ТЕОРИЯ Лаб Работ (1024334), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

будет распределена по закону Стьюдента. Поскольку распределение Стьюдента симметрично, то для определения верхней границы получим выражение

.

Распределение Стьюдента подробно табулировано. Для определения значения верхней границы доверительного интервала Т2 необходимо знать значение Р_ДОВ и число степеней свободы , равное n-1, где n объем выборки, по которой определяется среднее значение х.

Фрагмент таблицы распределения Стьюдента (приложение 4)

(4)

Следует отметить, что при технических расчетах значение Р_ДОВ обычно принимают равным 0,95. При определенном из (4) значении Т2 выражение для доверительного интервала примет вид

3 ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ ДИСПЕРСИИ

Закон распределения оценки дисперсии неизвестен, однако, как следует из полученных ранее результатов, для последовательности нормально распределенных случайных величин статистика

(4)

имеет распределение с n-1 степенями свободы. Следовательно, при заданном значении доверительной вероятности можно записать

Фрагмент таблицы распределения (приложение 5)

Следует отметить, что распределение не симметрично, в связи с чем определение границ доверительного интервала, как это видно из рисунка три, будет неоднозначно (Т1’T1’’, T2’T2’’). Для того что бы определение границ доверительного интервала было однозначно, потребуем выполнение условия

.

Рис. 5.4.

В этом случае для определения границ доверительного интервала получим выражения

Значение границ доверительного интервала определяется по таблице распределения хи - квадрат, входами в которую являются величины (1-Р_ДОВ)/2, (1+Р_ДОВ)/2, а также число степеней свободы, равное =n-2, где n- объем выборки, по которой производится оценка дисперсии.

После того, как определены границы Т1, Т2, получить доверительный интервал для оценки дисперсии не составляет труда. Действительно с учетом (4) получим

.

Как видно из предыдущего изложения существенным условием, при котором возможно построение доверительного интервала, является условие нормальности закона распределения исследуемой выборки случайного процесса.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Рассмотрим некоторый физический процесс (сигнал на выходе измерительной системы или системы управления) Y(x). Предположим, что изменение процесса (сигнала) от значения известного аргумента x (времени, пространственной координаты и т.п.) может быть описано следующим выражением

где Ф - известная функция известного аргумента x_i,

а_j - неизвестные коэффициенты, которые необходимо найти так, что бы измеренное значение величины Y(x) наилучшим образом совпадало с заданной функциональной зависимости Ф(x).

Если зависимость функции Ф(.,.) от а_j может быть представлена в виде линейной полиномиальной модели

,

и измеренные значения Y(x₁,...,x_k) известны без погрешности, то значение коэффициентов а_j могут быть найдены как решение системы линейных алгебраических уравнений

или в матричной форме

где

Откуда выражение для вектора а будет иметь вид

где F^-1 матрица обратная матрице F.

К сожалению, полученное выше выражение не может быть использовано для определения вектора а в случае, когда вектор Y известен с погрешностью. Действительно для погрешности определения вектора а в этом случае можно записать выражение

где CondF- коэффициент обусловленности матрицы F.

Поскольку CondF может быть много больше 1, то погрешность определения вектора а может значительно превосходить погрешность определения вектора Y. В связи с этим, для определения вектора а при неточно известном значении вектора Y применяется метод наименьших квадратов (МНК).

Введем обозначение вектор погрешности измерений, относительно значений которого приняты следующие предположения

Выражение для ковариационной матрицы погрешности измерений в этом случае будет иметь вид

где I- единичная матрица.

Рассмотрим уравнение

(1)

где вектор  - является оценкой вектора а.

Матрица F является прямоугольной матрицей размера N x M, N=(4-5)M.

Будем искать вектор  таким образом, чтобы скалярное произведение

было минимальным. Для этого продифференцируем последнее выражение по вектору  и результат приравняем нулю.

Следовательно, для вектора  получим следующее выражение

(2)

Найденная оценка вектора а является несмещенной, эффективной и состоятельной².

Найдем теперь выражение для погрешности определения вектора

Откуда выражение для матрицы ковариации вектора  будет иметь вид

Поскольку значение дисперсии ² неизвестно, то вместо нее следует использовать ее оценку имеющую, при правильно выбранной модели исследуемого явления (матрице F), вид

где N - размерность вектора Y,

M - размерность вектора .

Таким образом для оценки матрицы ковариации вектора  получим выражение

Оценка дисперсии i-той координаты вектора  будет иметь вид

(3)

где - диагональный элемент матрицы (F^TF)^-1.

Доверительный интервал для i-той координаты вектора  могут быть определены по формуле

(4)

где =N-M - число степеней свободы,

P_ДОВ- доверительная вероятность ( при технических расчетах Р_ДОВ=0.95),

- табличное значение статистики Стьюдента.

Для проверки гипотезы о равенстве нулю координат вектора  введем в рассмотрение дробь Стьюдента

(5)

если t_i больше , то гипотезу о равенстве нулю i-той координаты вектора  отвергают. В противном случае гипотезу принимают.

Приведенная выше схема метода наименьших квадратов справедлива только в том случае, когда матрица F^TF хорошо обусловлена (CondF^TF<10³), в противном случае точность определения вектора  будет невелика. Одним из способов улучшения обусловленности матрицы является ее стандартизация

Метод стандартизации

В ряде случаев при плохой обусловленности матрицы улучшить ситуацию можно, используя операцию стандартизации матрицы . Суть стандартизации заключается в том, что матрица заменяется матрицей , а вектор заменяется вектором , элементы которых связаны с элементами матрицы и вектора соотношениями

,

где

В результате такой замены исходная система уравнений приводится к виду

.

Решение этой системы может оказаться более точным, чем решение исходной системы, так как коэффициент обусловленности матрицы может быть меньше, чем коэффициент обусловленности матрицы .

Вектор связан с вектором соотношениями

Характеристики

Список файлов лабораторной работы