ошибок, который часто появляется в литературе. Инвариантные критерии, о которых б.гб. Бибеиоерафичеекие и исторические оеедеиик 271 мы говорили, были выведены Фрндманом н Рубином (1967), указавшими, что этн критерии связаны со следовым критерием Хотел- линга и г-соотношением в классической статистике.
Фукунага н Кунц (1970) показали, что эти критерии дают одинаковые оптимальные разделения в случае двух групп. Из критериев, которых мы не упоминали, критерий есцепления» Ватанабе (1969, гл. 8) представляет особый интерес, так как он учитывает не только меру подобия между парами. В тексте мы привели основные этапы ряда стандартных программ оптимизации н группировки. Этн описания были намеренно упрощены, так как даже более строгие н полные описания, имеющиеся в литературе, не всегда упоминают о разрешении неоднозначностей или об исключении случайных «всплескове. Алгоритм Изоданные Болла и Холла (1967) отличается от нашего упрощенного описания в основном расщеплением групп, имеющих слишком большую изменчивость внутри группы, н слиянием групп, которые имеют слишком малую изменчивость между группами. Наше описание элементарной процедуры минимальных квадратнчных ошибок получено на основе неопубликованной программы для ЭВМ, написанной Р.
Сннглтоном и У. Каутцом в Станфордском исследовательском институте в 1966 г. Эта процедура тесно связана с адаптивной последовательной процедурой Себестьяна (1962) н так называемой процедурой я-средних, свойства сходнмости которой изучались Маккунном (1967). Интересные применения этой процедуры к распознаванию символов описаны Эндрюсом, Атрубнном н Ху (1968) н Кейзи и Надь (1968). Сокаль н Сниф (1963) приводят список ранних работ по иерархическому группированию, н Вншарт (1969) дает обширную библиографию источников по процедурам единственной связи, ближайшего соседа, полных связей, дальнего соседа, минимальной квадратичной ошибки и других.
Ланс и Вильямс (1967) показывают, как можно получить большинство нз этих процедур путем уточнения различными способами общей функции расстояния; кроме этого, они дают библиографию основных работ по делимым иерархическимгруппировкам. Связь между процедурами единственной связи и минимальным покрывающим деревом была показана Говером и Россом (1969), которые рекомендовали простой, эффективный алгоритм для нахождения минимального покрывающего дерева, предложенного Примом (1957). Эквивалентность между иерархической группировкой н функцией расстояния, удовлетворяющей ультраметрнческому неравенству, показана Джонсоном (1967).
Большинство статей о группировках явно илн неявно принимает критерий минимальной дисперсии. Вишарт (1969) указал на серьезные ограничения, присущие этому подходу, н в качестве альтернативы предложил процедуру, напоминающую оценку методом й„ ближайших соседей моды плотности смеси. Методы минимальной Гл. б. Обучение бее учителя и еруннирееиа дисперсии подвергались критике также со стороны Лина (1971) к Цаня (1971), причем оба они предлагали для группировки исполь» зовать теорию графов.
Работа Цаня, хотя и предназначенная для данных любой размерности, была мотивирована желанием найти, математическую процедуру, которая группирует множество данных в двух измерениях наиболее естественно для глаза. (Хэрэлик и Келли (1969) и Хэрэлик и Динштейн (197!) также рассматривают операции обработки изображений как процедуры группировок. Эта точка зрения применима ко многим процедурам, описанным в части 11 этой книги.) Большинство ранних работ по методам теории графов было сделано для целей информационного поиска. Августсон и Минкер (1970) считают, что впервые теорию графов к группировке применил Кунс (1959).
Они же дают экспериментальное сравнение некоторых методов теории графов, предназначенных для целей информационного поиска, и обширную библиографию работ в этой области. Интересно, что среди статей с ориентацией на теорию графов мы находим трн, рассматривающие статистические тесты для оценки значимости групп, — это статьи Боннера (1964), Хартигана (1967) и Лина (1971). Холл, Теппннг и Болл (1971) вычислили, как сумма квадратов ошибок изменяется в зависимости от размерности данных н предполагаемого числа групп для однородных данных, и предложили зти распределения в качестве полезного стандарта для сравнения. Вольф (1970) предлагает тест для оценки значимости групп, основанный на предполагаемом распределении хи-квадрат для логарифмической функции правдоподобия. Грин и Кармон (1970), чья ценная монография о многомерном масштабировании содержит обширную библиографию, прослеживают происхождение многомерного масштабирования до статьи Ричардсона (1938).
Недавно возникший интерес к этой теме был стимулирован двумя разработками — неметрическим многомерным масштабированием и применением графических устройств ЭВМ. Не- метрический подход, разработанный Шепардом (1962) и развитый Крускалом (1964а), хорошо подходит для многих задач психологии и социологии. Вычислительные аспекты минимизации критерия ,7, при ограничениях на монотонность детально описаны Крускалом (1964б). Колверт (1968) использует модификацию критерия Шепарда для обеспечения двумерного отображения на ЭВМ многомерных данных.
Более простой для вычислений критерий У,г был предложен и использован Саммоном (1969) для отображения данных при диалоговом режиме анализа. Интерес к человеко-машинным системам возник частично из-за трудностей определения функций критериев и процедур группировок, которые приводят к желаемым результатам. Матсон и Дамман (1965) одни из первых предложили человеко- машинное решение этой задачи. Широкие возможности диалоговых Слиачг ливераглурм 273 систем хорошо описаны Боллом и Холлом (1970) в статье о системе РКОМЕ)ч)А(УЕ, Другие хорошо известные системы — ВС ТГст' (Трайон и Бейли, 1966, 1970), ЯАГсг (Стэнли, Лендэрис и Найноу, 1967), 1Ь)ТЕВБРАСЕ (Патрик, 1969) и 01.РАВБ (Саммон, !970).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
