Все ответы к экзамену (1021730), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Особенности нелинейных системАвтоматическая система управления является нелинейной, если хотя бы один ее элементописывается нелинейным уравнением.Практически все реальные системы управления содержат один или несколько нелинейныхэлементов. Нелинейной характеристикой часто обладает и объект управления. Так,например, все электрические машины имеют нелинейную и неоднозначную зависимостьмагнитного потока от тока возбуждения. Индуктивности обмоток машины также зависятот токов.Некоторые нелинейные элементы вводят в систему преднамеренно, чтобы улучшитькачество управления. Такими нелинейностями являются, например, релейныеуправляющие устройства, обеспечивающие высокое быстродействие процессауправления.
Применяются также нелинейные корректирующие устройства.Рис. 8.1. Структурная схема нелинейной САУ (а) и характеристики НЭ (б)Нелинейную САУ можно представить в виде соединения двух частей (рис. 8.1, а) –линейной части (ЛЧ), описываемой линейными обыкновенными дифференциальнымиуравнениями с постоянными коэффициентами, и нелинейного элемента (НЭ).Нелинейный элемент является безынерционным, и его входная и выходная величинысвязаны между собой нелинейными алгебраическими уравнениями.
Если системасодержит несколько нелинейных элементов, то ее в ряде случаев можно свести крассматриваемому классу, заменив нелинейные элементы одним с результирующейстатической характеристикой. Например, при параллельном, последовательном ивстречно-параллельном соединении такая замена возможна. На рис. 8.1, б показана заменадвух параллельно соединенных нелинейных звеньев со статическими характеристиками 1и 2 одним звеном с характеристикой 3, полученной суммированием исходныххарактеристик по оси ординат.Различают два вида нелинейных элементов: существенно нелинейные и несущественнонелинейные.
Нелинейность считается несущественной, если ее замена линейнымэлементом не изменяет принципиальных особенностей системы и процессы влинеаризованной системе качественно не отличаются от процессов в реальной системе.Если такая замена невозможна, и процессы в линеаризованной и реальной системахсильно отличаются, то нелинейность является существенной.Главная особенность существенно нелинейных систем заключается в том, что они неподчиняются принципу наложения, а форма и показатели переходного процесса зависятот величины и формы внешнего воздействия.Другой важной особенностью динамики существенно нелинейных систем являетсязависимость условий устойчивости от величины внешнего воздействия. В связи с этимдля нелинейных систем применяют понятия "устойчивость в малом", "устойчивость вбольшом", "устойчивость в целом".Система устойчива в малом, если она устойчива только при малых начальныхотклонениях.
Система устойчива в большом, если она устойчива при больших начальныхотклонениях. Система устойчива в целом, если она устойчива при любых отклонениях.Специфической особенностью существенно нелинейных систем является также режимавтоколебаний. Автоколебания – это устойчивые собственные колебания, возникающиеиз-за нелинейных свойств системы.
Режим автоколебаний нелинейной системыпринципиально отличается от колебаний линейной системы на границе устойчивости. Влинейной системе при малейшем изменении ее параметров колебательный процессстановится либо затухающим, либо расходящимся. Автоколебания же являютсяустойчивым режимом и малые изменения параметров не приводят к их исчезновению.Автоколебания в общем случае нежелательны, однако, в некоторых нелинейных системахони являются основным рабочим режимом.Рассмотрим в качестве примера нелинейной системы автоматическую системустабилизации напряжения с нелинейным управляющим устройством (рис.
8.2, а).Стабильное напряжениена сопротивленииподдерживается регулирующимтранзистором , работающим в ключевом режиме. Для сглаживания пульсаций тока инапряжения последовательно с нагрузкой включен LC-фильтр с нулевым диодом.Управляющим устройством является триггер Шмитта, характеристика "вход-выход"которого приведена на рис. 8.2, б и имеет форму петли гистерезиса. На вход триггераШмитта поступает разность задающего напряженияи напряжения обратной связи.
При достижении разности этих напряжений пороговых значений переключениятриггераипоследний изменяет состояние на своем выходе и через узелгальванической развязки переключает регулирующий транзистор поочередно в режимыотсечки и насыщения. Форма выходного напряжения системы стабилизации показана нарис. 8.2, в. Размах пульсацийвыходного напряжения определяется шириной зоныгистерезиса релейного элемента – триггера Шмитта.Рис.
