АМСОИ - Конспект лекций (1032044), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Время получится наименьшим;– все заявки, попадающие в систему, но заявки, не ждущие в очереди, тоже учитываются. Времяожидания получится больше, чем в первом способе;– все заявки, попадающие в систему. Заявки, не ждущие в очереди, не учитываются. Времяожидания получится наибольшим из трёх способов.W =Qm(m + 1) · (m + 2)m=·=λ2 (m + 2) · (m + 1) · µ2·µСреднее время пребывания в системе:T =Lm+2=λ2·µОтносительная пропускная способность СМО:q=λm+1=λm+2Абсолютная пропускная способность СМО (поток, который поступает в систему):A=q·λДля определения числа мест в буфере m можно ориентировочно пользоваться следующейприближённой формулой:m=ρ − 2 · PоткPотк197Лекция №7 - Анализ разомкнутых СеМО7.1Разомкнутые сети массового обслуживанияПорядок анализа:1) разбить исходную СМО на несколько;2) составить систему уравнений, в которой для каждой СМО присутствует своё уравнение;3) решить систему и определить реальных входные потоки для каждой СМО: λi = αi · λ, где αi- сколько раз входной поток проходит через i-ой СМО за время пребывания;4) определить загрузку каждой СМО: ρi =λiµi ·ci=αi ·λ,µi ·ciгде ci - количество ОА в i-ой СМО;5) представляем каждую СМО в виде СМО типа M/M/C;6) определить характеристики функционирования.Тип M/M/C:– пуассоновский входной поток;– экспоненциальное обслуживание;– C - количество ОА;– ёмкость входного буфера бесконечна;– FIFO;– ёмкость генератора заявок бесконечна.Характеристики функционирования:T =n∑Tii=1W =n∑Wii=1L=n∑Lii=1Q=n∑i=120QiP21λλ1µ1ОА1P12λ2ОА2λ3ОА3µ2µ3P13P317.1.1Пример разомкнутой СеМОКаждая СМО является M/M/1.Исходные данные:λ=1µ1 = 10, µ2 = 8, µ3 = 5P12 = 0.75, P13 = 0.25, P21 = 0.5, P31 = 1Система уравнений:λ1 = λ + λ2 · P21 + λ3λ2 = λ1 · P12λ3 = λ1 · P13Заменяем и считаем:α1 · λ = λ + α2 · λ · P21 + λ3 = 2.67α2 · λ = α1 · λ · P12 = 2α3 · λ = α1 λ · P13 = 0.67Загрузка:2.67 · 1= 0.26710 · 12·1ρ2 == 0.258·10.67 · 1= 0.134ρ3 =5·1ρ1 =Характеристики:Qi =ρ2i1 − ρiLi = Qi + ρi =Wi = αi ·21ρi1 − ρiQiλiTi = αi ·7.1.2LiλiЕщё пример разомкнутой СеМОP21P22λвх1λ1ОА1µ1λ2ОА2µ2P12λвх1Исходные данные:λвх1 = 1, µ1 = 8λвх2 = 2, µ2 = 10P12 = 1, P21 = 0.4, P22 = 0.2Система уравнений:λ1 = λвх1 + λ2 · P21λ2 = λвх1 + λ2 · P22 + λ1Из входных потоков выбираем минимальный.
Все остальные имеют коэффициент относительно λ, то есть у нас это 2 · λЗаменяем:α1 · λ = λ + α2 · λ · P21α2 · λ = α2 · λ · P22Считаем: α1 = 2.67, λ1 = 4, ρ1 = 0.5 α2 = 2, λ2 = 7.5, ρ2 = 0.752288.1Лекция №8 - Приоритетное обслуживание в СМОПриоритетное обслуживание заявок в СМОt1tkλ1λκλwОАБtwЕсли обслуживание приоритетное, и все заявки выстраиваются в одну очередь, то среднеевремя ожидания:∑nW =k=1ρk · tk · (1 + νk2 )2 · (1 − ρ)Экспоненциальное обслуживание k-го потока:νk2 = 1n∑ρ=ρkk=1Например, имеется 2 потока заявок:λ1 = 0.3, µ1 = 1λ2 = 0.25, µ2 = 0.5Заявки обслуживаются в порядке поступления, приоритетов нет, обслуживание экспоненциальное.t=W =1µ0.3 · 1 + 0.5 · 2ρ1 · t1 + ρ2 · t2== 6.51−ρ1 − 0.8Пояснения:M/M/1:ρ=Q=λµρ21−ρL=Q+ρ=23ρ1−ρW =T =8.1.1Qρ2ρρ·t===λ(1 − ρ) · ρµ(1 − ρ) · µ1−ρρt1L===W + =W +tλ(1 − ρ) · µ1−ρµОтносительные приоритетыWk - среднее время ожидания в очереди заявки k-го приоритета∑nWk =2i=1 ρi · ti · (1 + νk )∑∑k2 · (1 − k−1i=1 ρi ) · (1 −i=1 ρi )где:k − 1 - количество приоритетов, предшествующих исходному;n - общее число типов заявок, которые поступают в систему;i - заявка i-го приоритета.Относительные приоритеты - заявка, поступившая в систему, не прерывается, а обслуживается полностью.
