Диссертация (1025404), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Одной из таких мер, характеризующих долговременные корреляциив временных сериях сложных систем, служит показатель Херста (индекссамоподобия) [160]. Процесс () является самоподобным, если процесс− () обладает теми же статистическими характеристиками второгопорядка, что и () [213].Параметр , называемый параметром Херста [50, 160], представляет собоймеру самоподобия или меру длительности долгосрочной зависимостистохастическогопроцесса.Значение = 0,5указываетна отсутствиедолгосрочной зависимости.
Чем ближе значение к 1, тем выше степеньустойчивости долгосрочной зависимости [160].При значениях 0,5 < < 1 временной ряд демонстрирует персистентное(трендоустойчивое) поведение т.е., если ряд возрастает (убывает) в предыдущийпериод, то с вероятностью, тем большей, чем ПХ больше 0,5, он будет сохранять88эту тенденцию такое же время в будущем [160].
Чем ближе значение ПХ к 0,5,тем более зашумлен ряд и тем менее выражен его тренд [157].Диапазон 0 < < 0,5 соответствует антиперсистентным рядам: еслисистема демонстрирует рост в предыдущий период, то с вероятностью, тембольшей, чем ПХ меньше 0,5 в следующем периоде начнется спад [157]. На Рис.3.2. представлены реализации модельных сигналов ФБД в среде Matlab сразными показателями Херста с различными значениями показателя Херста: аH=0,1; b-H=0,5; c-H=0,9 (реализация по методу вейвлет-генератор броуновскогодвижения [130].Рис.
3.2. пример реализации сигналов ФБД в среде Matlab с различнымизначениями показателя Херста: а-H=0,1; b-H=0,5; c-H=0,9.Фрактальное (дробное) броуновское движение (далее ФБД) являетсянепрерывнымвовременислучайнымпроцессом,Мандельбротом и Ван-Нессом [80] и представляется как:предложенным89(3.15)где:,B(j) является обычным Броуновским движением (т.е. интегралом белогогауссовского процесса W (s)).3.4. Оценка модельных сигналов методами мультифрактального анализа3.4.1. Оценки метода мультифрактального детрендированногофлуктуационного анализаПервым шагом мультифрактального исследования модельных сигналовявляется оценка точности метода MFDFA, для этого проведем проверку длягенераторов нескольких типов.
Для решения этой задачи были использованыследующие модели генераторов ВР:• Вейвлет-генератор броуновского движения (the wavelet-based synthesisfor the fractional Brownian motion (WFBM)) Метод получения фрактальногоброуновского движения с использованием вейвлет-преобразования [1].АлгоритмАбри–Селланаоснованнапостроениикоэффициентоваппроксимации дробным процессом ARIMA. Процесс ARIMA(0,s,0) можнополучить из белого гауссовского шума с нулевым средним сверткой с фильтром()бесконечной импульсной характеристики , для которого z-преобразованиезаписывается в виде () = (1 − −1 )− . Поэтому процесс ARIMA ℎ получаетсяиз следующего приближения:ℎ = ∗ (1) ∗ () ,(3.16)где () – усеченный фильтр заранее выбранного порядка d , затемприменяется многократное вейвлет-восстановление [173].90• Метод циркулянт-матриц the fractional Brownian motion synthesis withcirculant matrix method (CMM) [29].Особенностью данного метода является использование циркулянт-матрицдля генерации ФБД.
Циркулянт матрица – это матрица, в которой любаяследующая строка (столбец), начиная с первой (с первого), получаетсяциклической алфавитной перестановкой элементов предыдущей строки(столбца).Реализованный в среде MATLAB алгоритм, создает ВР с задаваемымизначениями длины и показателя Херста, с единичным значением СКО. Последующему соотношению: = ( [√(())2−2∗ ]),(3.17)где, Re – взятие действительной части, FFT – Быстрое Фурье преобразование, – матрица ковариаци гауссова шума, W – комплексный генератор ВР белогоГауссова шума [21].При помощи генераторов этих типов также были получены оценкиинтегрированныхсигналовФБД.Считается,чтопоказательХерстаинтегрированного сигнала численно соответственно равен Hint=H+1 [53,52, 115].В качестве модельных сигналов использовались ВР, реализованные сто раздлякаждогозадаваемогозначенияh[0.1;0.9]исдлительностьюсоответствующей пятиминутным кратковременным ВР (подробнее этот вопросрассматривается в главе 4).
Проведено усреднение значений для длин ВР{1024,2048,4096}биомедицинскихсвязанноесигналов,свариативностьюполучаемыхсдлинпомощьюВРреальныхмногоканальногорадиофизического комплекса, в результате разных функционально-нагрузочныхпроб.В Таблице 6 представлены результаты относительной разности для двухтипов моделей, сгенерированных по 300 раз для каждой длины ВР,соответствующего по длине кратковременным биомедицинским сигналам:результаты усреднены по набору фактических длин ВР.91Таблица 6.Результаты относительной разности оценок, задаваемых двумя типамигенераторов ВР, и возвращаемых методом MFDFAТипh0,10,20,30,40,50,60,70,80,9СреднееWFBMCMM|H-h||H-h||hint-h-1||hint-h-1|hh0,380,060,010,020,010,010,020,030,020,060,100,070,060,050,060,050,020,040,040,050,060,010,010,020,010,020,020,020,030,020,210,140,090,060,060,040,010,020,010,07Из Таблицы 6 следует, что средняя относительная разность ошибки оценкигенератора WFBM и CMM имеет одинаковый порядок малости (<0,1) длягенерированных и интегрированных ВР при h>0,1.