8.2. Релейная система стабилизации напряжения8.2. Типовые нелинейные элементы систем управленияНелинейная часть САУ образована одним нелинейным элементом (рис. 8.1, а), выходнаявеличинапроизводнойкоторого может быть выражена как функция входной величиныи ее:.Простейшими нелинейными элементами являются статические нелинейности. У нихвыходная величина зависит от входной величины, причем эта зависимость строгооднозначна. Примерами статических нелинейностей являются характеристики,показанные на рис. 8.3, а, б.(8.1)У динамических нелинейностей выходная величина зависит как от входной величины, таки от ее производной (рис. 8.3, в). Характеристика динамической нелинейности всегданеоднозначна.Рассмотренные статические и динамические нелинейности относятся к классунелинейностей с кусочно-линейными характеристиками.Рис.
8.3. Характеристики нелинейных элементовВ управляющих устройствах, наряду с релейными элементами, часто используются такназываемые особые нелинейности: множительное звено, элементы с переменнойструктурой, элементы логического типа.Для улучшения качества систем применяются управляющие устройства с переменнойструктурой, в которых специальный блок изменения структуры может включать восновной контур системы звенья с различными динамическими свойствами.8.3.
Метод фазовых траекторийМетод фазовых траекторий представляет собой графо-аналитический способисследования нелинейных систем. Сущность метода заключается в описании поведениясистем при помощи наглядных геометрических представлений – фазовых портретов.Свободное движение нелинейной динамической системы управления с однойуправляемой величинойв общем случае можно описать с помощьюдифференциальных уравнений первого порядка:,гдепеременные состояния.– фазовые(8.2)Мгновенное состояние системы и ее дальнейшее поведение однозначно определены, еслив данный момент времениизвестны значения всехпеременныхможно рассматривать как координаты точкипространстве, которое называется фазовым пространством.в. Эти значения-мерномТочку с координатаминазывают изображающей точкой, а линию, покоторой она перемещается при изменении состояния системы – фазовой траекторией.Конкретной группе начальных условийсоответствует единственное решениесистемы (8.2) – определенная совокупность искомых функций времени.
Поэтому каждой группе начальных условий соответствуеттолько одна начальная точка и единственная фазовая траектория, а множеству группначальных условий соответствует семейство траекторий, которое называется фазовымпортретом системы.Метод фазового пространства наиболее удобен для анализа систем второго порядка, таккак фазовые траектории располагаются в одной плоскости – в фазовой плоскостипеременных и. Фазовый портрет этих систем можно построить непосредственно подифференциальному уравнению, не решая его.Пусть описание системы представлено в виде системы двух уравнений первого порядка:(8.3)где– отклонение выходной величины или сигнала ошибки от установившегосязначения.Если в качестве второй переменной состояния, т.е.принята производная переменной, то всегда функция.Разделив второе уравнение системы (8.3) на первое, можно получить уравнение фазовыхтраекторий в дифференциальной форме:,(8.4)в котором независимой переменной является величина(не время !), а зависимой –.Разделяя далее переменные ии интегрируя уравнение (8.4), получаем уравнениефазовых траекторий в явном виде:,где(8.5)– постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий.Рассмотрим характерные фазовые траектории (рис.
8.4, б, г, е) системы второго порядка,соответствующие затухающему, расходящемуся и незатухающему колебательнымпроцессам (рис. 8.4, а, в, д).Рис. 8.4. Переходные процессы и фазовые траектории нелинейной системыМоменты времени, когда кривыедостигают своих максимумов иминимумов, соответствуют пересечению фазовыми траекториямипрохождения кривымичерез нуль– пересечению оси, а моменты.Самые важные для анализа нелинейных систем свойства фазовых траекторийзаключаются в следующем:1. Неустойчивому процессу соответствует фазовая траектория, удаляющаяся отначала координат.2.
Периодическому процессу соответствует замкнутая фазовая траектория,называемая предельным циклом.Фазовый портрет нелинейной системы, обладающей кусочно-линейной или разрывнойхарактеристикой, состоит из нескольких областей с различными фазовыми траекториями.Линии, отделяющие на плоскости одну область от другой, называются линиямипереключения.В точках пересечения фазовыми траекториями линий переключения происходит изломтраекторий. Это происходит из-за смены правой части уравнения (8.4).8.4.
Метод гармонической линеаризацииМетод гармонической линеаризации является приближенным методом исследованиярежима автоколебаний нелинейных систем. Этим методом можно определить условиявозникновения и параметры автоколебаний, как в системах второго порядка, так и в болеесложных системах.Метод заключается в замене существенно нелинейного элемента с характеристикойэквивалентным линейным звеном с коэффициентом. В замкнутойавтоматической системе, работающей в режиме автоколебаний, условиемэквивалентности служит равенство амплитуд и фаз выходного сигнала эквивалентногозвена и первой гармоники выходного сигнала реального нелинейного элемента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