После этого в систему поступает заявка с наивысшим приоритетом.Пример для двух классов приоритетов: выражение упрощается и принимает следующийвид:W =W =0.3 · 1 + 0.5 · 2ρ1 · t1 + ρ2 · t2== 1.8521 − ρ11 − 0.3ρ1 · t1 + ρ2 · t20.3 · 1 + 0.5 · 2== 9.280(1 − ρ1 ) · (1 − ρ1 − ρ2 )(1 − 0.3) · (1 − 0.8)Проверка правильности выполненных расчётов осуществляется по закону сохранения Клейрока (слева - относительный приоритет, справа - без приоритета):ρ1 · W1 + ρ2 · W2 = ρ · W0.3 · 1.852 + 0.5 · 9.280 = 0.8 · 6.55.2 = 5.2Не рекомендуется вводить более 3 приоритетов.248.1.2Абсолютные приоритетыТакие заявки прерывают обслуживание заявок более низкого приоритета.∑n∑k2ρi · tki=1 ρi ti · (1 − νi )Wk =∑k−1 +∑∑k1 − i=1 ρi 2 · (1 − k−1i=1 ρi ) · (1 −i=1 ρi )i=1W1 =W2 =ρ1 · t10.3 · 1= 0.422=1 − ρ11 − 0.3ρ1 · t2ρ1 · t1 + ρ2 · t20.3 · 20.3 · 1 + 0.5 · 2+=+= 10.141 − ρ1 (1 − ρ1 ) · (1 − ρ1 − ρ2 )1 − 0.3 (1 − 0.3) · (1 − 0.8)2599.1Лекция №9 - Замкнутые СМОМодель ремонтникаtнаработки_на_отказОА1t0ОА2ОА0...ОАnПодход к решению:1) используя формулу Мальма (или Пальма), определяем вероятность простоя ремонтника:Ψ=P0 =t0µНО=µ0tНОN(∑N ! · Ψk )−1(N − k)!k=02) испольуя формулу Литтла:N · t0U0Tцикла =где:U0 = 1 − P0 - коэффицент использования.3) находим время пребывания в ремонте (в очереди + сам ремонт):Tремонта = Tцикла − tНО4) находим количество заявок в ремонте:L = λ · Tремонта =NTцикла· Tремонта = N ·5) количество заявок в очереди:26TремонтаTциклаQ = L − U06) время нахождения в очереди:W = Tремонта − t09.2Метод фонового потокаt1t2ОА1ОА2T1 = T2T = T1 + T2T1 =t1 − ρфоновая1=(N + 1) · t12где:ρфоновая - загрузка обслуживающего аппарата потоком фоновых задач.ρфоновая1 = λфоновая1 · t1λфоновая =N −1Tциклагде:λфоновая - поток фоновых задач (которые создаются всеми, кроме рассматриваемой).Для большего количества фаз:U=NN +1P0 =1N +1U + P0 = 1U∑ = 2 · U =272·NN +19.3Метод узкого местаДля приблизительной оценки общего времени пребывания в последовательном тракте (сколь-ко трафик идёт от отправителя к получателя).1) определяем узел, у которого наибольшее время обслуживания.
Если таких несколько, товыбираем любой из них;2) определяем время цикла:приближённая формула:Tцикла = N · tmax +k−1∑tii=1точная формула:Tциклаk−1∑ti= N · tmax +· titmaxi=1281010.1Лекция №10 - Анализ замкнутых СМО методом БазенаЗадача на сравнение с методом узкого местаНужно найти погрешность для Tц между методом Базена и методом узкого места.t1=1t 2=1t3=2ОА0ОА0ОА0N =4Шаги:1) определение коэффициентов Базена:x1 = 1xi =ti· Pit1где:Pi - вероятность обращения к фазе.2) строим матрицу Базенаg(m, n) = g(n, m − 1) + xi · g · (n − 1, m)где:m - по горизонталиn - по вертикали3) определяем коэффициент использования (загрузку):U1 =G(N − 1)26=G(N )57U2 = U1 · x2 =U3 = U2 · x3 =2926575226·2=57574) определяем количество заявок в каждой СМО в буфере и на обслуживании:L1 =n∑G(n − i)G(n)i=1L2 ==26 + 11 + 4 + 142=5757n∑xi2 · G(n − i)42=1·G(n)57i=1n∑xi3 · G(n − i)2 · 26 + 22 · 11 + 23 · 4 + 24 · 1144L3 ===G(n)5757i=1Проверка на количество заявок:3∑i=1Li =42 42 144228++==4=N57 5757575) находим время пребывания:Tц =N · t1228== 8.77U126λ=N104=Tц228Liλ21T1 =1321T2 =13144T3 =26Ti =Теперь эту же задачу методом узкого места:k∑tiTц = N · tmax +· ti = 9ti=1 maxTц = 4 · 2 + 0.5 · 1 + 0.5 · 1 = 9А теперь погрешность между методом Базена и узким местом:δ=9 − 8.77= 8%8.7730.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