Расхождения оценок всехтрех генераторов для задаваемых значений показателя Херста (h>0,3) меньше0,04.На Рис.3.3. представлены результаты зависимости |H-h| от задаваемыхзначениях h для двух типов моделей, сгенерированных ВР, результатыусреднены по набору фактических длин 1024, 2048, 4096 отчетов.92Рис.3.3. Графики зависимости |H-h| от задаваемых значениях h, длягенераторов WFBM, CMM.На Рис.3.4. представлены результаты зависимости |H-h| от задаваемыхзначениях h для четырех типов моделей интегрированных сгенерированных ВР,результаты усреднены по набору фактических длин {1024,2048,4096}. Награфиках показано, что возвращаемый мультифрактальный показатель Херстаинтегрированного сигнала соответственно равен Hint=H+1.Рис.3.4.
Графики зависимости интегрированных сигналов ФБД длягенараторов WFBM, CMM от задаваемых значениях h.93Результаты представлены в Таблице 6 и на Рис. 3.3-3.4. показывают, чтомодельные сигналы, полученные с помощью WFBM и CMM генераторов имеютболее низкие значения расхождения между ожидаемым и полученымипоказателями Херста для всех задаваемых h. С другой стороны, полученныерезультатысистематическихрасхождениймеждуоцениваемымииинтегрированными показателями Херста для ВР генератора WFBM имеют болеенизкие значения для всех задаваемых h (не более 0.1). Полученные результаты3.4.2.
Оценка влияния шума на получение мультифрактальных оценокВторымэтапоммодельныхисследованийявляетсяопределениестабильности мультифрактальных оценок при добавлении к исходному сигналубелого шума. Есть данные, показывающие относительно высокую стабильностьмультифрактальных оценок одномерных сигналов [8].
Реальные сигналы могутнести в себе шумовые помехи. Поэтому целесообразно оценить влияние уровняшумовых помех на получение мультифрактальных оценок [8].Для этого было проведено исследование оценок показателя Херстаметодом MFDFA. Были использованы раннее сгенерированные тестовыесигналы с использованием генераторов WFBM и CMM. Анализировалисьзначения возвращаемого показателя Херста методом MFDFA для каждогозадаваемого значения показателя Херста H[0,1-0,9] с добавлением к ВР белогошума с различным соотношением сигнал/шум по амплитуде от 26 до -14 дБ.Всего было использовано двенадцать уровней различных соотношенийсигнал/шум.
Белым шумом является ВР, полученный с использованием того жегенератора, как и анализируемый ВР с показателем Херста равным 0.5 [213]. ВТаблице 7 и на Рис.3.5-3.6 представлены усреднения по набору фактическихдлин {1024,2048,4096} ВР по 100 реализациям оценок задаваемого показателяХерста для каждого уровня шума [69].94Таблица 7.Результаты модуля относительной разности оценок MFDFA от значенияотношение сигнал/шум, задаваемых двумя типами генераторов ВР26201614h0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,3400,1170,0070,0040,0170,0140,0350,0410,0200,3990,1250,0090,0490,0040,0070,0520,0040,0330,4760,1170,0130,0140,0080,0340,0440,0290,0170,5240,1060,0070,0420,0340,0290,0410,0210,0060,10,20,30,40,50,60,70,80,90,0110,0290,0130,0440,0260,0220,0750,1820,2870,0740,0220,0550,0090,0310,0540,1040,2730,4070,0050,0020,0120,0100,0290,0560,1500,3410,4400,0870,0310,0150,0320,0430,0840,2090,3460,455Отношение сигнал/шум, дБ1260-4Тип генерации ВР WFBM0,632 1,025 2,027 2,5730,131 0,268 0,624 0,9250,015 0,068 0,244 0,3140,037 0,025 0,060 0,0920,061 0,029 0,031 0,0410,001 0,026 0,046 0,0380,004 0,031 0,053 0,0430,032 0,026 0,017 0,0430,015 0,012 0,028 0,035Тип генерации ВР CMM0,035 0,036 0,060 0,0930,030 0,001 0,019 0,1080,011 0,016 0,058 0,1230,007 0,032 0,024 0,0420,029 0,067 0,082 0,1170,092 0,167 0,200 0,2270,230 0,300 0,334 0,3550,386 0,412 0,431 0,4370,477 0,498 0,504 0,502-6-10-12-143,0561,0490,3760,1010,0380,0880,0440,0550,0603,3411,1940,4740,1210,0710,0980,1170,0620,0163,5461,2730,5120,1570,0420,0930,1510,1260,0903,5651,3030,5460,1340,0600,1580,1510,1330,0780,1860,1680,1300,0510,0960,2320,3550,4360,5040,3620,3330,2250,0890,0910,2540,3580,4420,5030,5870,4780,3020,1130,0930,2520,3570,4420,5040,7820,6410,3470,1060,1000,2530,3630,4400,503Рис.
3.5. Средние значения результата оценки показателя Херста сдобавлением белового шума различного уровня сигнал/шум, полученных сиспользованием генератора WFBM.95Рис.3.6. Средние значения результата оценки показателя Херста с добавлениембелового шума различного уровня сигнал/шум, полученных с использованиемгенератора CMM.Из Рис. 3.5-3.6 и Таблицы 7 следует, что оценка ВР с высоким задаваемымпоказателем Херста (H≥0,5) для генератора WFBM искажается существенно набольших уровнях шума (более 0.1 при уровне сигнал/шум ниже -6 дБ). Длянизких показателей Херста (H≤0,5) влияние шума на оценку более существеннодля генератора CMM (более 0.1 при уровне сигнал/шум ниже -4 дБ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
